LIVRE 111. ÉQUILIBRE ET HUUÏESIEM DES SYSTEMES

que font avec la droite BA les vitesses AC%t BE des pointa A et B, les projections de ces vitesses sur la droite BA.éUnt égaies, on a

uC0Sa=u'C0Sa'; si l'on multiplie ces deux quantités égales par Fàl, on a les deux produits égaux

Fi>cosct.A(=Fc'cpsa'.Ai.

Ainsi, le travail élémentaire de la force F resle le'même, que la force soit appliquée en A ou en B.

198. Pour réduire à deux résultantes un système de forces appliquées à un corps solide, nous avons décomposé chacune des forces proposées en trois autres, dirigées suivant les droites qui joignent le point d'application k trois points 0,0,, 0, pris à volonté dans le corps solide, puis déplacé le point d'application de chacune des composantes sur sa direction, et réuni les composantes appliquées en ch'acun dos points 0, 0,, 0,; nous avons ensuite réduit ces trois résultantes à deux par des opérations analogues. Imaginons que l'ou imprime au corps solide un déplacoroentquelconquedaus l'espace: les opérations précédentes n'allèrent pas la somme des travaux élémentaires; on en conclu! :

Théorème 111. Lorsqu'on réduit à deux résultantes un système de forées appliquées à vn corps solide, la somme des travaux élémentaires de ces deux résultantes est égale à la somme des travaux élémentaires des forées proposées, que! que soi/ le déplacement du corps solide dans F espace.

199. Ce théorème comprend, comme cas particuliers, les deui théorèmes 1 et 11 (n° 187). On ce von s d'abord qne

COMPOSITION DES ÏCJBCBS APPLIQUÉES A UN COBP8 SOLIDK. 251

l'on donne, au corps solide ou mouvement de translation rectiiiguG et uniforme, parallèlement à une droit* ou axe quelconque ; tous les points du corps auront la même vitesse v parallèle à cette. droite ; si l'on appelle a, d, df ... les angles que font avec l'axe les forces proposées F, F', F* A et A' ceux que font les résultantes Ret R' avec cette même droite, et si l'on écrit que la somme des travaux élémentaires des deux résultantes est égale à la somme des travaux élémentaires des forces proposées, on aura

R cos A . u Ai + R' cos A', v Ar= sFcosa. r Ai, ou, en divisant tous les termes par uA/,

R eos A -t- R' cos A '— S Fcos a.

Ainsi, la somme des projections des deux résultantes sur une droite quelconque, est égale à la somme des projections des forces proposées.

yOU. Concevons maintenant que l'on lasse tourner le corps solide autour d'un axeli\eOZ(/îff.!54), d'un mouvement uniforme, avec la vitesse an- pju |M gulaire m. Le point d'application M de la force F décrivant un cercle de rayon OMdans le plan I 1 perpendiculaire à l'axe, sa vitesse est perpendiculaire à OH dans ce plan P.

Décomposons la force F en deux forces, l'une F, parallèle à l'axe, l'autre F, perpendiculaire; le travail élémentaire de la force F est égal à la somme, des travaux élémentaires de ses deux composantes; la force. F, étant perpendiculaire à la vitesse, sou travail est nul : il resteàévaluer le travail de la force F,- Abaissons du point 0 une perpendiculaire OC

352 u\m m èquiluihe et mouysmeiii dks srstÊsita. sur k force F,, et supposons celte force appliquée en C ; la vitesse du point C étant dirigés .suivant CF, et égale à (uXOC.Ietravail élémentaire de la force F,est F^xOCXAl oitF,xOCXuAi- Ainsi, le travail élé m en la ire de la force F pendant le temps ài, est égal à l'angle de rotation &>Af, multiplié par le moment de la force par rapport à l'axe.

On regarde la vitesse angulaire de relation u comme positive on négative, suivant que le corps tourne autour de l'axe dans un sens ou dans l'autre; pour que la relation précédente entre le travail élémentaire et le moment subsiste' dans tous les cas, on adoptera la même convention pour le signe du moment.

Si l'on écrit maintenant que lasomme des travaux élémentaires des deux résultantes est égale à la somme des travaux élémenlaircs des forces proposées, et si l'on supprime le facteur commun uAf, ou en conclut que ta somme des moments des deux résultantes est égale à la somme des moments des forces proposées.

