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. , ,,^(iL,^-'-r-'^-t.

2U2 vu» y 2

de sorte que si l'on pose

A = A„-T-/«Ai, B = Bo-f-/«B,, ...,

m étant la masse de Jupiter et Aq, A,, ... étant des fonctions de U indépendantes de cette masse, on aura

(6^ JAo=:^-.U; Co=D„=Eo=H,==i(^^-.-.).

( . Bo = Ko = Lo = Mo = o.

208. Méthode de Delaunay. — Comme première approximation, nous allons supposer

Dans ces conditions, F ne dépend plus que de x, de r, et de U. On peut alors pousser l'intégration jusqu'au bout par la méthode de Delaunay. Nous n'avons d'ailleurs aucune raison de négbger les termes de degré supérieur en x et en y-

On trouve immédiatement deux intégrales

U = const., F = const.,

car F ne dépend ni de À, ni de t.

Considérons donc x et y comme les coordonnées d'un point

dans un plan, U comme une constante donnée et construisons les

courbes

en faisant varier la constante C.

Si l'on supposait m = o, il viendrait

et nos courbes se réduiraient à des cercles concentriques ayant pour centre l'origine.

On doit faire une attention toute spéciale aux points pour

lesquels on a

dx dy '

et, par conséquent,

57 = const., jK = const.

Ces points correspondent aux solutions périodiques. Dans le cas de m = o, ces points sont les suivants : l'origine ^=.X = o qui correspond à une orbite circulaire, et tous les points du cercle

dS (u — nSy^

qui correspondent au cas où le rapport des moyens mouvements est rigoureusement égal à " ^ '

dP

L'équation ^^ = o peut, suivant la valeur de U, ne pas avoir

de racine positive, ou en avoir une; nous nous supposerons placés dans ce dernier cas.

Nous remarquerons alors trois points, à savoir l'origine O et les deux points d'intersection A et B de l'axe des x avec le cercle

Passons au cas où 7n n'est pas nul, mais très petit. Les deux équations

d¥ d¥ dx dy

peuvent être remplacées par les suivantes :

dV •^ = "' ^=^'

auxquelles correspondront divers points sur l'axe des x. Comme m est très petit, ces points seront très voisins des positions O, A, B qu'ils occupaient pour m =^ o.

Nous aurons donc trois points, C voisin de O, A' voisin de A, B' voisin de B, qui correspondront à trois solutions périodiques, la première de la première sorte, les deux autres de la seconde sorte.

Les courbes F ^ C présenteront alors la foruie représentée sur la figure 3. Les courbes sont numérotées 1, 2, 3, 4, o, 6. On

Fig. 3.

remarquera que 1 et 2 sont des courbes fermées entourant le point C; que 3 et 5 forment par leur réunion une sorte de limaçon de Pascal ayant le point A' pour point double ; que 4 est une courbe fermée entourant le point B': enfin que 6 est une courbe fermée entourant les trois points A', B', G .

Le point représentatif x^ y décrit une de ces courbes et sa

vitesse a pour composantes

-^-. y-; elle est donc inversement

dy dx

364 cHAi'iiKfc; xiii.

proportionnelle à la dislance normale de deux courbes infiniment voisines. Le sens de cette vitesse dépend du sens de la normale suivant lequel les F vont en croissant.

Les courbes 1, 2 et 3 seront donc décrites dans le sens des aiguilles d'une montre, par exemple; les courbes 4, o et 6 dans le sens inverse. D'ailleurs, tandis que le point x, y fera une infinité de fois le tour des courbes 1,2, ï et 6, il ne parcourra qu'une seule fois les courbes 3 et 5 en allant du point A' au point A' dont il sera infiniment voisin tant pour / = — co que pour ^ = + x. La courbe 4 correspond au cas de la l.ihration.

Nos courbes fermées difi'éreront peu de circonférences.

Rappelons que les coordonnées polaires du point x^y sont ^/aS et s. Or on voit aisément cjue, (piand on parcourt une de nos courbes, S atteint son maximum et son minimum sur l'axe des x et que la différence entre ce maximum et ce minimum est en général de l'ordre de w, sauf pour les courbes 3, i, 5 ou pour les courbes peu différentes de 3 ou de 5, pour lesquelles cette différence est de l'ordre de \]m.

Parlons maintenant des variations de l'angle polaire s. Nous voyons qu'en général, quand le point .r, y décrit une de nos courbes, s varie de o à 27t ou de 27t à o. Il y a exception pour la courbe 1 et pour la courbe 4 qui laissent l'origine O en deliors.

Pour ces courbes, l'angle s oscille autour de o.

Mais les deux cas sont bien différents; dans les deux cas, on a rigoureusement la relation suivante : le moyen mouvement d'Hécube est égal à deux fois le moyen mouvement de Jupiter moins deux fois le moyen mouvement du péribélie d'Hécube (je suppose que /? == i , comme cela a lieu dans le cas d'Hécube).

ds Cette relation signifie en effet que la valeur moyenne de -j- est

nulle.

Mais on sait que le mouvement du périhélie est de Tordre des masses à moins que l'excentricité ne soit elle-même de l'ordre des masses; car, si l'excentiùcité est très petite, il suffit d'une très faible perturbation pour déplacer beaucoup le périhélie. Or, dans le cas de 4, l'excentricité est finie, le mouvement du périhélie est de l'ordre des masses, de sorte que le rapport des moyens

mouvements est égal à 2 ^ — — à des quantités près de l'ordre

des masses. On a une véritable libralion. Dans le cas de 1, au contraire, rexcentricité étant petite, le mouvement du périhélie est fini, de sorte cjue le rapport des moyens mouvements n'est pas

voisin de i = : il n v a pas cie hbration.

209. Influence de l'inclinaison. — Les équations qui donnent les variations de rinclinaison prennent la forme très simple

E et H doivent être regardés comme des constantes, puisque U =: const. L'intéoration est donc immédiate.

J'ai dit que Ton avait U = const.; et, en effet, si je tiens compte de l'inclinaison, mais C|ue je continue à négliger l'excentricité de Jupiter et les termes à courte période, F dépend seulement de U, X, y^ \, Tj, mais ne dépend ni de A, ni de t\ on a donc

— - = o, U = const., r = const.

ci h

210. Calcul de À. — La différence des longitudes moyennes de A se calculera par une simple cpiadrature.

On trouve en effet

A', B', ... désignant les dérivées de A, B, . . . par rapport à U. Comme U est une constante, les coefficients A', B', ... sont aussi des constantes; quant à .r, r, ;, y,, ce sont des fonctions connues et périodiques du temps. Cela résulte, pour x et y, de ce fait que les courbes F = C sont fermées, et pour ç et yi de la forme des équations ('y).

Le dernier membre de (8) est donc une série trigonométrique dont la quadrature est immédiate. Le terme tout connu de cette série représentera alors le moyen mouvement de )..

M. Andoyer a poussé l'approximation plus loin en tenant compte des puissances supérieures de x et de y. Je ne puis que renvoyer à son Mémoire dans le Tome XX du Bulletin astronomique.