DÉFINITION DE L'ACCÉLÉRATION
32. On dit qu'un mouvement rectiligne est uniformément varié, lorsque la vitesse éprouve des variations égales en temps égaux. Dans un pareil mouvement, on appelle accélération la variation de la vitesse dans l'unité de temps. L'accélération est positive si la vitesse augmente, négative si elle diminue.
Si l'on désigne par t>„ia vitesse initiale dumobile, c'està-dire sa vitesse au tempsf = 0, part) sa vitesse au temps f , et si l'on représente l'accélération par la lettre y, on a
ou(l) . t>=v e + yt.
33. Appelons x ladistance d'un point 0 fixe pris arbitrairement sur la droite à la position M du mobile au temps l (fa- 29). Nous savons que la vitesse t> est la déri-
vee de la distance x par rapport au temps; réciproquement la ; « î y * distance x est la fonction primitive de la vitesse v considérée comme une fonction du temps. Si l'on prend la fonction primitive de la fonction „ 0 + y t, et si l'on ajoute une constante x„ on aura
La constante s, désigne la distance OA de l'origine à
DÉFINITION UE LACCÉLÉBM10N.
la position initiale A du mobile, c'est-à-dire à sa position au temps (=0.
Supposons que la vitesse iuitiale v a soit nulle et que l'origine 0 coïncide avec la position initiale du mobile, on aura la formule simple
Ainsi, dans le mouvement recliligne uniformément accéléré, quand la vitesse inttiale est nulle, l'espace parcouru est proportionnel au carré du temps.
Il est bon de remarquer que l'espace parcouru par le
mobile pendant la première seconde est égal à | , c'est-àdire à la moitié de l'accélération.
54. Réciproquement, lorsqu'un mouvement est rcctiligne, et que l'espace parcouru est proportionnel au carré du temps, le mouvement est uniformément accéléré. En effet, dans ce cas, l'espace parcouru x est représenté par la formule
i=at i ,
daus laquelle la lettre a désigtie une constante. Si l'on prend la dérivée de l'espace x par rapport au temps, on a la vitesse
e=2ol.
Ainsi la vitesse croit proportionnellement au temps, et par conséquent le mouvement est uniformément accéléré. L'accélération est égale à 2a.
C'est ce qui a lieu dans la chute des corps. Quand on observe la chute des corps dans le vide, on reconnaît que l'espace parcouru croit proportionnellement au carré du temps. 11 on résulte, comme nous t'avons dit, que le mou-
58 ums: I. CINÉMATIQUE.
veinent est uniformémeiil accéléré. Qii 11 çoutiime de représenter l 'accélérât! en dans la chute des corps par l.i let-
Ire g, ce qui donne t)=(/(, x= La constante g a pour
valeur 9,8088. Dans l'air, le mouvement n'est pas tout à fait un mouvement uniformément accéléré; la résistance de l'air modifie un peu ce mouvement.
35. La vitesse à chaque instant étant considérée comme une grandeur géomélrirpir portée sur la droite X'X dans le sens du mouvement, on devra considérer l'accélération elle-même comme une grandeur géométrique portée sur cette droite, dans un seus ou dans l'autre, suivant que la vitesse augmente ou diminue.
La variation de la vitesse étant proportionnelle au temps, on voit que l'accélération esL égale au quotient de la variation de la vitesse par le temps correspondant.
30. Soit « la vitesse au temps i, t>+ An la vitesse au temps I + Ai ; la vitesse a éprouvé pendant l'intervalle de
temps Ai la variation Au ; le quotient ^ est ce qu'on appelle l'accélération moyenne pendant le temps Af. Si le mobile, dont la vitesse au temps ( est u, marchait d'un mouvement uniformément varié, avec une accélération égale à l'accélération moyenne ™, sa vitesse éprouverait,
après l'intervalle de temps AI, la variation observée Au et deviendrait ç+Ap.
Imaginons maintenant que l'intervalle de temps A(di-
DÉFINITION de l'accélération. 39 minue de plus en plus etlende vers zéro, le rapport-^, ou l'accélération moyenne, tendra vers une limita finie et déterminée. Gode limite est ce qu'on appelle, l' accélération du mobile au temps (.
La vitesse v étant une fonction du temps, on voit que l'accélération •/ du mobile à chaque instant est égale à la dérivée de la vitesse v par rapport au temps (. La vitesse étant elle-même la dérivée première de l'espace a; par rapport au temps, l'accélération est la dérivée seconde de l'espace. On ;i donc
t> = Bvr,
Par exemple, si, dans un mouvement rectiligne, l'espace parcouru est proportionnel au cube du temps, on a x=al 3 , v = oat i , y=6al.
