Posons maintenant
li — v/'2 Pi cos oj,-, 7];- = v/a Pi sin w/.
Le changement de variables sera encore canonique en vertu du n" 6 ; donc
^pdLù —'^Id-ri sera une différentielle exacte et il en sera de même de
^y dx — ^. d\ — ^'^ dr^ ou de
^xdy — \dL~^r^d1^.
58. Dans la plupart des applications, l'excentricité e et l'inclinaison i seront de très petites quantités;
pi = L— G = m /m \J'â (t — /i — e^)
76 CHAPITRE m.
est de l'ordre du carré de l'excentricité;
çi = v/2 pi coswi, Y]i = /a Pi sinwi
sont de l'ordre de l'excentricité ; c'est pourquoi nous désignerons souvent ces deux variables sous le nom de variables excentriques :
P2= G — 0 = G(i — cos i)
est de l'ordre du carré de l'inclinaison;
ç, = ^-i P2 costoj, T\2 = V'i- <?■! sin W2
sont de l'ordre de l'inclinaison ; c'est pourquoi nous désignerons souvent ces deux variables sous le nom de variables obliques. Nous trouvons d'ailleurs
\/h e coswi = ^1 4 /
V^L e sin wi = v^j i / i + ^^
4L et
f-, = 2 JG sin - i cos 0),, loo = 2 i/G sin - i sinuj9.
Les variables que nous venons d'introduire servent à définir la forme, les dimensions et l'orientation de l'orbite elliptique, ainsi que la position de la planète sur cette orbite. Nous devons distinguer :
i" Le système des éléments
«, e, i, i, ê'-hQ, e,
qui ont reçu le nom d^éléments elliptiques et sont plus familiers aux astronomes ; 2" Le système
L, G, 0, /, ff, 0; 3" Le système
L, pi P2, "'>', wj, 0J2 ;
4° Le système
L, ^1, ^2, ^^, '1:, "na-
Ces trois derniers systèmes ont reçu le nom (T éléments canoniques à cause des propriétés démontrées aux n"^ 56 et 57.
59. Nous avons, dans ce qui précède, calculé les coordonnées rectangulaires, ou polaires, en fonctions des éléments elliptiques ou canoniques. 11 resterait à calculer les variables yi ou, ce qui revient au même, à déterminer les vitesses en fonctions des mêmes éléments. Pour cela, nous pourrions nous servir des équations
ou, en revenant aux coordonnées polaires du n°47, nous servir des équations
, , 0?/' dS ^dt dS , • , V. «^^ d^
^ ^ dt dr dt dX, ^ dt o?'f
Nous pouvons, d'ailleurs, sans restreindre la généi'alité, supposer, comme au n" 48, que X^ représente l'angle du rayon vectevir avec cet axe et que, par conséquent, le plan de l'orbite passe par l'axe des .Tu, car nous savons que le choix des axes est arbitraire. On a alors
La première des équations (i i) donne alors
d'où
dr
dt ^'
, m dr
dt = — q7—
m'^M^dr dl=.ndt=-^j^-
Nous retrouvons donc simplement l'équation du n° 53.
60. La troisième équation (i i) nous donne simplement -^ == o,
ce qui signifie que la vitesse est dans le plan de l'orbite. Quant à la seconde, elle donne
dt
dt Or mr -~ c'est la projection de la quantité de mouvement sur une
perpendiculaire au rayon vecteur. Le premier membre n'est donc autre chose que le moment de la quantité de mouvement; de sorte que G représente en grandeur le vecteur des aires.
Comme ce vecteur est nécessairement perpendiculaire au plan de l'orbite, ses trois composantes seront
GsintsinO, — Gsiiiicosô, Gcost = 0.
61. Cherchons maintenant à calculer les yi. Nous pourrions nous servir des équations
mais il sera préférable de se servir de
dxi dxi /?i'^M2 dxi
Yi = m — r— = m n —yr — — =— — -^^ •^ dt dl L3 dl
qu'il j aura lieu d'employer quand les x seront exprimés en fonctions de /, »•, 8, L, G, 0, ou de
m* M- dxi
qu'il y aura lieu d'employer quand les x seront exprimés en fonctions de A, L, 0, w ou de X, L, ^, r,.
Bien entendu "77 ou -^y désignent les dérivées partielles de x par
rapport à / ou à ),.
