Dans le cas du problème des n corps, nous avons

les Mj étant des constantes c[ui ne dépendent que des masses. On a alors

*o = -S^(^Lr-8L,L? + 3Ln.

Il vient donc

Dans le cas du problème restreint (c/"n" 123) nous avons trouvé j)our Fq, qui joue le rôle de Fq,

ou, en supprimant les accents devenus inutiles et remplaçant p', par Lo, c'est-à-dire en reprenant les notations du n" 126,

Fo = j^ +/i2(L2— Li);

d'où

(iA)'

Cil — — rrTu ' C12 — Go] — C22 — o-

Il viendra donc

-j-^(6Lî2 8LiLo+3Lf)+«2(L2-Li).

Telle est la forme de la fonction <ï>o dans les deux cas que nous avons à examiner.

203. Principe de la méthode de Delaunay. — Les équations (6) et i^'j) peuvent s'intégrer facilement. Remarquons en effet que <I>o ne dépend que des L, (c'est d'ailleurs un poljnome du second degré par rapport aux L/); au contraire Wq ne dépend que de

En efl'et, nous avons obtenu W en supprimant dans F, tous les termes dont l'argument 2 iPj'^J i^'était pas multiple de 0. Donc W est fonction seulement de

et il en est de même des dérivées

cM dW

dii ' dr^i

Nous avons obtenu ensuite

en remplaçant dans

' d^i dr,i

les inconnues L,-, Sj, '(\i par les constantes \J\^ ç", yj". Donc

ld^\ / dW

ne sont plus fonctions que de 8.

Examinons maintenant les équations canoniques (8). Nous voyons que l'on a

di<i>o-^ IxWo) ^(«i>o-4-^^^o) . dWo

d'où

T dLi I dL^ I dLri, dWa

Ai ~dt " A^ dt kn dt ~~ ^ M '

Gela nous apprend déjà que

l-i kj

est une constante; je pourrai mettre le résultat sous une forme plus symétrique en introduisant une variable auxiliaire U et en écrivant

(lo) L,— A7U = L?,

L^^ étant une constante; je puis, en effet, définir la variable auxiliaire U de telle façon que sa valeur initiale soit nulle.

Nous avons ensuite l'intégrale des forces vives relative aux équations canoniques (8); elle s'écrit

(il) <i>o+ [j.Wo= const.

Dans <I>o nous devrons remplacer les L, par leurs valeurs tirées de (lo) de sorte que <ï>o deviendra un polynôme du second degré en U; comme W^ ne dépend que de 9, l'équation (i i) nous donnera une relation entre U et 0. Nous avons ensuite

«afO -^ dlj "^ , 1^*0 (i^^

dU d\]

qui nous donne une relation entre -^ et U, et par conséquent une

relation entre ^- et t.

Quelle est la forme de cette relation? Soit <i)o= A + 2BU + GU2,

A, B et C sont des constantes. Soit A + H la constante du second membre de (i i), il vient

GU2+2BU = H- [JiWo; d'où

D'autre part

d'où

et enfin

CU + B =v/B2+HG— [jiG^Fo.

^ = ^»^2GU + 2B; dt d\}

= 2v/B'+ HG — jJiG^Fo

2\/B2-1-HG — [JlGWo

Gomme le radical ne dépend que de 6, nous avons la relation entre

Q et if par une simple quadrature. Nous aurons donc G, U et L/ en fonction de t. Nous avons d'autre part

~c[t ~ ^ cÎLi '

le second membre est une fonction des L^- et par conséquent de U, c'est donc une fonction connue de l, de sorte que nous aurons X par une simple quadrature. On peut même remarquer que le second membre est un poljnome du premier degré enU, de sorte que nous aurons entre les A/ des relations linéaires. Nous aurons enfin

dt ^\driJ,' dt ~ ^\d\i)^

Comme les seconds membres sont des fonctions de G seulement, ce seront des fonctions connues du temps ^, de sorte que nous aurons les \i et les r,/ par de simples quadratures.

204'. Tel est le principe de la méthode de Delaunay; on voit qu'elle nous permet de calculer très simplement la somme des

termes de classe minimum, c'est-à-dire des termes de classe -

pour L, i, Tj, de classe zéro pour \. On voit en outre que cette méthode consiste essentiellement à supprimer dans F, les termes de courte période, c'est-à-dire ceux qui dépendent d'un argument

2,pî^H-i où les entiers pi ne sont pas des équimultiples des A"/, et à

n'y conserver que les termes de longue période, ou les plus importants de ces termes.

Il est aisé de comprendre l'importance de ces termes de classe minimum. Il arrive quelquefois que le rapport des moyens mouvements est presque commensurable ; c'est ce qui arrive par exemple pour Jupiter et Saturne, planètes pour lesquelles ce rapport est voisin de |; c'est ce qui arrive pour certaines petites planètes dont le moyen mouvement est presque le double, ou à peu près une fois et demie celui de Jupiter; la plus importante de ces planètes est Hécube.

Les termes de classe minimum ont alors de grands coefficients à cause des petits diviseurs introduits par l'intégration. La période

de ces termes est longue, et souvent de plusieurs siècles. La période des termes, dépendant des arguments w', par exemple celle des termes calculés au Chapitre VIII, est beaucoup plus longue encore et se compte par centaines de siècles.

Que devons-nous conclure? Si l'on veut prévoir à courte échéance, c'est surtout au terme à^ordre inférieur qu'il faut attacher de l'importance; si l'on veut prévoir à échéance assez longue, il faut calculer tous les termes de classe inférieure : c'est ce que nous venons d'apprendre à faire dans le numéro précédent. Si enfin on veut prévoir à très longue échéance, il faut calculer les termes de rang inférieur, ainsi que nous l'avons fait aux Chapitres VIII et IX.

