LE PROBLEME RESTREINT
Je suppose que l'on ail déuionlrc qu'en //"'""' approxijnalion, c'est-à-dire en né<;lij;eanl les lermes en 'j." et les termes d'ordre supérieur, nos oL,- et nos oA^ se réduisent à un nomljre fini de termes ; je dis que cela sera encore vrai en {n + 1 )'''"'' approximation.
Pour avoir les valeurs de [n + iy^n\e ;ip|)[-o\iiiiation, nous devons dans les seconds membres des équations (u)) substituer à la place des oL/ (;t des oÀ/ leurs valeurs de «'''""" approximaliou. \()ii-
savons que -j-- peut se développer suivant les puissances des oL et
des 8)v sous la forme
oïl' étant un monôme entier par rapport aux oL et aux OA. Nous pouvons arrêter le développement aux termes de degré n exclusivement par rapport aux oL et o)w En effet, comme oa et o contiennent [JL en. facteur, ces termes sont de l'ordre de jjl". Nous avons donc le droit de les supprimer.
Notre développement (20) se composera donc d'un nombre fini de termes; quant au coefficient B, c'est, à un facteur numérique près, l'une des dérivées partielles d'ordre supérieur de Fj, où l'on a substitué aux inconnues leurs valeurs de première approximation, et, comme nous ne prenons dans F, qu'un nombre fini de termes, B n'en contiendra non plus qu'un nombre fini. On raisonnerait de
même pour
rfF, d^ d¥i dku dLi dLi
Les seconds membres des équations (19) ne contiennent donc <pi'un nombre fini de termes; il en est donc de même des oL et
On voil en même temps que les dérivées partielles de F satisfont à la même condition.
Donc
y satisfait également et il en est de même de
d\ du
dui dwi
el de
Toutes ces quantités ne contiendront dans leur dévelo|ipement i|u'un nombre fini de termes, si l'on néglige tous les termes qui contiennent jjl" en facteur, et cela (juelque grand que soit l'exposant entier n.
Cette circonstance nous permet d'appliquer le lemme du 11" 107.
131. Les quantités W, et n- peuvent être développées suivant les puissances de u.. Gela est évident pour
Wy
a do.
2(ik au ' div, dw,
puisque L, À et ti sont développables suivant les puissances de [j..
En ellet, il en est ainsi des L et des A, il en est ainsi de F et de -jr
(jui sont des fonctions des L et des )., où l'on peut substituer à la place de ces quantités leurs développements suivant les puissances de [j. ; il en est ainsi enfin de