201 . La coiisidëraliou des mouvements virtuels permet de comprendre dans un seul énoncé les conditions d'équilibre d'un corps solide, que ca corps soit libre, ou qu'il soit assujetti à tourner autour d'un point lise ou d'un axe fi m?. Lorsque le corps solide est libre dans l'espace, s'il y a équilibre, les deux résultantes sont égales et opposées ; on peut les supposer appliquées au même point; alors il est évident que leurs travaux élémentaires sont égaux et de signes contraires, quelque soil le- déplacement du corps solide; doue la somme des travaux élémentaires des forces proposées est nulle. Lorsque le corps solide est assujetti à tourner autour d'un point fixe, les forces proposées, pour se faire équilibre, doivent se réduire à une résultante

couposmon des forces appliquées a on cohps soude. 255

unique appliquée an 'point fixe; le travail de cette résultante étant nul pour "tout déplacement du corps autour du point fixe, on en conclut que la somme dos travaux élémentaires des forces proposées est nulle. Enfin, lorsque le corps solide est assujetti àtourner autour d'un aie fixe, les forces doivent se réduire à deux résultantes, l'une appliquée en un point de l'axe, l'autre située dans un même plan avec l'axe. Le seul mouvement virtuel ou possible est une rotation autour de l'axe, dans un sens ou dans l'autre : la première résultante, appliquée à un point fixe, a un travail nul ; la seconde, rencontrant l'axe ou étant parallèle à l'axe, a aussi un travail nul ; donc la somme des travaux élémentaires des forces proposées est nulle. Ainsi, on peut énoncer dans tous les cas le théorème suivant.: . . ...

Théobèhe IV. Lorsque des forces se font équilibre sur un corps solide ,libre,ouassujettiâtourner autour d'unpointent d'un axe fixe, la somme des travaux élémentaires des forces est nulle pour tout mouvement virtuel d'un corps solide.

202. La réciproque est vraie : lorsque la somme des travaux élémentaires est nulle pour tout mouvement virtuel, les forces se font équilibre sur le corps solide. Considérons d'abord le cas où le corps solide est assujetti a tourner autour d'un axe fixe : il n'y a qu'un mouvement virtuel, la rotation du c or |> s solide autour de l'axe fixe, dans un sens ou dans l'autre; si l'on réduit les Forces proposées à deux résultantes, dont l'une soit appliquée en un pointO pris à volonté sur l'axe, la somme des travaux élémentaires de ces deux résultantes étant nulle, ainsi que le travail dë la résultante R épliquée au point fixe 0, le travail de la seconde résultante R' est nul aussi. Pour

234 LIVRE tll. ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DUS SYSTÈMES.

cela, il faut que la force R' soit perpendiculaire k la vitesse virtuelle de son point d'application 0', et par conséquent soïl située dans le plan normal au cercle que décrit le point 0'. Ce plan normal passant par l'axe fisc, on voit que la résultante R' est dans un même plan avec l'axe; ainsi, il y a équilibre.

Supposons maintenant que le corps soiide ait un point fixe 0 ; réduisons les forces proposées à deux résuîtantes dont l'une il soit appliquée au point 0, le travail élémentaire de l'autre résultante R' sera nul pour tout déplacement du corps solide autour du point 0. Le point d'application 0' de cette seconde force se meut sur la sphère décrite du point 0 comme centre avec 00' pour rayon, mais dans une direction quelconque, et il y a une înlinité de mouvements virtuels. La force R', ayant un travail Élémentaire nul, est normale à toutes les courbes (racées par le point 0' sur la sphère ; elle est donc normale à celle sphère et par conséquent dirigée suivant le rayon 00'; ainsi il y a équilibre.

Lorsque le corps solide est libre dans l'espace, tous les déplacements sont possibles. Après avoir réduit les forces à deui résultantes R et R', imaginons que l'on fasse tourner le corps autour du point d'application 0 de la prémière résultante d'une manière quelconque, nous en conclurons, comme précédemment, que la seconde résultanleR' passe aussi par le point 0. Je dis maintenant que ces deux résultantes sont égales et opposées; autrement, elles admettraient une résultante unique et, en déplaçant le point 0 sur cette résultante, on aurait un travail différent de zéro. Ainsi ,

TaÉoaÈME V. Lorsque des forces /iijmmt sur un corj,s so-

C0W0SFI10N DES FORCES APH.UJIIÉt* A UN COHM BOLIDE. 255

lide, libre, ou assujetti à tourner autour a"un point ou d'un me fixe, et que la somme de leurs travaux élémentaires est nulle pour tout mouvement virtuel du corps solide, U y a équilibre.

Équilibre d'un corps BOlido l'appuyant contre un plan uto.

