Revenons au cas général. Si l'on projette sur une

LITRE [, CINÉMATIQUE.

droite quelconque la ligne brisée OABCLi (/ïg-23), ou sait Fi S . gs. que la projection de la résultante OD

, : est égale à la somme algébrique des projections des différents côtés de la ligue brisée. Ainsi, (a projection lie la vitesse résultante sur une droite quelconque eu égale à la somme algébrique desprojifl ions tins vitesses composantes.

Ce théorème est vrai, que les projections soient obliques ou orthogonales.

On peut, à l'aide do ce théorème, déterminer pur le culcul la vitesse résultante. Menons trois axes rectangulaires ox, ou, os (fig. 24). Désignons par d la première vitesse, B S . m. et par a, b, c les angles qu'elle l'ail

avec les axes; par»' la seconde vitesse, et par a', b', c' les angles qu'elle t'ait avec les axes, elc. ; appelons V la vi- ~~i tesse résultante et A, B, C les angles qu'elle fait avec les axes. En projetant orthogonalemeul sur chacun des (rois

V cos A = i;cosa + u'cosa'-f- t>"coso".+ •■■

V cos B — ii cos b + v' cos b'+ if cos b" + . . .

{ VcoS C = VCOit! + tï'cOSC'-f- u"cOSc" + ...

Eu joignant à ces trois équations la relation connue

(2) cos 5 A -t- cos 1 B + cos 1 C = 4 ,

on a quatre équations pour déterminer les quatre inconnues V, A,B , C. Si l'on élève au carré les deux membres des trois premières équations et qu'on tes ajoute mem-

COMPOSITION DES VITESSES

(3) Y 1 ={ucosa+i>'cGsa'+...) a +(t , coso+t)'co3 &'+... ) s + (i)cosc + «'cose'+ ...}*.

Une ibis que l'on connaît la grandeur V de (a vitesse résultante, les trois équations {1} donnent les angles A, B, G et, par conséquent, déterminent sa direction.

27. Il est clair que la grandeur de la résultante ne dépend que de la grandeur des vitesses composantes et des angles qu'elles forment deux à deux ; le second membre de l'éqnalion (5) doit donc être indépendant delà position des axes choisis pour effectuer le calcul. C'est ce qu'il est facile de reconnaître: si Ton effectue les carrés et que l'on groupe convenablement les termes, il ïient

V=u , (cos 1 a-|-cos"o+cos 1 c)+i>' i (cosV-H cos'&'+cosV) + ... + 2ct'(cgs(j cosa'-r-cos!i cos&'-i-cosccosc')+... ,

ou, ulus simplement,

V J = r i + !!« -+- + . . . + 2tm' cos («, v') +. . .

Le carré de la résultante est égal à ta somme des carrés des composantes, plus deux fois la somme des produits que ('on obtient ttt multipliant ces ^imposantes deux à deux et par le cosinus de l'angle qu'elles forment entre elles.

Pour deux vitesses, ou a fa relation

Y'^u'-r-u^ + Stw'cosp;, v'), que nous avons déjà trouvée. Pour trois vitesses, ou a

V*= e» + d' 2 -+- v" 1 + 2w>' cos {v, t>') -+- 2t> V cos (t\ t?) + 2u v «cosK,e).

28. On connaît le mouvement d'un mobile dans le système B et celui du système A dans le système B ; on demande quel est le mouvement du mobile par rapport aux points du système À ; c'est ce mouvement que verra un observateur placé dans lo système A; voilà pourquoi on l'appelle mouvement apparent. Il est clair que le mouvement du mobile par rapport au système B est le mouvement résultant du mouvement du mobile par rapport au système A et du mouvement du système A dans le système B. C'est la question inverse de celle que nous avons traitée précédemment. Soit M la position du mopi( j( bile au temps ( dans le système A

