On peut également se servir des intégrales des aires
x^y-^ — -^3 J^2 = G siiii sinG, X'^yx — ^i,X3 = G siiii cos9, 0Ciy-i — Xiyx = e.
Ces équations ne peuvent suffire pour déterminer les y car elles
ne sont pas distinctes. Mais on y adjoindra l'équation des forces vives
63. 11 peut j avoir intérêt à mettre les équations (g) sous une forme différente; introduisons deux quantités auxiliaires X et Y en posant
X = a{cosu — e) cosl ■+- a sin^V^ — ^' sin l = r cos(t' — /), Y = — a(cos u — e) sin l -\- a sin u y/i — e^ cos l ^=^ r siii (p — l).
Nous voyons que les seconds membres des équations (9) deviendront des fonctions linéaires et homogènes de X et de Y. 11 reste à trouver le coefficient de X et celui de Y.
Or, rappelons-nous commentnous avons obtenules équations (9). Nous nous sommes servis des équations (8 bis) et (8 ter') sachant que Ç := r + ^.j nous avons remplacé dans les équations (8 bis) /•cos(!^ et /'sinJ^ par leurs valeurs (8 ter). Mais on a également
de sorte que les équations (9) deviendront
a^i = X[ cos(^ -4- /) cos9 — sin (^ + /) sin 6 cost] — Y[ sin (g-^l) cosO -l- cos(i|^ -l- /) sin 6 cosîJ,
a'2 = X[ cos(^ -t- /) sin 0 4- sin (^ -i- /) cosG cosi] -\- X\ — sin {g -t- /) sin 0 -H cos(^ + /) cosô cos f],
3-3= X sin(^ 4- /) sin i -\- Y cos(^ -1- /) sin f, ce qui peut s'écrire également
^1 = X cos^ - cos X -i- sin^ - cos (X — 26)
— Y cos^isinX H-sin^i-sin (X — 26) ,
^ 372= X cos^-sinX — sin"^ - sin (X — 26)
-1- Y cos2 - cosX — sin- - cos(X — 2O ) , a?3 = X sin i sin (X — 0 ) -i- Y sint cos(X — G).
8o CHAPITBE III.
64. Résumé des formules. — Je crois utile de réunir ici les formules qui lient les x et les y aux éléments canoniques L, )., p, co, ç, '(\. Dans ces formules figureront les deux masses m et M et diverses quantités auxiliaires «, e, t, «, r, (', /, X, Y. Nous avons d'abord
Pi=L(t— v/i — e'0= p2=(L — pi)(i — cosj),
^^ = y/api coswi, -rj! = y/api sintoi ;
^2 = ^2p2 cos(i)2, rj2 = v2p2 sinw2. / = X + Wl,
(-;) l = u — e sinii,
7' cos V = a(cosit — e) r sin (; = a/i — ^e^ sina, X = ;-cos((^ — /), Y = rsin(p — 0,
a7i= X cos2icosX-^sin2 -cos(X -h 2CO2) — Y cos2 i sin X + sin2 - sin (X -1- 2W2) ,
<^'^^") W2= xTcos^isinX — sin2isin(X-i-2W2)l
-f- Y cos"^ - cosX — sin- - cos(X -4-20)2) , xz= Xsinisin(X -F 102) -t- Y sin i cos (X -+- 102),
^2jK3 — ^3j^2 = — (L — pi)sinj sin 0)2, 373 ji — a?i jK3 = — (I^ — pi)sinicosw2, ^iJK2— ^2jKi= L — pi— P2;
— (71 + ^-2 +rl) ^-=~^lF-
65. Forme du développement. — Tl s'agit maintenant de se servir de ces formules pour développer les coordonnées .r^, .To, x^^ en séries dépendant des éléments canoniques. Quelle sera la forme du développement?
Pour résoudre cette question, je décomposerai le problème en
Donc "' ' sera également développable suivant les puissances de e-,
LE MOUVEMENT ELLIPTIQUE. 8l
deux et j'envisagerai d'abord le développement de X et de Y, puis celui des coefficients de X et de Y dans les équations (12 bis).
J'observe d'abord que p, est développable suivant les puissances de e-, les coefficients du développement dépendant d'ailleurs de L. Le premier terme du développement est un terme en e^.
■Pi e
et il en sera de même de •
De l'équation qui lie p) à e- on peut tirer inversement le développement de e- suivant les puissances de pj. JNous avons trouvé au n" 08
9 2 pi
On pourra donc développer —=:^ suivant les puissances de p<.
