LIVRE III. ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT UËB SYSTÈMES

force F eh Irois forces, dirijurt:.- resj)«i:tivement-simant les druites OA, 0,A, O t A. Il suffit pour cela de construire un parallélipipède ayant la force F pour diagonale cl ses arêtes dans les direolioii; indiquées ; puis, déplaçant le point d'application de chaque force sur sa direction, transportons ces composantes, la première au point 0, la deuxième au point 0,, la troisième au point 0,. Décomposons de même !a force F' en trois forces, dirigées suivant les droites OB, 0,B, 0,B, ei transportons ces forces eu 0, 0,, 0,, et ainsi de suite. Nous obtiendrons ainsi trois faisceaux de forces appliquées, les premières au point 0, les deuxièmes en 0,, les troisièmes en O s . Les forces appliquées en 0 ont une résultante R,, les forces appliquées en 0, ont une résultante R 5 , et de même les forces appliquées en 0, ont une résultante R 3 . Le système des forces proposées est ainsi remplacé par le système des trois forces R,, II,, R,, appliquées en trois points arbitraires 0, 0,, 0, du corps solide.

Nous avons décomposé la force F en trois forces, dirigées suivant les droites OA, 0,A, 0,A; celle décomposition est possible toutes les fois que le point A n'est pas situé dans le plan des trois points 0, 0,, 0,; car alors les trois droites forment un trièdre, et l'on peut construire ie paraliéb'pipède dont la diagonale est F. Si le point A était situé dans le plan 00,O a , sans que la force F y l ut elle-même, on déplacerait le point d'appbcalion de la force F sur sa direction, de manière à l'amener hors du plan. Si la force F était située dans le plan, on la décomposerait en deui forces dirigées suivant les droites OA, 0,A, à i'aide d'un parallélogramme.

1 79. Nous avons remplaeé les forces proposées par trois

coHPoarriON des forces appliqdêes a un cohps solide. 229

forces R,, R,, R,, appliquées en trois points arbitraires 0, 0,, 0,. Voyons maintenant comment on réduit ces trois forces, à deux. Soit OL {/ig. 142) la droite d'intersection du plan mené par le point 0 et r la -force B,, et du plan mené par le point Oet la force B,. Prenons un point 0' arbitrairement sur cette droite. La force R,, située dans le premier plan, peut être décomposée en deux forces, dirigées suivant les droites 00„0'0„ à l'aide d'un parallélogramme; noustransporteronsees d'euxeomposantes, l'une au point 0, l'autre au point O'.Do même, la force R,, située dans le second plan, peut être décomposée en deux forces, dirigées suivant les droites 00,, O'O^etnous transporterons ces deux composantes, l'une en 0, l'autre en 0'. Nous avons maintenant trois forces appliquées au point 0, et deux appliquées en 0'; les trois premières ont une résultante R, les deux autres une résultante R'. De cette manière, le système des trais forces R,, R„ R 5 , et par conséquent le système des forces proposées, est remplacé par le système des deux forces R, IV. Si les deux forces R,, R 3 élaii-nl situas dans un même plan avec le point 0, on mènerait par le point 0 une droite quelconque OL dans ce plan.

180. Il y a une infinité de manières de réduire le système ries forces proposées à deux résultantes. Nous remarquons d'abord que, sans déplacer les joints d'application Oet 0' des deux résultantes, on peut faire varier ces deux résultantes. Concevons, en effet, que l'on appliqneaux deux

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extrémités de la droite 00' \/ig. 145) doux forces égales et Fis-(«. ■ opposées/et— //iesdeuxforcesR et /, appliquées en 0, donnent 'une ' résultante S ; les deux l'ornes R' et — /, appliquées eu 0', donnent une résultante S' ; la système des deux forces R, R' est ainsi remplacé par système équivalent des deux forces 8, S'. La résultante S' est située dans un plan déterminé, ie plan mené par le point 0 et la force R'.

Le point d'application 0 de la première résultante est un point arbitraire du corps solide; laissant ce poiutOlixe, on peut déplacer le point 0' à volonté sur la droiteO'S', et par conséquent daus le plan OO'R'. ■

181 . Eu général, les deux résultantes R et R\ auxquelles on ramène toutes les forces proposées, ne sont pas situées dans un même plan; dans ce cas, comme nous l'avons vu n° 11C, ces deux forces n'admettent pas de résultante unique ; en d'autres termes, il est impossible de tenir en équilibre, avec uue seule force, ces deux résultanteson (e système des forces proposées. Ainsi, de quelque manière qu'on s'y prenne pour opérer la réduction des forces, on n'arrivera jamais à une résultante unique. m*. 144. Examinons le cas où les deux résultantes R et R', auxquelles on ramène les forces j proposées, sont situées dans un même plan. Si ces deux forces ne sont pas parallèles, elles se rencontrent eu un point i (fiij. 144),et donnent une résultante unique S appliquée au point 1.

COHFOBmOR DES FOKCCK AMM.IQUliES * UN CORVS SOLIDE. 231

SI les deux résultantes sont parallèles, sans être égales et de sens contraires, elles admettent aussi une résultante unique, Lorsque les deux résultantes sont parallèles, égales et de sens contraires, elles n'admettent pas de résultante unique et elles ferment un couple. Enfin, quand les deux résultantes sont égales et directement opposées, elles se font équilibre.

Telles sont les diverses circonstances qui se présentent dans la composition des forces appliquées à un corps solide.

Condition» d'f-quilibro d'un earpt mnlito.

182. A l'aide de ce qui précède, il nous est facile de trouver les conditions d'équilibre d'un système de forces appliquées à un corps solide.

Supposons d'abord le corps solide libre dans l'espace. Si l'on ramène les farces proposées à tleux résultantes, comme nous l'avons expliqué, ta condition nécessaire et suffisante pour que les forces proposées ii fissent équilibre: sut- le corps solide libre, c'est que les deux résultantes soivnf êqaks et opposée* (n° 175).

Supposons main tenant le corps solide assujetti à tourner autour d'un point fixe. Si l'on prend ce point fixe pour point d'application de l'une des résultantes R, cette force R étant détruite par la résistance du point fixe, il est nécessaire et il suffit, pour l'équilibre, que l'autre résultante R'passo aussi par ce point (11° 172(. Les deuv résultantes étant appliquées au point fixe admettent une résuitaute unique passant eu ce point. Ainsi, la 'condition nécessaire et suffisante pour que des forces se fassent équilibre sur un corps solide ayant un point fixe, c'est que ces forces se réduisent à. une résultante unique passant en ce point. Cette