La vitesse est proportionnelle au carré du temps, et l'accélération proportionnelle au temps.
Définition 4e l>Ps*lét»ilon dana un ™onTUBienl oorrtllgoB.
57. Considérons maintenant un mouvement curviligne quelconque. Soi[ M la position du mobile au temps (. MA sa vitesse; M' la positiou du mobile au temps!+ A(, M'A' sa vitesse (fa . g"Q). Par le point M menons une droite MB égale et parallèle à M'A', et joignons AB; la vitesse MB du mobile au temps ( 4- Al é(aut la. résultante des deux vitesses MA et AB, ou peut dire que AB est la varialion qu'éprouve pendant Se temps A( [a vitesse considérée
(.ITBE I. CIKEHAÏIQDE .
comme une grandeur géométrique. Nous donnerons à celte quantité AB le k v nom de variation géométrique de la vitesse, pour bien ladistinguer de la variation purement numé-
rique. Le rapport — est ce qu'on appelle l'accélération
moyenne pendant le temps Ai ; on la représente par une grandeur géométrique AG, portée dans ia direction AB. Voici l'idée qu'on peut se taire de l'accélération moyenne : imaginons un système de points ayant un mouvement de translation recliligne et uniforme, suivant la droite MA, avec la vitesse MA, et supposons que, dans ce système, un mobile ait un mouvement rectiligne uniformément accéléré dans la direction AB, avec une accélération égale à
~, sans vitesse initiale; après le temps M, le mobile
aura dans le système la vitesse AB, et la vitesse du mouvement résultaut sera MB.
Concevons- maintenant que l'intervalle de temps Af tende vers zéro, l'accélération moyenne AG t tendra vers une limite AG. Cette quantité géométrique AG, limite de l'accélération moyenne, est ce qu'on appelle l' accélération du mobile^ au temps t. On peut, si l'on veut, représenter l'accélération au temps ( par une droite MK, égale et parallèle à AG, menée par le point M.
38. Ou ramène facilement la définition de l'accélération à celle de la vitesse. Par un point arbitraire 0 (fiy. 3i), menons une droite Oa, égale et parallèle à la vitesse MA
DÉFmmofr de l' acc&l ération , 41
du mobile proposée au temps (, une droite Oo' égale et parallèle à la vitesse M'A' au temps m- n.
I -f- A(, et ainsi de suite. La droite \ Oa, tournant autour du point 0, o' engendrera une surface conique, et le point a décrira une certaine courbe sur cette surface conique.
Le iriaugle aOa' ayant ses côtés égauï et parallèles à ceux du triangle AMB, la droite aa'
est égale et parallèle à AB; l'accélération moyenne
ou AG, du premier mobile devient ainsi la vitesse moyenne
ou ag, du second mobile. Or, quand Ai tend vers zéro,
la vitesse moyenne du second mobile tend vers une limite ag, qui eslla vitesse de ce mobile au temps (; l'accélération moyenne AG, du premier mobile tendra doue vers une limite AG, égale et parallèle à ag. Ainsi l'accélération du premier mobile correspond à la vitesse du second.
39. Pour donner une application de cette manière de figurer l'accélération, nous chercherons l'accélération dans le mouvement circulaire uniforme. Désignons par r ie rayon 011 du cercle (/ij. 32) et parti la vitesse; il faut bien comprendre d'abord que la vitesse, quoique ayant uue valeur numérique constante, est une quantité géométrique variable, parce qu'elle change sans cesse dedirection ; c'est pour cela qu'il y a une accélération dans le mouvement circulaire uniforme. Menons par le centre du cercle une droite Oo égale
LITRE 1. CINÉMATIQUE.
et parallèle à la vitesse MA du mobile proposé : le point a décrira aussi un cercle d'un mouvement uniforme. Les deux cercles étant décrits dans le même temps, les vitesses des deux mobiles soul proportionnelles aux cïi'coni'é renées ou aux rayons ; on a donc
r/__Oa u e ~ OM — 'r'
Ainsi la vitesse du second mobile est égale à — . Celte
vitesse ag est perpendiculaire à Oo et par conséquent parallèle à MO ; pour avoir l'accéléra lion du mobile proposé au point M, on prendra sur le rayon MO une longueur MC
égale à — . On en conclut que, dans le mouvement circulaire uniforme, l'accélération est constamment dirigée vers le cenire et égale à —, c'est-à-dire au carré de la vitesse divisé par le rayon.