V^pi
Or
e e cos toi e sin toi
\/2pi \\ ''il
et
2pi= ;i +'^1-
Il résulte de là que ecosw, et esinco, sont développables suivant les puissances de \\ et t], ; c'est ce qui résulte d'ailleurs des formules du n" 08. Les coefficients de tous ces développements dépendent de L.
66. Je dis maintenant que u — /, cos(w — /) et sin(w — /) sont développables suivant les puissances de ecos^ et de esin/. Envisageons, en effet, l'équation de Kepler
(7) l = u — e sin M,
nous pourrons l'écrire
(a — /) — e sin l cos(u — l) — e cos/ sin (m — l) = o.
Le premier membre est développable suivant les puissances de {u — /), esin/, ecosl. Quelle est la condition pour qu'on puisse en tirer (u — /) développé suivant les puissances de esin/ et ecos/? C'est, d'après le théorème des fonctions implicites, dû à Caucliy (ou, comme aurait dit Laplace, d'après le théorème sur le P. — I. 6
82 CHAPITRE m.
retour des suites), que la dérivée partielle du premier membre par rapport à l'inconnue {u — l) ne s'annule pas quand on y fait ecos/=:o, é'sin/ = o. Or, cette condition est remplie; car cette dérivée se réduit à l'unité.
Donc [u — l) est développable suivant les puissances de e cos/ et e sin/, et il en est de même de cos{u — l) et ?,'\n{u — /; qui sont développables suivant les puissances de [u — /).
Il en est de même, évidemment, de
e^ cos (m -h /) = e- cos 'il cos( u — /) — e^ sinnl sin(w. — /),
car
e^ cos 2/ = (e cosl}^ — (e sin/)^; e^ sin-i / = 2( e cos/) (e sin/)
et il en est de même, pour une raison analogue, de e- sin(w + /). 67. J'observe maintenant que l'on a
— = cos ( u — / ) 1- e^ cos ( u -h t) — ; e cos l,
ai ie^
Y . , , i-hi/i — e- „ . , , I — /i — e^ . ,
— = sin ( f/ — l\ — e2 sin ( a -(- / ) — :; h e sin /.
• COS cos
Nous venons de voii" que . (u — /) et e- . (m + /) sont
^ sin ^ ' sin ^ ■'
développables suivant les puissances de ecos/, esin/. Il en est de même de
car ces deux fonctions sont développables suivant les puissances de e2.
Il en résulte que — et — sont développables suivant les puissances de
e cos /, e sin/;
ou encore suivant les puissances de
e cos Wj, e sintoi, puisque
e cos / = e coswi cosa. — e sin coi sinX, e sin / = e sin coj cosX -h e coscoi sinX ;
OU encore suivant les puissances de
puisque e cosco,, e sinco, sont développables su., ant les puissances de ^i et 71, .
Donc finalement X et Y sont développables suivant les puissances de ^1 et 7)i ; les coefficients du développement dépendent d'ailleurs de L et de À.
68. Passons maintenant aux coefficients de X et de Y dans les équations (12 bis) qui sont de la forme
i cos , . i cos ,
±cos^- . À it sin^ - . (À + '2w.>) 2 sin '2 sin
ou
sin t . (À -t- 0)9 ).
sin
Je dis que ces coefficients sont développables suivant les puissances de
(lo) sin-coscoo, sui-sinto=).
Il en est évidemment ainsi de sin- - qui est la somme des carrés
de ces deux quantités (i3); de
cos^ - = I — sin- - 5
- = 1/ t — Sin2 -;
cos
de
sin-' - cos2to.i sin- — sin2W2, 2 ' 2
expressions qui sont égales, la première à la différence des carrés des deux quantités (i3), la seconde à leur double produit; de
sin^ - cos(X -+- 2CO2) = sin- - cos 20), cosX — sin^ - sin 2co.> sinX, 2 2 " 2 "
et de sin- - sin(À -}- 2 coo) pour une raison analogue ; de
. . cos i . i cos
sini . w=) =: 2 cos - sin - . w» ; sin " 22 sin "
84 CHAPITRE m.
de
sint cos(X -4- 0)2) = sint COSCO2 cosX — sini sinwa sinX
et de même de sin/ sin(}> -t- Wo).
Il résulte de là que les coefficients en question de X et de Y sont développables suivant les puissances des deux quantités (i3).
Or, on a
^2 = 2 \/L — Pi sin - coscl)2,
= 1 /L — pi sin - sin W2.
Donc nos coefficients sont développables suivant les puissances de
%\/L — pi i\/h — pi Or
y/L — pi
est développable suivant les puissances de Çi etru.
Donc, finalement, nos coefficients sont développables suivant les puissances de ^,, Th, Ço, '/jo.