205. Lorsqu'un corps solide, sollicité par différentes forces F, F', s'appuie par un point k contre un plan très-résistant et parfaitement poli, le plan exerce contre le corps urne réaction normale appliquée au point A ; si celle réaction normale, que nous désignerons par N, tient eu équilibre les forces F, F', ces forces admettront une résultante unique R, égale et opposée à la force N. Quand celte condition est remplie, la résultante R est détruite par la résistance du plan, et il y a équilibre. Ainsi, la condition ■nécessaire et suffisante pour que des fiirr.es se fassent équilibre su?' un corps solide ipii. s'appuir. pur un point contre «n pkin rigide et parfaitement poli, c'est que ces força se réduisent à une résultante unique, passant par le point d'appui, normale au plan, et appuyant le corps contre le plan.

Considérons, par exemple, un corps pesant reposant par un point A sur un plan horizontal (fit/. 155). Ce corps est sollicité par son poids P appliqué eu sou centre de gravité; la condition d'équilibre, c'est que la verticale abaissée du centre de gravité G passe par le point d'appui A. Quand celte condition est remplie, la force P, passant par le — point A et normale au plan, est détruite par la résistance du plan. U est clair que le corps exerce sur le pian une pression égale à son poids P.

256 L1VBE m. ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES SYSTÈMES.

204. Ceci nous donne l'occasion de distinguer deux sortes d'équilibre, l'équilibre stable et l'équilibre instable. On dit que l'équilibre est stable, lorsque le corps, dérangé très-peu de sa position d'équilibre, tend à y revenir. Dans ie cas contraire, on dit que l'équilibre est instable. Pour en montrer un exemple, considérons un cylindre elliptique homogène, reposant par une arête latérale sur un plan horizontal. Le centre de gravité G du cylindre, coïncide avec le centre de l'ellipse qu'on obtient en coupant le cylindre en deux parties égales par un plan perpendiculaire aux arêtes. On peut se borner à considérer cette ellipse reposant par un point A sur une droite horizontale. Le rayon GA devant être vertical et par conséquent perpendiculaire à la tangente en A qui est horizontale, le point de contact A est l'un des quatre sommets de l'ellipse. Nous ferons voir que, lorsque le point de contact est l'un des sommets du petit axe AA' \fig. 155}, l'équilibre est stable ; mais que, si, au contraire, le point de contact est l'un des sommets du grand axe, l'équilibre est instable.

Supposons d'abord que l'ellipse repose sur le plan par uu des sommets du petit axe. Quand on dérange l'ellipse de sa position d'équilibre, laperpendiculaireGH(yîy. 156), Fin m. abaissée du centre de gravité sur le plan horizontal, étaniplus grande que le rayon GM, qui est lui-même plus grand que la moitié GA du petit aie, le centre de gravité G s'élève. Si l'on abandonne ensuite le corps à luimême, le centre de gravite tend à redescendre, et le corps revient à sa position primitive, qu'il dépasse en vertu de la vitesse acquise, et de part et d'autre de laquelle il oscille. Donc l'équilibre est stable.

'COMPOSmON DES FORCES APM.10.HÉES h DK cours SOLIDE. 257

9 maintenant que l' ellipse Tepose sût le pian horizontal par une des extrémités B de son grand axe [fig. 157). Quand on dérange le corps dfi sa position d'équilibre, la perpendiculaire GH pi 6 . i s j. étant plus petite que le rayon GM qui -va du centre au point de contact, et ce rayon étant !

plus petit que la moitié GB du grand axe, le centre de gravité G s'abaisse. Si l'on abandonne ensuite le corps à luimême, le centre de gravité tendant à descendre, le corps ne reviendra pas ii sa première position; il s'éloignera eneore davantage, et se rapprochera d'une position d'équilibre stable. Ainsi, quand l'ellipse repose par le sommet B, il y a équilibre instable.

' 205. Lorsqu'un corps solide s'appuie par deux points A et B contre un plan {fit/. 158), le pian exerce sur le corps deux réactions normales N.N', appli- rit- 'sa-

quées en A et en B; ces deux réactions parallèles ont une résultante N +N' appliquée en un point I de la droiteAB.

SilaforceN-hN'tientenéquilibreles " ' autres forces qui agissent sur le corps V solide, ces dernières forces ad jettrout une résultante unique, égale et opposée à la force N +N'. Par exemple, un corps pesant, qui repose par deux points A et B sur un plan horizontal, sera en équilibre, si la verticale abaissée du centre de gravité G rencontre la droite AB en un point I situé entre les deux points A et B. Il est lacile de calculer les pressions partielles que le corps exerce contra lë plan en A et B; il suffit de décomposer le poids P du corjis en

258 LIVRE m. ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES SÏSTBBES.

deux forces parallèles appliquées, l'une en A, l'autre eu B. Ou a