Fo

du

et

dwi Le premier terme du développement est donc L",

LE PROBLÈME RESTREINT. Ijy

. Nous avons dit f[ue F est une constante fjui ne dépend c|ue des L"; que les L" étant fonctions des W/, et réci|)roqueinent, nous pouvons aussi regarder P comme une fonction des W/; nous aurons alors entre les dérivées partielles par rapport aux W et les dérivées partielles par rapport aux LJ* la relation suivanle :

dLl ~ 2d d\\, 'dhf, ' ou, en se l'appelant la définition de /i'^ ,

^ ' dLl dLl

Nous avons ainsi des équations linéaires qui nous donneront les

constantes n'- en fonctions des L|- et de [jl. Gomme F et VVj et par

dF dW, 1,1 II • 1

conséquent — j^ et — ^ sont developpables suivant les puissances

de |JL, comme d'autre part le délermiuanl de nos équations linéaires se réduit à i pour ul := o (c'est-à-dire pour W/= L"), les n- seront également developpables suivant les puissances de a.

Il est aisé de trouver le premier terme du développement. En efi'et, pour [ji = o, on a

dF rtlj/j-

et nos équations linéaires se réduisent à

n',,= ni,.

Le premier terme du développement de n'- est donc /?/.

13!2. Comparaison des développements. — Reprenons nos développements (i2)j en y faisant couime plus haut )^"= o :

L/ =: L^-h V ;jL« A T"' cos ( V kw -i- hj, X/ = ivi-h 'V [JL* A't"' cos ( V kiV -h h'

Nous avons vu que l'on obtient une solution particulière des équations (lo) en y faisant

-: = /, ivi= fiit,

l8o - CHAPITRE VII.

et que l'on en obtient une autre en y faisant

T = o, n'/= iiit.

Ces deux solutions particulières doivent être identiques, car, dans l'une comme dans l'autre, les valeurs initiales des inconnues L/ et \i sont L" et o pour / = o.

Si donc nous développons ces deux solutions suivant les puissances de a, les deux développements devront être identiques.

Pour la première nous trouvons

L,= L" -i- V [JL^A /'« cos(vi! -F A),

\l = mt -t- > \x^M tm cos(v L -V- h'),

ml

Le développement est terminé, car les ni cl par conséquent v ne dépendent pas de ]x.

Pour la seconde nous trouvons

L/= L? -t- V [JL*A cosCv'/ -h A),

\i= n\t -t- V |jL*A'cos(v'/ -f- A'), où

et en ne conservant que les termes où l'exposant m est nul. Mais le développement n'est pas terminé, car les n'i et v' dépendent encore de [x.

Soient donc

n ; =r. m -f- \x /i^' ' -+- \i> ii^c '-+-...,

les développements de ii\ et de v' suivant les puissances de [j.; il faut remplacer n\ et v' par ces développements et développer cos(y' t -\- h) suivant les puissances de [x. On trouve ainsi, en développant d'abord suivant les puissances de v' — v,

cos( v' / + A ) = V -^ (v' — V j'" t'" eus ( V t^-h-^ ^ j .