L-omme -^ et -;- sont très petits et -^ très voisin de > on

dt dt ^ dt II

ds dx , .

voit que -f ^^ -jj sont très petits.

S est de l'ordre du carré de l'excentricité et T de l'ordre du carré de l'inclinaison.

Comme S et T sont petits, [I différera peu de la racine carrée du grand axe.

Je désignerai par /' et ra' l'excentricité et le périhélie de Jupiter, et je poserai

V = nX — / + ttt'.

<icf n II I nii dt

Comme —y- est nul, ou du moins très petit, on aura

dv dl dl

dt dt dt

dv . , .

ce cpii montre que -y- est aussi 1res petit.

Posons maintenant

a; = v/'iS COS5, ^=v/2Ssin*; ^ = y/'iT cost, ' t^ = v/aT sinx.

Comme

X dy — S ds. \ dr^ — T r/x

sont des différentielles exactes, les équations resteront canoniques et s'écriront

,r/U^ dj^ d^ d^ d^

\~dt ~ dï^ dt ~ d^' dt ~ dr,'

^'^^ j (fk __dF^ dy dF dr, ^ f^

' dt ~~ dV ' dt ~ dx' dt ~ d^ '

207. Forme de la fonction perturbatrice. — La fonction F est^ comme on sait, dé\eloppaljle, suixaiit les puissances de ecos/, esin/, icos(/ + ^-), is'm{l^ g), e' cos(t — ra'), (?'sin(/ — rn') et suivant les cosinus et les sinus des multiples de la différence des longitudes moyennes >., les coefficients du développement dépendant encore des grands axes, c'est-à-dire de L. Mais on voit

36o CHAPITRE XIII.

aisément (c/. n°^6o et suiv.) que e cos/=ecos[5-|-(/? + i)a], esin/, iCOs(/ + ^) = ?'cos[/H- (/? + i))v], /sin(/+o-) soni développables suivant les puissances de x, y^ ç, t, et les cosinus et sinus des multiples de A; que d'autre part

e' cos( t — m ) ^={e' cosp) cos nX — ( e' sine ) sin « X, e' «in (' / — ^ co') =: fé'' cost^ sin /? X — {e' sint') cos/î X.

On conclura que F est dévelo|)pal)le suivant les puissances de x^ y, ;, Y), e'cosc, e'siiip" et suivant les cosinus et les sinus des multiples de \. Les coefficients du développement dépendent encore de L = U — nS — /iT; ces fonctions de f^ peuvent être développées par la formule de Tajlor sui\ant les puissances croissantes de n['è -|- T), c'est-à-dire de

de sorte que finalement F procédera suixant les puissances de x^ y, ç, 7), e'cost^, e'sinc, cos/^A, sin/PA, les coeffici(Mîls du développement ne dépendant plus que de U.

J'observe maintenant que. par raison de symétrie, F ne doit pas changer :

i" Quand on change ; et Tj en — | et — r,.

2" Quand on change jk? '^ et v en — t, — 7, et — v.

Cela montre qu'un grand nombre de termes ne doi\ent pas figurer dans le développement.

Voyons maintenant quels sont, parmi ces termes, ceu\ qui sont à courte période. Ce sont les termes qui contiennent ). en dehors

des combinaisons s, t ou e. Car nous avons vu nue ^1 ~, -^ sont

' at dt dt

très petits, tandis que -,~ est fini.

Si, conformément à l'esprit de la méthode de Deiaunay, nous supprimons ces termes à courte période, nous pourrons dire que F est développable suivant les puissances de .27, y^ ç, r,, e'cosr, e'sinp, les coefficients dépendant seulement de U.

Si nous négligeons, comme M. Simonin, les termes qui contiennent en facteur :

PRINCIPE DE L\ MÉTHODE DE DELAUNAY. 36l

et si nous supprimons les termes qui doivent être nuls en vertu de la symétrie, nous trouverons

1 4- Ke'cosp -i- Lare' cost" + Mj^e' sinp.

A, B, G, D, E, H, K, L, M sont des fonctions de U.

Je remarque d'abord que F dépend encore de A indirectement. Car F est supposé exprimé en fonction de U, X, ,r, jk, ç, tj et de «; ici F dépend de U, a?, y, ;, ri et v = //). — ^ + ra'- C'est par rintermédiaire de v qu'il dépend encore de a et de t.

Si Ton suppose que l'on néglige la masse de Jupiter, on aura simplement

ou, en néiiliiieanl les carrés de S et de T,

au-