COMPOSITION DES FOUCES APPLIQUÉES A DN CORPS SOLIDE

le moment de chacune ilo ces résultâmes, par rapport au même axe, est égal à somme îles moments de ses composantes. Il résulte de là, 1° que la somme des projections des trois résultantes R,, B„ R 3 sur un axe quelconque est égale à k somme 'les projections <] lV forces proposées ; 2° que la somme des moments des trois résultai! les, par rapport au même axe, est égale à la somme des moments des forées proposées.

Nous avons ramené ensuite ( n° 179) les trois forces R,, R l5 R, à deux résultantes R, R'. Pour cela, nous avons décomposé chacune des forces R, et R, en doux composantes, dans le plan passant par cette force el le point 0, déplacé ces doux composantes sur leurs directions pour les amener, l'une en 0, l'autre en 0', puis composé les trois forces appliquées en 0 el les deux forces appliquées en 0', ce qui donne les deux résultantes R et R'. Or, ces opérations, comme nous l'avons vu, ne changent, ni la somme des projections, ni la somme des moments. De là, ou conclut les deux théorèmes suivants :

Théorème 1. Quand un système de forces appliquées à un corps solitli: u été réduit, à d.eur. résultantes, la somme des projections des de.u.r résultantes s/a- un axe quelconque est égale à la somme, des projections des forces proposées.

Théorème II. La. somme des moments de ces deux résultantes, par rapport à un axe quelconque, est égale à la somme des moments des forées proposées.

188. Voyons ce que deviennent ces théorèmes, quand les forces proposées se font équilibre sur le corps solide (n° 182). Si le corps solide est libre, les deux résultantes étant égales et opposées, leurs projections sur un axe

238 ljïbe m. équilibre et mouvement des sysïèWbs.

quelconque sont égales et de signes contraires; leurs momenis, par rapport au même axe, sont aussi égaux et de signes contraires. Ainsi:

Corollaire I. Lorsque dus forces se font équilibre sur un corps solide libre dans [espace, \° la somme de leurs projections sur un uxc quelconque es/ nulle; 2" la somme de leurs moments, par rapport à mt axe quelconque, est nulle.

Lorsque le corps solide a un point fixe, les forces admettent une résultante unique passant en ce point; le moment de cette résultante, par rapport à un axe quelconque mené par ce point, est nul, car la plus courte distance de la force à l'axe est nulle. Il en résulte :

Corollaire H. Lorsque des forces se font équilibre sur un corps solide ayant un point fixe, la somme des moments des forces, par rapport à un axe quelconque passant pille point fixe, est nulle.

Lorsque le corps solide a un axe fixe, les forces se réduisent à deux résultantes, l'une appliquée en un point de l'axe, l'autre située dam; un même plan avec l'axe. Le moment de la première résultante, par rapport à l'axe fixe, est nul ; le moment de la seconde résultante est nul aussi. Cela est évident, quand elle rencontre l'axe ; lorsqu'elle est parallèle à l'axe, sa projection sur un plan perpendiculaire à l'axe étant mille, son moment est encore nul. Ainsi :

Corollaire DI. Quand des forces se font équilibre sur un corps solide ayant un axe fixe, la somme de leurs moments, par rapport à -tissu fixe, est nulk.

COHPÛSmOM DES FORCfcS APWQUÉKS A m COUPS BOLIDE. '239

ÈquLiallA d'àquiUbra.