69. En résumé, nos coordonnées xt sont développables suivant les puissances de
\\i ■')ii \-i-, 'hii
les coefficients du développement dépendant d'ailleurs de L et de A.
Inutile d'ajouter que les expressions des xi sont des fonctions périodiques de ). qui ne changent pas quand on change A en }v + 2 Tt.
Les développements des yi sont de même forme; il suffit pour s'en convaincre de se rappeler les formules
m'*W^ dxi
^'~ ~U~ 'dî' Les Xi et les yi peuvent donc se développer sous la forme suivante
(a) 7 A cos(/>oX -1- AjOIL,
où yOo est un entier, où A et h sont des constantes qui ne
LE MOUVEMKNT ELLIPTIQUE. 83
dépendent que de L et où DTL 'est un monôme entier par rapport aux ^ et aux r; .
Posons ensuite
^i = y/a Pi cos Lui, "Tii = ^'i Pi sin w/. Je dis que le développement (a) prendra la forme
(j3) ^Bp'f'pfcosipo'k -f-/7,wi-t-7?,w,-f- /O,
où B et h ne dépendent que de L, où les p sont des entiers positifs ou négatifs, les 2q des entiers positifs ou nuls, et de telle façon que 9.qi soit de même parité que pi et au moins égal à pi en valeur absolue
Je veux montrer que tout développement de la forme (a) peut se mettre sous la forme {^)', il me suffit de le démontrer pour chacun des termes du développement. Cela est évident immédiatement si le monôme DU se réduit à l'unité, auquel cas le terme se réduit à A cos(yOo)^ H- à).
Il me suffira donc de démontrer que, si une expression est développable sous la forme ([3), cela sera encore vrai pour cette expression multipliée par ^i ou par -ru et, par conséquent, de proche en proche, pour cette expression multipliée par un monôme quelconque Dit.
Soit donc
H = ^Bp'j''p^-cos(/>o^ -+- p\ wi -\- piOi^-\- h). Je dis qu'on pourra également développer sous la forme (|^) H ^; = H /a p, cos oii, H T]j = H \/>. pi sin eu/ = H y/a pi cos
et, plus généralement,
H \/ipi cos(wj -I- h').
On a, en effet,
Hv/ap, cos(to;-f- h')
= -7^ VBp^'p^"-v/pi[ COS(/)0^ -^/>lt"l-<-/'2W.2-|- tOj-t-/l-|- A') -H cos ( /^o ^ -h />! Wi -I- /»2 0)2 — w,- H- h — h' )] .
Cette expression est bien de la forme (^); car, si nous supposons i= I pour fixer les idées, nous voyons que iq^ et /?2 n'ont pas changé, que iq^ s'est changé en 2^,-|-i, tandis que /?, s'est s'est changé en />) + i dans l'un des termes et en />, — i dans l'autre.
Or, si
on aura évidemment
ag-i-t- i = /Oi + i =/'i— [ (mod 2), ag, -M^[/?i-4-i|, -^g-i + i^l/?! — i|,
ce qvii démontre le théorème énoncé.
70. Symétrie. — Si l'on faisait tourner l'orbite elliptique et la planète d'un angle ? autour de l'axe des x-^, (comme si la planète et son orbite formaient un seul corps solide).
se changeraient en
^^5 Pi) p2, A, Wi, W2
se changeraient en
L, pi, P2, A -1- £, Wj — s, 0)2 — £ ;
se changeraient en
a7i cosô — a72sin£, x^ s\nt -\- x=iCO?>t^ x^.
Si, dans le développement des ^, on remplace les \ et les r, par leurs valeurs en fonctions des 0 et des to, on obtiendra des séries procédant suivant les sinus et les cosinus des multiples de )., lo, , 0)2.
Nous aurons donc
pQ, pt et />2 étant des entiers, A et h des fonctions de L, p, et p2.
LE iMOUVEiMENÏ ELLIPTIQUE. 87
J'écrirai
/ CCi = ^ A COS(/);|X -|-/)i Wj -|-/>2W2-4- /'))
(14) l X2 = ^ A.' COS(/>oX -+-/»! Wi + /?2C02+ A'),
I ^3= \ A"cOS(/?oX -+- />iOl)i-1-/?2 Wo-I- /i").
Si je change )^, w,, cog en X + s, coi — s, coo — e; l'argument des cosinus augmentera de
el a?,, X2-, s^z devront se changer en
a^iCOSE — j^osinî, ri siiic + 372 cosc, x^.
Nous en conclurons :
i*^ Que
Po — pi—p-i^i
dans le développement de Xi et de X2 et que