w et dans le système B, M" le point du système B, où se trouve le mobile au temps i+Af ; M'ia position au temps t du point du système A qui au temps ( + At vient en M"; d'après ce qui a été dit, MM' sera le déplacement apparent ou relatif du mobile dans le système A. Si le système A a uu mouvement de translation dans le système B, on peut dire que M 'M* est le déplacement du système A dans le système B, pendant le temps Af; ie déplacement apparent MM' du mobile dans le système A peut être considéré comme la somme géométrique du déplacement MM" du mobile dans le système B et d'uu déplacement M"M' égal et contraire au déplacement M'M" du système A dans le système B. On obtiendra donc le mouvement apparent du mobile dans le système A, en regardant le système A comme fixe et imaginant que le système B ait, par rapport au système A,

un mouvement ne translation égal et contraire à celui du système A dans le système B.

29. Si MA (fa. 26) est la vitesse apparente du mobile dans le système A au temps (, AB la «„. „„ vitesse du point du système A où se trouve le mobile à cet instant, la somme géométrique MB sera la vitesse du mobile dans le système B. Réciproquement, ia vitesse apparente MA au "

temps ( est la somme géométrique de la vitesse MB du mobile dans ie système B et d'une vitesse BA égale et contraire à la vitesse AB du point du système A où se trouve le mobile au temps f.

30. Considérons, par exemple, deux bateaux se mouvant sur un lac tranquille. Chacun d'eux a un mouvement recliligne et uniforme: on demande le mouvement du second par rapport au premier. Soit M la position du premier bateau au temps ( [fig. 27), MA sa vitesse, M' la position du second bateau au même instant, M'A' sa vitesse ; si à la vitesse M'A' du second bateau on ajoute une vitesse A"B' égale et contraire à la vitesse MA du premier hateau, la somme géométrique M'B' sera la vitesse relative du second bateau par rapport au premier. Les personnes placées sur le

premier bateau croient que le second marche dans la direction M'B'.

De même, si à la vitesse MA du premier bateau on ajoute une vitesse AB égale et contraire à celle dusecond.

L1VIIE I. CINÉMATIQUE.

ou a la vitesse relative MB du premier bateau par rapport au second. Les pfTsnniirs plficrcs sur le second bateau voient le premier marcher dans la direction MB. A cause des triangles égaux MAB, M'A'B', nous remarquons que les deux vitesses relatives M'B', MB sont égales, parallèles et de sens contraires.

Si les deux bateaux se mouvaient sur des droites parallèles avec la même vitesse, la vitesse relative serait nulle; les personnes placées sur l'un d'eux verraieut l'autre immobile. C'est ce qu'on observe sur les chemins de fer ; quand deux trains marchent sur deux voies parallèles, avec la même vitesse et dans le même sens, les personnes qui sont dans l'un des trains et qui regardent l'autre ne s'aperçoivent pas du mouvement général de translation de tout le système.

31. A cette question se rattache la suivante: un premier hateau est en M et marche dans la direction MA {fig. 28), avec la vitesse v représentée par la longueur MA ;

Fis. ss. un second bateau placé, en

m ' o M'est animé d'une vitesse v'

que lui impriment les rames ou la vapeur. Quelle direction faut-il donner a ce second bateau pour qu'il atteigne le premier, parmi mouvement rcetïligne et uniforme? Si l'on cherche la vitesse relative du second bateau par rapport au premier, il faut évidemment que cette vitesse relative soit dirigée suivant la droile M'M. Prenons la droite M'B égale et contraire à MA; du point B comme centre, avec un rayon égal à c', décrivons un arc de cercle qui coupera la droite M'M en un "point G, et ache-

COMPOSITION DKS VITESSES. 35

vons le parallélogramme M'BCA' ; on dirigera le second bateau suivant la droite M'A'. En ciïet, M'C est la vitesse relaliyedu second bateau par rapport au premier; tout se passera donc comme si, le premier bateau restant immobile en M, le second le poursuivait avec la vitesse M'C;

il l'atteindra donc après tin temps marqué par j^'. En réalité, le premier bateau marchant dans S* difeotion MA, le second dans la direction M'A' avec la vitesse M'A', la rencontre aura lieu au point D, après le (emps indiqué.