LIVRE 111. ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES SYSTÈMES
plan , son centre do gravité est placé aussi de ce coté du plan ; la zone étant comprise entre les deux plans CA, DB, sou centre de gravité sera compris entre les points C etD. Je dis qu'il est au milieu de la droite CD. En effet , divisons la droite CD en un certain nombre de parties égales, et par les points de division E, E', E", . • ■ menons des plans [n:i'pi'iii]ir.u [aires à CD, ces plans diviseront la zone en un même nombre de parties égales. Le centre de gravité de la aone engendrée par l'arc AF est situé sur la droite CE, eulre les points C et E ; de même, le contre de gravité de la zone FF' est en un point de la droilu EE', et ainsi do suite.
Il faut regarder les poids des zones partielles comme des forces égales appliquées, une à cliaque division de la droite CD. Il est clair que, si l'on déplace tous les points d'application sur la droite CD, dans un même sens, on déplacera aussi le point d'application de la résultante, dans le même sens. Amenons en C le point d'application qui est entre C et E, en E celui qui est entre E et E F , en E' celui qui est entre E' et E", et enfin en E" celui qui est entre E" et D; après ce déplacement, le point d'application de la résultante sera en i, au milieu de la droite CE"; il en résulte que le centre de gravité cherché est à droite du poiul i. Amenons de même en E le point d'application qui est entre C et E, en E' celui qui est entre E cl E', en E" celui qui est entre E' et E", et enfin en D celui qui est entra E" et D ; après ce second déplacement, le point d'application sera eu (', au miiieu de la droite DE; il en résulte que le centre de gravité est à gauche du point ("', Le centre de gravité est donc entre les deux points i et i', qui sont situés du part et d'autre du milieu de la droite CD et dont in distance ii' est égale à une division. Si main-
CEHTKES DE OB«VITÉ.
tenant l'on augmente indéfiniment le nombre des divisions, l'intervalle iï se resserrant de plus en plus, on en conclut rjue le cetUre de la zuw coïncide avec le milieu dr. sa iututmr CD.
Par exemple, le centre de gravité de la surface d'un hémisphère est nu milieu du rayon.
Centra d« g"'»* ««leur .phiclquo.
167. Comme dernior exemple, cherchons le centre de gravité du volume engendré par le secteur AOC tournant autour d'un diamètre OC {fit/. 12'J); il est évident d'abord que le diamètre OC , étant un axe de symétrie, ou l'intersection de deux plans de symétrie, contient le fi centre degravitê.Du point 0 comme centre, avec un rayon égal aux trois quarts du rayon OA, décrivons une sphère; le oôue AOB détachera sur cette sphère une zone A;C,B,. Décomposons la zone ACB en un grand nombre de. parties équivalentes ; les surfaces coniques, ayant pour sommet le centre 0 de la sphère et pour hases ces portions équivalentes delà zone, diviseront aussi la zone A.C.B, en partie équivalentes , et décomposeront le secteur sphérique en petits volumes équivalents.
Afin de préciser le raiiiitnieuieul, nous désignerons para l'un dos éléments de la zone ACB, par a, l'élément correspondant de la zone A/^B, et par v le petit volume qui a pour base a. Menons un plan tangent en un point de la petite sur i'ace a, et sur le contour de cette surface prenons trois points tels, que le plan passant par ces trois points
aie LIVRE m. EQUILIBRE ET MOUVEMENT DES SYSTÈMES.
laisse toute la surface a à l'extérieur; si l'on rernplace..la surface a par le premier plan, on augmente le volume » et on éloigne son centre de gravité du centre de la sphère; si on la remplace, au contraire, par le second plan, ou diminue le volume v et on rapproche son centre de gravité du centre de la sphère; on a ainsi deux petits cônes à base plane comprenant le volume v ; les centres de gravité de ces deux cônes sont situés très-près de là surface a,, l'un à l'extérieur, l'autre a l'intérieur. Et quand on augmente indéfiniment le nombre des divisions de la zone ACB, les centres de gravité des deux cônes tendent vers un même point limite situé sur la zone A,C,B,. En concentrant la masse de chacun des volumes v en son centre de gravite, on a autant de molécules égales distribuées uniformément sur la surface de la zone A.t^B, ; on en ■ -conclut que le centre de gravité du secteur sphérique coïncide avec celui de la zone A.C.B,, et par conséquent est situé au milieu de la hauteur C,D, de la zone.
168. Proposons- no us d'évaluer une ligue plane AB tournant au' située dans son plan {fiij. 130). lu m. m. sec dans la
; décrite
par,
e droite X'X me ligne brirho. Soit MN l'un des éléments de la ligne brisée ; la droite MN engendre la surface latérale d'un tronc de c6ne ; cette surface a pour mesure la cireonférenceengendrée pat le milieu I de.MN, multipliée par le cô téMN du tronc.