20o. La méthode de Delaunay peut d'ailleurs s'appliquer dans des cas beaucoup plus généraux. Soient des équations canoniques

où F est une fonction des L et des )., qui ne dépend des À que par la combinaison

Je la suppose d'ailleurs périodique par rapport aux À. En d'autres termes, la fonction F est développable suivant les cosinus et les sinus des multiples de 9, et les coefficients de ce développement ne dépendent que des L. On trouve encore

U étant une variable auxiliaire et L^^ une constante. On a l'intégrale des forces vives

F = const.

qui nous donne une relation entre U et 8. On trouve ensuite

dt ~ Zd JdL/

d'où

dUj

Comme la quantité sous le signe / ne dépend que de B et de U,

et que U est lié à Q par l'équation des forces vives, cette quantité

sous le signe / est une fonction connue de 0, de sorte que l'on

obtient t par une simple quadrature.

Donc 0, U et par conséquent les L, peuvent être regardés comme des fonctions connues de t. Dans les équations

dt d\.i

le second membre qui ne dépend que des L et de 9 sera aussi une fonction connue de t, de sorte que noiis aurons \i par une simple quadrature; et l'intégration est achevée.

206. Application à Hécube. — Le meilleur exemple d'application de la méthode de Delaunay que nous puissions choisir est celui de la planète Hécube. Cette petite planète, dont le moyen mouvement est sensiblement le double de celui de Jupiter, a été l'objet de travaux nombreux parmi lesquels nous citerons la thèse de M. Simonin.

Je choisirai les unités de telle façon que la longitude moyenne de Jupiter soit égale à ^; et j'appellerai R une fonction égale à la masse du Soleil divisée par la distance du Soleil à Hécube, plus la masse de Jupiter divisée par la distance de Jupiter à Hécube, moins le demi-carré de la vitesse d'Hécube.

Je désigne par L la racine carrée du grand axe de l'orbite d'Hécube, et je pose

G — L\/i — e-^ 0 = Gcosi,

e et i étant l'excentricité et l'inclinaison de cette orbite.

Je désigne par /, g et 9 l'anomalie moyenne, la distance du périhélie au nœud et la longitude du nœud. Dans ces conditions, les équations sont canoniques et s'écrivent.

dL dR

dG dR

Tt~ ~dî'

dt - dg'

dt ~^

dl dR

dg dR

dt ~ dL '

~di ~ dG'

dt ~~

/ dh dF

dG dF dt ~ dg' dg dF dt ~ dQ'

de dF

\ dt dl' j dl dF

{ dt ~~ dh'

dt diO — t) di^~t) dF dt de

358 CHAPITRE XlII.

La fonction R dépend des six variables L, G, 0, /, «, G et de t. Ces équations prennent une autre forme si, par une analyse toute pareille à celle du n" 123, on pose

et, si l'on prend pour variable 0 — t au lieu de Q, elles deviennent alors

Dans ces conditions, F est regardé comme fonction des six variables L, G, 0, /, », B — ^, et de t. Mais nous devons observer que, si l'excentricité de Jupiter était nulle, F ne dépendrait plus de ^, mais seulement des six premières variables.

Nous allons maintenant changer de variables. Supposons que

le rapport des moyens mouvements soit très voisin de »

n étant un entier qui pour Hécube sera égal à i . Nous poserons

X = Z + ^-hô — ^, s = — lit ~{n^i)g —{n-^\){^ — t),

T = — ni — ng — (// + i)(6 — t),

U = L-i-7iS + /iT, S = L — G, T = G — 0.

On constate aisément c|ue l'on a idenlicjuement

LZ + G^+0(6 — r)= UX+ S5 + Tx

et par conséquent

hdl-^Gdg^e d{ B — t) = U dl ^ S ds -+- T d-z,

ce qui prouve cju'avec les nouvelles variables les équations resteront canonic[ues et s'écriront

Voyons quelle est la signification de ces nouvelles variables. D'abord A représente la différence des longitudes moyennes.

dU ^F

dT dF

dt ~ dX '

dt ~~

Ifs'

~dt. ~ d-z

dl dF

dx dF

di ~ dV'

dt "~

dS'

'di ~~ dT

D'autre pari,

ds dl , ^ [ de- dd \ d-z ds ds;

dt dt ' \ dt dt y dt dt dt

^ ds;- dd , . dl , ... /i H- 1

Lomme -^ et ^- sont très petits et -r- très voisin de > on

dt dt ' dt n

ds dz , .

voit que -j- et -j- sont 1res petits.

S est de l'ordre du carré de l'excentricité et T de l'ordre du carré de l'inclinaison.

Comme S et T sont petits, (J différera peu de la racine carrée du grand axe.

Je désignerai par /' et tït' l'excentricité et le périhélie de Jupiter, et je poserai

pct nul nii dt

Comme -3- est nul, ou du moins très petit, on aura

dv dl dl

dt dt dt

di> ...

ce qui montre que -j- est aussi 1res petit.

Posons maintenant

37 = y/'iS C0S5, y = \/ô^sms; ^ ^= \/-2T cosx, rj = \/iT sinz.

Comme

X dy — S ds. ^ d'i] — T dz

sont des différentielles exactes, les équations resteront canoniques et s'écriront

207. Forme de la fonction perturbatrice. — La fonction F est, comme on sait, développable, suivant les puissances de ecos/, esin/, icos{l -+- g)^ isin(/ + ^-), e' cos{t — m'), e' sin{l — ro') et suivant les cosinus et les sinus des multiples de la différence des longitudes moyennes )v, les coefficients du développement dépendant encore des grands axes, c'est-à-dire de L. Mais on voit

dt "

dl '