TÛ
dy'
dt ^
dr,
dl
dF
dy
dF
dr^
dF
dt
dx
dt ~ ~~
36o CHAPITRE XIII.
aisément (c/. n°^65 et suiv.) que e cos/=ecos [5 -(-(/« H-i)à], esiii/, j cos(/ + o) = i;'cos[/ + (n + i)X], /sin(/4-^) sont développables suivant les puissances de x^ y^ i, r, et les cosinus et sinus des multiples de X; que d'autre part
e' cos(f — w') = ( e' cosp) cos n\ -+-( e' sinp ) sin n X, e' sin (t — w') =: Ce' cosi^) sin /iX — (e' siiif ) cos jiX.
On conclura que F est développable suivant les puissances de x, y, i, ■/], e'cosp, e'siup- et suivant les cosinus et les sinus des multiples de X. Les coefficients du développement dépendent encore de L = U — nS — nT; ces fonctions de L j)euvent être développées par la formule de Taylor suivant les puissances croissantes de n(S H- T), c'est-à-dire de
de sorte qvie finalement F procédera suivant les puissances de ^, y, ç, V), e'cosc, e'sinc, cospk, sin/?X, les coefficients du développement ne dépendant plus que de U.
J'observe maintenant que, par raison de symétrie, F ne doit pas changer :
I " Quand on change ^ et tj en — ^ et — t].
2" Quand on change jk, "/) et ç en — y, — r; et — ç.
Gela montre qu'un grand nombre de termes ne doivent pas figurer dans le développement.
Voyons maintenant quels sont, parmi ces termes, ceux qui sont
à courte période. Ce sont les termes qui contiennent X en dehors
, 1 ■ • r^ ds d-z dv
des combinaisons s, 1 ou v. L-ar nous avons vu que -^^ ^-> ^- sont ' ^ dt dt dt
très petits, tandis que -,— est iini.
Si, conformément à l'esprit de la méthode de Delaunay, nous supprimons ces termes à courte période, nous pourrons dire que F est développable suivant les puissances de ^, y, i, v), e'cos(-', e' s\nv^ les coefficients dépendant seulement de U.
Si nous négligeons, comme M. Simonin, les termes qui contiennent en facteur :
et si nous supprimons les termes qui doivent être nuls en vertu de la symétrie, nous trouverons