CENTRES DE OBiVITÉ. 217
La surfaca engendrée par la ligne brisée a doue pour expression ■ ■ ■' ■-- ■ ■ ■ -■ • i ••■ >' -"-
le signe S s'élendant à lous les éléments de la ligne brisée. Imaginons que la courbe AB et la ligue brisée soient des lignes matérielles homogènes, dont le poids de l'unité de longueur est égal à l'unité; désignons par lell, les longueurs de ces lignes, et par y et y t les distances de leurs centres de gravité à l'axe X"X. Le centre de gravité de la droite MN coïncidant avec son milieu 1, le produit MN x 1K est le moment de cette droite par rapport à l'axe X'X; la somme des moments des divers éléments étant égale au moment du poids total de cette ligne appliquée en son centre de gravité , on a
et par suite la surface engendrée par la ligne brisée a pour expression an/,y, ou /, X ^ity,' Concevons maintenant que l'on augmente indéfiniment le nombre des côtés de la ligne brisée, de manière que chacun d'eux tende vers zéro, l'expression précédente aura pour limite IXiiry- Ainsi, la surface engendrée par une ligne plane tournant autour d'un axe situé dans son plan est égale à la longueur de cette ligne multipliée par la circonférence i/ue décrit son centre de gravité:
Comme application, cherchons la surface du tore engendré par un cercle de rayon r tournant autour d'un axe situé dans son plan, à une distance a du centre du cercle plus grande que le rayon. D'après le théorème précédent, la surface de ce solide a pour mesure la circonfé-
218 LIVRE m. É0UU4BRK Kl
DKS SYSTÈMES.
rence sur du cercle mobile , multipliée par la circonférence ara* décrite par son centre, c'est-à-dire ffiw.
169. Proposons-nous maintenant d'évaluer [o volume engendré par une aire plane tournant auteur d'un axe X 'X situé dans son plan \fi<j. loi ). L'aire plane est comprise entre deux ordonnons AB et CD perpendiculaires à l'axe; divisons la [droite BD en un certain nombre de pal lies égales, et par les points de division menons des ordonnées perpendiculaires. Par les points M et N, où l'une des ordonnées rencontre le contour de l'aire, menons des droites MM', NN', jusqu'à l'ordonnée suivante ; le volume engendré par le rectangle MSN 'M', étant égal à la différence des cylindres engendrés par les deux rectangles MPPUt', NPPTM', a pour mesure
ff(lP— HP ) X PP', «u *(MP- NP} (MP + ÏÏP) x PP'.
La distance IK du centre de gravite 1 du rectangle
préciVlenle devient donc
îttMN.IK.PP', ou 3 7rMNN'M'XlK,
et le volume engendre par la somme des rectangles a pour expression .
anS(MNN'M' y IK).
Appelons S l'aire plane proposée, y la distance de son centre de gravite a. l'axe, S, la somme des MctanglaSj y, la distance du centre de gravité de celle somme à l'axe, on a, d'après le théorème des montants,
S,y, = S(MNN'M'xlK), et le volume engendré par la somme des rectangles a pour mesure arcS,y t ou S, X vny,. Si l'on augmente indéfiniment le nombre des divisions de la droite BD, la somme S, des rectangles a pour limite l'aire [imposée S. et le volume engendré a pour limite S X my- Ainsi, le volume engendré par une tire plane tournant autour d'un axe situé dans $o?i plan est é.yàl à l'aire mu/tîplice par la circonférence que décrit son rentre de gravité.
Le volume du tore a pour mesure r.r 1 X ma ou anVo.
170. Nous avons délini le centre de gravité d'un corps solide : c'est le point d'application de la résultante des poids des divers pointa matériels qui composent le corps; afin de trouver cette résultante, il est nécessaire de supposer les points matériels liés invariablement les uns aux autres, c'est-à-dire le corps solide; le centre de gravité est un point parfaitement déterminé du corps solide et indépendant de la position du corps. Considérons maintenant une masse fluide, liquide ou gazeuse; concevons la masse solidifiée dans la forme qu'elle occupe à un certain moment et cherchons le centre de gravité du corps solide ainsi obtenu, nous aurons ce qu'on peut appeler le centre de gravité delà masse fluide à ce moment. Si la masse fluide change de forme, le centre de gravité se déplace luimême à l'intérieur.
220 LIVRE m. ÉQUILIBRE El SiOBVEMEKÏ DES STSTfaCES.
171. Proposons-nous d'évaluer le travail de la pesanteur, quand un corps vient d'une position À à une position A' i/i/j. 132); Appelons p le poids d'une molécule Fii. ni. quelconque m, z sa distance à
un plan horizontal fiie MN, P !e poids total du corps, et Z la dis- /^~Ht\ — I tance de son centre de gravité à ^-f-( L ce plan. En appliquant le théorème des moments des forces pa- 1 ' rallèles, nous aurons
(1) PZ=2/>3,
le signe £ s'étendaut à toutes Ie3 molécules du corps. Après le déplacement du corps, la molécule »ï vient en m'; soit G' le centre de gravité du corps dans sa nouvelle position; appelons z' la distance du point m' au plan MN, Z' celle du centre de gravité G', nous aurons de même
(2) PZ'=S^'.
Si l'on retranche, membre à membre, l'équation (2) de l'équation (1), en ôtanl de chaque produit pz le produit pz' qui correspond à la même molécule, il vient
La longueur = étant l'abaissement de la molécule m, le produit;; {z — z') est le travail du poids de cette molécule; le second membre est la somme des travaux des poids de toutes les molécules; c'est le travail total développé par la pesanteur. On voit donc que, dans le déplacement
CENTRES DE GMYITÉ.
d'un corps quelconque, lasommedes travaux dus aux poids des différentes moliailc* qui C'iiiijiosetU le corps est égale au poids total multiplié par le déplacement vertical du centre de gravité.
Le travail total est positif ou négatif, suivant que le centre de gravité s'abaisse on s'élève; certaines molécules peuvent s'abaisser, d'autres s'élever; le travail' de la pesanteur est positif pour les premières, négatif pour les dernières. Lorsque le centre de gravité lésie daus le même plan horizontal, le travail total est nul ; il y a, en quelque sorte, compensation entre les travaux positifs et les travaux négatifs des diverses molécules.
