OC

Il faut donc que x-j change de signe et que x^ et x?, ne changent pas, quand les trois angles X, to,, Wo changent de signe. Cela revient à dire que dans les développements (i4) on doit avoir

de sorte que ces développements deviennent

I iP, = N A COS(/»o^ -t-Z^l Wl-t-/'2W2),

y\\bis) /.T2 = ^A sin(/>o^ -HiOiWi-h/JjWa),

! a^3 = ^^ A" cosf/PpX -\- p\ coi -h P'jta^).

72. Considérons toujours la même figure et remplaçons-la par sa symétrique par rapport au plan des a?, .2?2. Cela revient à changer les variables obliques ^2 et y\.> en — ^^ et — rjo, ou encore à changer (O2 en 0)2 + '^•

Dans ces conditions Xi elx-^ ne doivent pas changer et x^ doit changer de signe.

Donc/?2 est pair dans les développements (i4) ou (i4 bis) de Xi et de X2 et impair dans ceux de x^.

Si l'on rapproche ce résultat de celui que nous avons obtenu au n" 70, nous voyons que /»o — />) ou/>o-j-/'i sont toujours impairs.

73. Homogénéité. — Quand <?, /, Z, g^ 0 restant constants, le demi-grand axe a se change en (^(i H- s), les coordonnées a?,, ^2, ;r 3 se changent en .3;< ( i + e ) , ^72 ( 1 + £ ) , x:^{i -{- t).

Dans les mêmes conditions — =» ^^, > — ^ sont multipliés

7?îv/A1 m/M '"/M

par la racine carrée de ce même facteur ou ^i + s.

Donc les coordonnées Xi seront homogènes de degré 2 en

ou en

m s/ M m s/M m /m Voyons ce que nous pouvons conclure au sujet de la forme des

LE MOUVEMEXT EI.MPTIQUE. 89

développements (i4 bis). Les coefficients A et A" qui figurent dans ces développements seront une somme de termes de la forme suivante :

A ou A" = 2bl-^-^^PÎ^PÎ-;^'

où 2^1 est un entier de même parité que/?i et au moins égal à |/>, |, et où ic/o est un entier de même parité que /?2 6t au moins égal à \p2\1 et où B est une constante numérique. On aura d'ailleurs

jKi = — ^C m^ML-^-l^~l2 p'h p'p sin(/»oX -^-/>i Wj -+- p^tto^),

JK3 = — ^ G' in^ IVIL-i~^i-92p^' pi"- sin (/>oX -+-/), Wj -4- /?2 W2),

C et C" étant des constantes numériques égales à B/>o-

J'ai dit que 2^, devait être un entier de même parité que /?, et au moins égal à /?, ; c'est en effet la condition pour que

p^'cos(/>iWi-+-A),

où h est indépendant de p, et de w,, soit développable suivant les puissances de

v/api cos toi = ^1, /api sin coi = Y)i.

74. Orbites osculatrices. — Reportons-nous à la figure i et aux hypothèses du n" 30; envisageons par conséquent le mouvement des deux planètes fictives A' et B'. Nous avons vu aux n*"* 37 et 38 que l'on peut poser F = Fo+[xF,, que p^F, est beaucoup plus petit que Fq, et que, si l'on remplaçait F par Fy, le mouvement de la planète fictive A' serait le même que si elle était attirée par une masse fixe m^ + m^ placée à l'origine, tandis que le mouvement de la planète fictive B' serait le même que si elle était attirée par une masse fixe nii -+- in^ -\- m-; placée à l'origine. 11 résulte de là que, en première ap/iroximation, le mouvement de ces deux planètes fictives se fait conformément aux lois de Kepler.

Supposons qu'à l'instant t les forces qui agissent (') sur la planète fictive A' viennent brusquement à disparaître pour être remplacées par une force unique due à l'attraction d'une masse fixe m y + m-, placée à l'origine. A partir de l'instant t, la planète A' décrirait une orbite elliptique, et c'est ce qu'on appelle Vorbite oscuLatrice de la planète k! . '

Ou, si l'on aime mieux, nous envisageons une nouvelle planète fictive A", qui a même masse que A', c'est-à-dire m\ ; qui, à l'instant t.) a mêmes coordonnées que A' et même vitesse tant en grandeur qu'en direction; et qui, soumise seulement à l'attraction d'une masse fixe /n, + nl^ située à l'origine, se meut conformément aux lois de Kepler. A l'instant t, la planète A" a mêmes coordonnées que A', c'est-à-dire jc\j x.,, ic'j et les composantes de la quan-

(') Peut-être ce langage est-il incorrect, puisque à cette planète qui est fictive aucune force ne peut èlre réellement appliquée. Peut-être faudrait-il dire : les forces fictives qui semblent agir...; peu importe d'ailleurs puisque aucune confusion n'est à craindre.

tité de mouvement sont les mêmes, c'est-à-dire y\, y',, y'^. Mais, à tout autre instant que l'instant ^, la planète A" n'a pas les mêmes coordonnées que A', ni la même quantité de mouvement. L'orbite elliptique de A" est alors Vorbite osculatrice de A'. Les deux définitions reviennent évidemment au même, caria nouvelle planète V n'est autre chose que ce que deviendrait A' si les forces qui agissent sur elle venaient à dis|:)araitre et à être remplacées par l'attraction de la masse centrale in\ -+- m-;.

