LIVRE III. ÉQUILIBRE ET HOUÏEWBJTT DES SYSTEMES

résiliante unique est la pression que supporte le point Use.

Euliu , lorsque le corps solide est assujetti à tourner autour d'un axe fixe, on peut prendre un point de l'aie pour point d'application de l'une des résultantes. Cette première résultante étant détruite par la résultante du point fixe, il est nécessaire et il suffit pour l'équilibre que l'autre résultante soit située dans un même plan avec l'axe (n° 172). Ainsi, la condition nécessaire et su/fixante pour que des forces se fassent équilibre sur an corps ayant jgi axe fi.ee, c'est quelles m- réduisent à deux ri su! tantes, l'une appliquée en un point de l'axe, t autre située dans tm même plan avec taxe.

183. Les conditions d'équilibre, que nous venons de donner, nécessitent la détermination des deux résultantes ; on pourrait y arriver par une construction synthétique ; mais, en général, il est plus commode de traduire ces constructions géométriques par des équations analytiques. Quelques notions nouvelles nous sont ^nécessaires pour cela.

Lorsque plusieurs forces sont situées dans un même plan, on appelle moment de chacune des forces par rapport à un point du plan le produit de cette force par la perpendiculaire abaissée du point sur la force. Ainsi, le moment de la force F par rapport au point 0 est le produit de cette force par la perpendiculaire OD abaissée du point 0 sur la direction de la force (fiq. -145). Le moment est égal au double de l'aire du triangle OMA, lequel a pour sommet le point 0 et pour base la droite MA qui représente la force. Si l'on prend OM pour base, le double dé

cohpositiqn pEs.Fo«e£S.Ai>PUQUÉEs a us corps a l'aire île ce triangle a aussi pour. me- nu sure le produit de la base OM par la v hauteur du triangle, qui «si égale à la .

projection MA'du la droite MAsuruna droite MX perpendiculaire à OM. Ainsi, on peut dire que le moment de la force F appliquée en H, par rapport au point 0, est le produit de la distance OM par la projection MA' de la force sur une droite perpendiculaire à OM.

Lftrsque plusieurs forces appliquées au point M sont situées dans le même plan, il convient de donner des signes aux moments. Si l'on regarde le point 0 comme un point fixe, chacune des forces tendra à faire tourner le plan autour du point 0 dans un sens ou dansl'autre. Menons par le point M une droite X'X perpendiculaire à OM et projetons les forces sur celte droite, il est clair que les forces qui se projettent dans la direction M X font tourner dans un sens, et que celles qui se projettent dans la direction MX' lbnt tourner en sens contraire. Si l'on regarde les premières projections comme positives, les autres comme négatives, on conviendra de donner au moment de chaque force le signe de sa projection. D'après cela, le moment de chaque force est égal, en grandeur et en signe, au produit de sa projection par la distance OM.

184. Celaposé, considérons deux forces F et F' appliquées à un même point matériel Mjjïy. 146) ; leur résultante R est représentée par la diagonale MG du parallélogramme construit sur les longueurs MA et MB qui représentent les deux forces proposées. Le moment do chacune de ces forces par rapport à un point quelconque 0,

pris dans lo plan du : parallélogramme, estégal, comme dous l'avons vu, au produit de la projection de la force sur la -roheX'X perpendiculaire il OH par In distance OM. Mais on sait que la projection de la résultante R est Égale à la somme algébrique des projections des ileux forces F et F' ; on en cnndlill que le moment de In résultante est égal à la somme algébrique des moments des deux composantes.

Lorsque le poiul 0 est situé sur la résultante, la «Huilante ayant son moment nul, les moments des deux forces F et F' sont égaux et de signeï contraires.