189. Nous pouvons maintenant, à l'aide de ce qui précède, établir par des cquiiiions les conditions nécessaires et suffisantes pour l'équilibre des tarera appliquées à un corps solide. Supposons d'abord le corps solide libre dans l'espace. Par un pomlarbilraireOde l'es|>ace, menons trois axes rectangulaires Ox, Qy, Os (/iy. 148). Appelons a, b, c les angles que la force F fait avec Hg. us.

les nses,.*', y, z lescoordonnéesdeson *| point d'application, p, q, r les plus !

courtes distances de cette force aux | axes. Appelons de même a', />', c' les y s angles que la force F' fait avec les / axes, etc. Si les forces se font équili- " bre, la somme des projections sur chacun des axes élant nulle, ainsi que la somme des moments par rapport à chacun d'eux, on a les six équations

IS(Fcosffl)=o, / 2(FsinaX/>)=o,

S(FeoaÈ)=o, (2) J s(Fsin * x g) = °, S(Fcosc)=o, ( S(FsincXr)=-o.

en donnant à chaque moment le signe convenable.

La réciproque est vraie : quand des forces, agissant sutun corps solide libre, vérifient ces six équations, il y a équilibre. En effet, on peut réduire toutes ces forces à deux résultantes II et R', dont l'une soit appliquée au point 0. Appelons A, D, C les angles que fait la première résultante avec les axes, A', B', C ceux que lait la seconde résultante. La somme des projections des deux résultantes sur chacun des trois axe-test égalti à la somme des projections

240 tiïiîB m. ÉouiLinni; i:t mouvement des systèmes.

des forces proposées. Ces dernières sommes étant nulles par hypothèse, on a

R cos A + R' cos À'= t> ,

RcosR + R'cosB'^o,

RcosC-r-R'eosC'=o;

on en déduit

cos A nos B cosC R'

cobA' - cosB'~~ eosC'^~ R"

Le nouveau rapport

/cos* A -f- cos 5 B + cos- C ^ ^ ± l/"i;o= A '+ cos ; U'4- cos" C '

forme avec les trois première, est ■égal à chacun d'eux: on prendra — i, puisque le quatrième rapport — ^ osl négatif. On a ainsi

R'=R, cosA'=— cos A, cosB'=— cosB,cosC'= — cosC,

ce qui apprend que les deux résultantes sonl égales et de sens contraires.

La somme des moments des deux résultantes, par rapport à chacun des axes, est égale aussi à la somme des moments des forces proposées; ces dernières sommes étant nulles par liypollièse, les premières le sont également. La résultante R passant par le point 0, son moment par rapport à chacun des axes es! nul ; il en résulte que le moment de la seconde résultante R', par rapport à chacun des axes, est nul. Mais on sait que, lorsque le moment d'une force par rapport à un axe est nul, celte force rencontre l'axe ou lui est parallèle ; il peut arriver que la force R' soit pa-

coOToamoN des forces appliquées a on coups solide. 241 rallèle à l'un des trois axes; mais alors elle rencontrera les deux autres, et passera par leur point d'intersection 0. Les deux résultantes R et R\ qui sont égales et de sens contraires, étant appliquées au même point 0, se font équilibre. Ainsi, quand des forces, agissant sur un corps solide libre, vérifient les six équations (i), ces forces se font équilibre.

190. Supposons actuellement que le corps solide ait un point fixe 0. Menons par ce point trois axes rectangulaires Ox, Oy, Qz. Si les forces proposées se font équilibre, la somme de leurs moments, par rapport à chacun des axes, est nulle, et l'on a les trois équations

IS(FsinoX^)=0, S{FsiniX?) = 0, l(¥siacxr)=0.

La réciproque est vraie : quand des forces, agissant sur un corps solide ayant un point fixe 0, vériûent les trois équations (2), il y a équilibre. En effet, on peut réduire ces forces à deux résultantes, dont l'une R soit appliquée au point 0. En vertu des équations (2), le moment de la seconde résultante R', par rapporta chacun des trois axes, étaDt nul, cette force R' passe par le point 0 ; les deux forces R et R' se réduisent ainsi à une résultante unique appliquée au point fixe 0, et il y a équilibre.

191. Considéronseufinlecasoùle corps solide a un axe fixe. Prenons un point quelconque 0 de cet axe pour origine des coordonnées, et cet axe lui-même pour axe des s. Si les forces proposées se font équilibre, la somme de