LIVRE Ht. ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES SYSTÈMES

le sommet S au centre de gravité '!e la buse ABE, et au quart à partir Je la base; il coïncide donc 'avec' le centre de gravité G | du triangle semblable A,B,E,. De même, les centres de gravité des pyramides triangulaires SBCE, SCDE coïncident avec les centres de gravité G,, G s des triangles B,G,B t , C.D.E,. Il faut, en ces points G„ G a , G„ appliquer des forces égales a\i\ poids des pyramides triangulaires; mais ces poids sont proportionnels aux volumes et par suite aux suiinues des bases, puisque la hauteur est la même, ou encore aux surfines des triangles A,B,E„ B^.E,, C,D,E,. On en conclut que le centre de gravité de la pyramide proposée coïncide avec le centre de gravité G dit polygone À'.B.C.D.E,.

Soil G' le centre de gravité du polygone ABCDE. En vertu de la similitude, le centre île gravité G du polygone A.B.C.D.E, est sur la droite SG', au quart à partir de la base. On dira donc, d'une manière générale, que le centre de gravité dune }>>ji--iiiti<lr- ii.t>mo<jhtr <j><i;lcmtque est situé sur la droite qui joint le sommet au centre de gravité de ta base, et au quart à partir de la base.

Ce théorème s'étend évidemment à un cône.

Il est facile maintenant de trouver le centre de gravité d'un solide homogène quelconque. On décomposera le solide en pyramides; on déterminera le centre de gravité de chacune d'elles, et on y supposera appliquée une Force égale au poids de la pyramide. Il suffira ensuite de trouver le point d'application de la résultante d'autant de forces parallèles qu'il y a de pyramides.

Conlre lie gr«iilê d'un, Iront, de pjramldo.

165. Si l'on coupe une pyramide par nu plan parallèle à la base, on obtient un tronc de pyramide (fiy. 127).

CBNTBKS PB lîKAVrrf- ; 2H

La droite qui joint le sommet S au -centre de gravité G' de la base supérieure, passe par le centre fis. in. de gravité G'' de la base supérieure. Le centre de gravité G, de la pyramide totale est situé sur cette droite, ainsi que le centre de gravi lé G, de la pyramide supérieure; le poids de la. pyramide totale étant la résultante du poids di- lit pyramide supérieure et du poids du tronc de pyramide, le centre de gravité G du tronc devra être situé sur la droite G,G„ ou G'G". On voit par là que le centre de gravité G du tronc de pyramide est situé sur la droite G'G™ qui joint les centres de gravité des deux bases parallèles.

Pour déterminer dans quel rapport le point G divise la droite G'G", nous appliquerons le théorème des moments des forces parallèles. Appelons S la surface de la base supérieure, S' celle de la base inférieure, x et y les distances du centre de gravité G aux deux bases ; nous désignerons, en outre, par H la hauteur de la pyramide totale, et par H' celle de la pyramide supérieure. Les volumes des deux pyramides étant proportionnels àH a et H' 5 , elles poids étaul proportionnels aux volumes, on peut représenter les poids des deux pyramides par H 1 et H' 1 . Prenons les moments par rapport au plan de la hase, et écrivons que le moment du poids de ia pyramide totale appliqué en G, est égal à la somme des moments du poids du tronc ot du poids de la pyramide supérieure appliqués eu G et G' a , nous aurons

W x|=(H'- II>-HI"([I-H'+ 1);

212 LIVRE IU. ÉQUILIBRE El KOOVEMENÎ DES SYSTEMES.

d'où » lin** - »'

(1) 4(H ! -.H> = H l -4aé"+3H».

Prenons maintenant les moments par rapport au plan de la base supérieure ; les deux points d'application G et G, sont situés d'un côté de ce plan, le point G, de l'autre coté; pour appliquer le théorème, nous regarderons les dislances des deux premiers points au plan comme positives, celle -du troisième point comme négative, ce qui nous donnera l'équation

d'où

(2) 4 [W— II ") y = H"- 4 H 'ff H- 3 H".

Le second membre de l'équation (1) est divisible une première fois par H — H', et l'on a

H 1 — 4Hff 1 4-5ff'=(H-H r )(ff+H , ff.+HH' i --3H ,, )î

le quotient étant divisible une seconde fois par H— H', il vient

H i -4HH' J +3H"=(H-H'^H'+2HH'+5H' , ).

Si l'on remarque que le second membre de l'équation (2) se déduit du premier membre de l'équation (1) par la permutation des lettres H et H', on écrira de suite

Les deux équations (1) et (2) deviennent ainsi

4(H"— H")a = (H— H')' (H* -H 2HH'4-3H?*), 4(ir-H'% = (H-HT(U*+2HH'+3H'), ni-

On en déduit «

W y~ ff , + aïIH r +3H' -

Les surfaces S et S' des bnscs étant proportionnelles à H* et à 0", et par suite les longueurs H et H' étant proportionnelles à VS et à /S', la formule précédente s'écrira'

w y S'+ a Kss'+3S

On déterminera, par exemple, le centre de gravité d'un tronc de cône à base circulaire, à l'aide de la formule

x r*+ an-+ 3r'' dans laquelle r et r' désignent les rayons des bases.

t66. Considérons la zone engendrée par l'arc ÂB tournant autour du diamètre OD {fig. 128)- La portion CD du diamètre comprise entre les plans des cir- Fl[ , ÎSi conférences décrites par les extrémités de l'arc AB est la hauteur de la zone. Si par le diamètre OD on mène deux plans quelconques , ces plans étant des plans de symétrie, le centre de gravité de la zone sera situé dans chacun d'eux , et par conséquent sur le diamètre OD, qui est leur intersection. Il tombe, en outre, entre les points C et D ; car il est évident que, lorsqu'un corps est placé tout entier d'un même côté d'un ■