A un instant t' différent de ^, A" ne coïncide plus avec A'; nous devons donc imaginer une nouvelle planète fictive A'" qui se meut d'après les lois de Kepler et cjui, à V instant t\ a mêmes coordonnées et même vitesse que A'. L'orbite elliptique de A'" sera Vorbite osculatrice de A' ci V instant t' et elle différera de l'orbite elliptique de A", c'est-à dire de l'orbite osculatrice de A' à l'instant t. U orbite osculatrice est donc variable avec le temps.

Cependant, si F se réduisait à Fq, la planète A' se mouvrait conformément aux lois de Kepler; coïncidant un instant avec A", elle coïnciderait constamment avec A"; donc A" et A'" ne différeraient pas et l'orbite osculatrice serait invariable.

En réalité, F ne se réduit pas à F(,, mais la différence, que nous avons appelée [J-F,, est très petite. Il en résulte que Vorbite osculatrice varie, meus cju'elle varie lentement.

On définii^ait de la même manière l'orbite osculatrice de B' : ce serait l'orbite elliptique d'une nouvelle planète fictive B", qui aurait même masse que B', c'est-à-dire 7?/,,, qui, à V instant t^ aurait mêmes coordonnées que B', c'est-à-dire x',^^ 5?'-, x'^, même vitesse en grandeur et en direction et, par conséquent, mêmes composantes de la quantité de mouvement, c'est-à-dire y,, y'^^ j^'g, qui enfin se mouvrait d'après les lois de Kepler sous l'attraction d'une masse centrale fixe m^ -\- nij, + m^. Nous n'aurions d'ailleurs qu'à répéter ce que nous avons dit des orbites osculatrices de A'.

Nous avons vu au Chapitre III que la forme, les dimensions, l'orientation d'une orbite elliptique, et la position d'une planète sur cette orbite, peuvent être définies à l'aide d'un système de six éléments, dits tantôt éléments eilipticiues, tantôt éléments canoniques {cf. n" 58). Les six éléments qui définiront ainsi l'orbite elliptique de A" (c'est-à-dire l'orbite osculatrice de A') et la position de A" sur son orbite (c'est-à-dire la position de A' sur son

orbite osculatrice) s'appelleront les éléments oscillateurs de la planète A.'.

Dans le mouvement képlérien un seul des éléments est variable (c'est la longitude moyenne X si l'on adopte l'un des deux derniers systèmes d'éléments définis au n** 58, et l'anomalie moyenne / si l'on adopte l'un des deux premiers) et cet élément varie d'ailleurs proportionnellement au temps. Les cinq autres éléments sont constants.

En ce qui concerne les éléments osculateurs, tous seront variables ; mais les variations de l'un d'entre eux seront sensiblement mais non exactement proportionnelles au temps; celles des cinq autres seront tx^ès lentes. Nous venons de voir, en effet, que l'orbite osculatrice varie, mais qu'elle varie lentement.

On définirait de même les éléments osculateurs de la planète B'.

7o. Cas de la Méthode usuelle. — Au n" M nous avons défini un changement de variables dont les astronomes se sont souvent servis. Bien que nous ne devions pas en faire usage, il peut y avoir intérêt à l'examiner et à définir les orbites osculatrices auxquelles il conduit.

Les deux planètes AetB sont rapportées au Soleil C, c'est-à-dire que l'on introduit deux planètes fictives V et B' ayant respectivement pour masses m, et m,, en menant OA' égal et parallèle à CA, et OB' égal et parallèle à CB.

Ici encore nous pouvons supposer une nouvelle planète fictive A" qui, à l'instant t, a mêmes coordonnées et même vitesse que A' et qui décrit une ellipse sous l'attraction d' une masse centrale m , + m ; ; et une autre planète fictive B" qui, à l'instant i, a mêmes coordonnées et même vitesse que B' et qui décrit une ellipse sous l'attraction d'une masse centrale nij, -\- m-, (je dis m,, -f- m-, parce que, si l'on négligeait la fonction perturbati^ce telle qu'elle a été définie au n" 44, le mouvement de B' serait celui d'une masse mobile attirée par une masse fixe ni!,-\- m-j). L'orbite elliptique de A" ou celle de B" seront alors l'orbite osculatrice de A' ou celle de B'. Il n'y a d'ailleurs rien à changer à ce que nous avons dit au numéro précédent.