Cas de la transformation du n" 26. — Supposons mainte

PRINCIPliS DE LA MÉTHODK DE LAGRANGE. gS

nant qu'au lieu d'adopter le changement de variables du n" 30, ainsi que nous le ferons toujours sauf avis contraire, nous ayons adopté celui du n.° !26. Les planètes fictives A' et B' ont pour

masses

in\in-i mi^m-i

rrii -h m^ tui^ -+- m-;

et l'on obtient leurs positions en menant les vecteurs OA' et OB' égaux et parallèles à CA et à CB. Elles ont pour coordonnées

Mais les variables

/i, y'-i, y'ii y\^ /s» /e

ne seront pas proportionnelles aux dérivées des œ' ; elles ne représenteront donc pas les composantes des quantités de mouvement des deux planètes fictives; elles représenteront, comme on le sait, les composantes des c[uantités de mouvement absolu des deux planètes j'éeLles.

Voici dans ce cas comment on doit définir les orbites osculatrices :

Soit une nouvelle planète fictive A" qui a même masse

rrii m-,

rrii -+- m-i

que A; qui, à l'instant t, a pour ^coordonnées x\^ x'.-,, x'.^ et pour composantes de sa quantité de mouvement y\^ y'.,, y\\ qui enfin se meut conformément aux lois de Kepler sous l'attraction d'une masse centrale m^ + ni-i.

On voit c[u'à l'instant t la planète A" a mêmes coordonnées que A', mais qu'elle n'a pas même quantité de mouvement ni par conséquent même vitesse.

La planète A" décrit une orbite elliptique C[ui sera l'orbite osculatrice de A'.

On définirait de même la planète fictive B" et l'orbite osculatrice deB'. Disons seulement que B" se mouvrait sous l'attraction d'une masse centrale m^ + m-,.

77. Comparaison des orbites osculatrices. — Le plus souvent, au lieu de parler de l'orbite osculatrice de A' ou de B', on parle de

l'orbite osculatrice de A ou de B, c'est-à-dire des planètes réelles ; cette façon de parler peut être adoptée sans inconvénient : quand on parlera de l'orbite osculatrice de A, on devra entendre qu'il s'agit de celle de la planète fictive correspondante A'.

Cependant on doit faire attention à une chose. Nous venons de voir qu'il y a plusieurs manières de définir les orbites osculatrices et, par consécjuent, les éléments osculateurs. Il y en a encore d'autres. Au n"^ 74, au lieu de rapporter A à G et B au centre de gravité de A et de C, nous aurions pu rapporter B à C et A au centre de gravité de B et de C.

De plus, nous aurions pu attribuer d'autres valeurs aux masses centrales. En effet, le partage de F en deux parties Fq et [j-F, reste arbitraire dans une assez large mesure; nous aurions pu retrancher une fonction quelconque de Fo et l'ajouter à tJ-F,, pourvu qu'elle soit du même ordre de grandeur que la fonction perturbatrice. Par exemple, dans Fq nous aurions pu remplacer

le terme

nii^{in\ -+- m-,) BD par le terme

ni!^ m^ BD '

puisque la différence ^' ' est de l'ordre de ulFi. Alors la masse

centrale qu'il aurait convenu de choisir pour définir le mouvement de B" aurait été non plus

m,, ( nix -\- m-,)

— rrii-h /HL-t- m-,

mais bien

et il est clair qu'on aurait pu choisir bien d'autres valeurs encore.

Eh bien, ces différentes définitions conduisent à des éléments osculateurs qui ne sont nuUeinenl identiques. Seulement, les différences sont très faibles; elles sont de l'ordre des masses perturbatrices.

Considérons d'abord le cas des n"' 74 ou 75. Aloi^s la planète A" a, à l'instant ;, non seulement mêmes coordonnées c{ue A', mais aussi même vitesse. L'orbite osculatrice est donc tangente à l'orbite

PRINCIPES DE LA ftlÉTHOnii DK LAGRANGE. gS

réelle et, à l'instant ^ + s, si e est très petit, l'écart entre A' et A" est de l'ordre de s-.

Au contraire, dans le cas du n" 76, la planète A" a, à l'instant/, mêmes coordonnées que xV, mais elle n'a pas même vitesse. L'orbite osculatrice rencontre donc l'orbite réelle, elle la coupe sous un angle très aigu; mais elle ne la touche pas. Donc, à l'instant ; + e, l'écart entre A' et A" est de l'ordi^e de s. C'est là un inconvénient incontestable dont il ne faut pas toutefois s'exagérer l'importance, puisque nous venons de voir que les différences sont de l'ordre des masses perturbatrices.

78. Changement de variables. — Nous avons vu au Chapitre III et en particulier au n" 64 comment on exprime les coordonnées d'une masse mobile décrivant une orbite elliptique sous l'attraction d'une masse centrale fixe, ainsi que les composantes de sa quantité de mouvement, en fonction des deux masses ?ti et M et des six éléments canoniques

L, A, pi, toi, po, w-2.

Nous pouvons appliquer ces formules à la planète fictive A".

Les coordonnées de la masse mobile qui, au n" 64, étaient désignées par ^,, a^o, .2?3 sont ici x-\, x[,^ x^\ les composantes de la quantité de mouvement qui étaient désignées par j/-,, y^^ y^ sont ici y\ , y.,, y.^ ; la masse mobile et la masse fixe qui étaient désignées par m elM sont ici m\ et nii -+- m-; ; quant aux six éléments canoniques nous les désignerons par

Ll, y^l, pi, Wi, p,, 0)2.

Faisons de même pour la planète fictive B". Les coordonnées qui, au n" 64, étaient désignées par x^, Xo-, x^ sont ici x\^ x\^ x'^ ; les composantes de la quantité de mouvement sont y\^ y'^, y'^ ; la masse mobile et la masse fixe sont m^ et m\-\- m^-\- m-,] quant aux six éléments canoniques nous les appellerons

Lo, Xa,

pt,

in résumé, il j a entre

7n\, mi-hm^,

Ll,

pi'

Wl, p2,

OU entre

^ki •^55 ^6-. y 1*1 y&' y^i

^ki in-i-^ m,,-\- niT, Lj, Xo, p3, C03, 04, 104

les mêmes relations qu'il y avait au n" 64 et en général au Chapitre III entre

^1, a^2, ^3, 7i, jï, y-i,

m, M, L, X, pi, w,, p2, C02. Or nous avons vu au n" 56 que

^ X dy — \ d\u — ^ co rfp

est une différentielle exacte. En appliquant ce résultat soit à la planète A", soit à la planète B"^ nous voyons c|ue

(i) 2,^' ^y' — X] <iL, — N^toûfp,

où l'on donne à x' et y' les indices 1, 2, 3, à w et p les indices 1,2, est une différentielle exacte et qu'il en est de même de

(2) 2^x' dy'— X2 ^L2 — "^ to dp,

où l'on donne à x' cl y' les indices 4, 5, 6, à to et p les indices 3, 4- En faisant la somme on voit que

( 3 ) 7 ^' (^y' — / ^ '^L — ^ co <ip

est une différentielle exacte. Dans l'expression (3), il faut donner aux indices toutes les valeurs possibles, c'est-à-dire i, 2, 3, 4? 5, 6 pour x' et y' ; 1 , 2 pour )vetL; i, 2, 3, 4 pour w et p.

D'où résulte que, si nous prenons pour variables nouvelles les'k, les L, les w, les p, ce changement de variables est canonique; et que les équations conserveront leur forme canonique

d\i dt

dF ~ dU'

dLi d¥

dt dli

dioi dt

doi

dpi dF dt d(jii