185. On appelle moment d'une force par rapport à une droite ou axe quelcompie lo produit de la projection de la force sur un plan perpendiculaire à l'axe par la plus courte dislance entre la force et l'axe. Soit F une force appliquée an point H ; OZ, un axe quelconque {fiy> 147) : par le point M menons un plan P perpendiculaire à l'axe; projetons la force F sur le plan P, et du point 0, où le plan P coupe l'axe, abaissous une perpendiculaire OC sur ta force F,, projection 1 de la force F; cette droite OC est

égale et parallèle à la perpendiculaire commune AI) entre la force F ei t'aie 02, et mesure la plus courte distance dé ces deux droites. Le moment de la force F par rapport à t'axe OZ est lo produit do sa projection ¥ l sur le plan P par ta plus courte distance OC ; on voit que le moment est îe mémequeccïuidela projeelionF.parrapporî au prdfitO.

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coure-Binon des forces awliouées a un cobi's solide. 25T>

Il convient du donner en Bigne au moment. Imaginons que l'axe OZ et Jo point d'application M de la force tassent partie d'un corps solide assujetti à tourner autour de l'axo: on regardera comme positives les forces qui tendent à faire tourner le corps dans un sens s comme négatives, celles i|ui tondent à le faire tourner en sens contraire. Si l'on décompose la force F en deux forces, l'une F, perpendiculaire à l'axe, l'autre F, parallèle à l'axe, cette dernière tendant simplement a faire glisser le corps le long de l'axe, cl étant détruite par la résistance de l'axe, on n'aura à tenir compte i|ue de la force F, ; ainsi la force F produit la même rotation autour de l'axe OZ que sa projection F, sur un plan perpendiculaire. D'après cela, nous pourrons affecter les moments des forces autour de l'axe OZ de* mêmes signes que les moments de lours projections par rapport au point 0.

Nous remarquons que le moment de la force F par rapport à l'axe OZ ne peut Être nul que de deux mani& res, soit que la projection F) soit nulle, ce qui a lieu quand la force est parallèle à l'axe, soit que la plus courte dîstsnoe. sait nulle, ce qui a lieu quand la force rencontre l'axe ; on un mol, le moment d'une force par rapporta un axe est nul, quand la force est dans un même plan avec l'axe.

1 86. Considérons deux (orces F et F' agissant sur un poiiil matériel M, et appelons 11 leur résultante. La projection H, de la résultante sur le pian P perpendiculaire a l'axe OZ est la résultante des projections F, et F', des deux forces proposées. Mais nous avons démontré (n u 184) que, dans le plan P, et par rapport au point 0, le moment de la résultante 11, est égal à la somme algébrique des mo-

236 LITRE in. ÉQUILIBRE ET MOUVEHEKT DES SISTEKES.

mente des deux forces F, et F',; on eu conclut que, par rapport à l'axe OZ, le moment Je la résultante R est égal à la' somme algébrique des moments des deux forces proposées F et F'.

Ce théorème peut être étendu à un nombre quelconque de forces appliquées à un même point matériel, et nous dirons que le moment de la résultante, par rapport à un axe quelconque, est êijal à la somme aii/élirique des moments des composantes.

187. Considérons maintenant un système de forces F. F', F", ... appliquées en différents points d'un corps solide. Nous avons expliqué (n" i78) comment oo ramène d'abord toutes ces forces à trois résultantes R,, R,, R,. appliquées en trois points arbitraires 0, 0,, 0, du corps. Pour cela, nous avons décomposé la force F, .appliquée en A, en trois forces dirigées suivant les droites OAjO.A.O.A. Nous remarquons que la projection de la force F sur un axe quelconque est égale à la somme algébrique des projections de ses trois composantes, et que le moment de celle force, par rapport au même axe, est égal à la somme algébrique des moments de ses trois composantes. Nous avons transporté ces composantes sur leurs directions, l'une en 0, l'autre en 0,, la troisième en 0, ; il esl clair que, quand ou déplace le poinl d'application d'uDe forée sur sa direction, sa projection, ou son moment par rapport à un aie quelconque, ne changent pas. Nous avons ensuite cherché la résultante R, des forces appliquées en 0, la résultante R, des forces appliquées en 0,. et la résultante R, des forces appliquées en 0, ; la projection de chacune de ces résultantes sur un axe quelconque est égale à la somme des projections de ses composantes, et de môme