DES SYSTÈMES

translation horizontal. Si l'homme était placé sur un plan de glace parfaitement poli, la force horizontale de frottement F étant nulle, et le centre de gravité n'étant plus sollicité que par les deux forces verticales P et N de sens contraires, il pourrait bien abaisser ou élever son centre de gravité, maisil lui serait impossible de le déplacer horizontalement; s'il avançait une partie de son corps d'un côté, une autre partie reculerait de l'autre côté, de manière que le centre de gravité restât toujours sur la même verticale.

218. Reprenons les équations (1) qui déterminent le mouvement d'un point quelconque du système,

Si l'on multiplie la première par y, la seconde para:, el qu'on retranche la première de la seconde, on a l'équation

m (xM'y — yH?x) =S F (x cos b — y cos a),

que l'on peut écrire sous la forme

T>,[m(xX>,y — jD^r)] = E F (x cos b — y cos a) .

En ajoutant les équations de cette sorte, qui se rapportent aux différents points du système, on obtient l'équation

D,[Sm(a:D,y — yD^)] =^ F (x cos b— y cos a).

En combinant de la même manière la seconde des équa-

l'HUPHIÉlÉS GÉKÉIÎALtS DU MOUVEMENT DES SYSTÈMES. 2tj9

lions (1) avec la troisième. In troisième avec la première, et ajoutant, on ohtienl les trois équations

ÎD,[ï m(xD,y— yD,a:)]=2 F (a; cosi— y cos a), D,[Sm(yD,t — jtDff)] =^ F <f cos c 2 cog ô >' Dt[Sm(3D,x— ïD^ll^^Ftscosa—xcosc).

Le signe dans le second membre, s'étend à louteslos forces qui agissent sur les différents points du système.

La quantité F (icos li — y cos a) représente le moment, par rapport à l'axe o=, do la force F appliquée à la molécule m, dont les coordonnées sonlj-, //, : (n° 192). Il est clair que les moments par rapport à une mémo droilo de deux forces égales et opposées sont égaux ct,de signes contraires ; les forces intérieures, qui sont deux à deux égales et opposées, disparaissent donedes seconds membres des équations précédentes. De même, la quantité m(xD,ij— yù/c) représente le moment, par rapport à l'axe os, de la quantité de mouvement de la molécule m. Ainsi :

théorème ni.

La dérivée de la somme des moments, par rapport à. un axe quelconque, des quantités de mouvement des différents points du système est égale à la somme des moments des forces extérieures, par rapport au même axe.

219. Il résuitc des théorèmes I et III que les actions des points du système les unes sur les autres ne peuvent modifier, ni la somme des projections des quantités de mouvement sur un axe quelconque , ni la somme des moments de ces quantités de mouvement par rapport au même axe. Lorsque les points du système ne sont sol-

■270 livre m. ÉQnii.tfinG iît mouvement des systèmes.

licites par aucune force extérieure, les seconds membre? <ies équations (9) sont nuls; les sommes des moments des quantités de mouvement, ayant leurs dérivées nulles, sont consentes, el l'on a les trois équations . ; :

[ Sm(xl>,y — yD^)=L, (iQ) Sw^-aD.y)^!.

( 2m(zD,x— xV,z) = K, Uaus lesquelles les lettres 1, K, L désignent trois quantités conslautes. Ainsi,

ConOLT.*iHE I. Lorsque /es points du système ne sont soumis qu'à leurs actions nmtmlles, la somme des moments des quantités de mouvement, pair rapport à un axe qvclmnqvc, est constante 1 .

2'20. Pour montrer une application de ces principes, considérons un corps solide tournant autour d'un axe fixe avec la vitesse angulaire w. La vitesse de chaque molécule est égale a w, r désignant la perpendiculaire abaissée de la molécule sur l'axe; elle est perpendiculaire à l'axe et à une distance r de l'axe ; le moment de la quantité de mouvement de celte molécule, par rapport à l'axe de rotation, est égale au produit de cette quantité de mouvement mar par sa dislance r à l'axe, ce qui donne mur 1 . Si l'on fait la somme des moments des quantités de mouvement de toutes les molécules du corps solide, comme la vitesse angulaire w est facteur constant dans tous les termes, on aura l'expression t« X^ww 1 . La quantité S mt a , c'est-à-dire la somme des produits que l'on obtient en multipliant la masse de chaque molécule par le carré de sa distance à l'axe, s'appelle n/imient d'inertie du corps solide par rapport à t'axe. Ainsi, quand un corps solide tourne

1 Heiiu [iropriiilÈ <??i aussi l'immu' sons 1,' nom ili; lliforimc lies nire*.

PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES MJ MOUVÉMEOT DES SYSTÈMES. 271

autour d'un axe fixe, la somme des moments des quantités de mouvement, par rapport à cet axe, est égale à la vitesse angulaire de rotation, multipliée par le moment d'inertie du corps solide relatif à l'axe de rotation.

Supposons qu'aucune force extérieure n'agisse sur le corps solide, ou, s'il y a des forces extérieures, que ces forces se fassent équilibre autour de l'axe, c'est-à-dire que la somme de leurs moments par rapport à l'axe soit nulle (n° 191). Les réactions que les différents points de l'axe fixe exercent sur le corps étant des forces appliquées à l'axe et ayant par conséquent leurs moments nuis, il résulte du théorème précédent que la somme des moments de3 quantités de mouvement par rapport à l'axe est constante. Cette somme ayant pour expression u X S»»*, et le moment d'inertie S mr* du corps solide étant invariable, on en conclut que la vitesse angulaire de rotation «o reste constante. Ainsi ,

CoroixaihE II. Quand un corps solide tourne autour d'un axe fixe, si les forces extérieures se font équilibre, le 'mouvement de rotation est uniforme.

Si, par suite d'actions intérieures, le corps solide se contractait, chaque molécule se rapprochant de i'ase, le moment d'inertie diminuerait; la somme des moments des quantités de mouvement aX Imr* devant rester constante, la vitesse angulaire a augmenterait. C'est ce qui arriverait, par exemple, si, par le refroidisse meut, le volume de la terre diminuait; sa vitesse de rotation autour de l'axe augmenterait et par conséquent la durée du jour, ou le temps qu'elle met à faire un tour entier, diminuerait.

Ces propriétés s'appliquent aux êtres vivants, ainsi que nous l'avonsdéjà taît remarquer, à propos du mouvement

272 Llïlit m. ÈQUlUBgE ET MOUVEMENT DES SÏBÏÈKBS.

du centre Je gravilé^Sli^Un être vivant, en repos et isolé daus l'espace, ne peut, pu ses aetions intérieures, imprimer à tout son corps un mouvement de rotation autour d'une droite ; s'il t'ait tourner une partie de son corps autour d'uaaxe dans un sens, il faudra qu'une autre partie tourne en même temps en sens inverse, afin que la somme des moments des quantités de mouvement reste nulle.

Théorème de. piluus» liw. -, I

221 . En étudiant le mouvement d'un point matériel (n° 130), nous avons démontré que la variation de la puissance vive d'un point matériel, pendant un temps quelconque, est égale à la somme des travaux des forces qui agissent sur ce point pendant ie même temps ; on a ainsi, pour chaque point d'un système,

le signe S s' étendant à toutes les forces qui agissent sur ce point. Si l'on ajoute membre à membre les équations qui se rapportent aux différents points du système, on a l'équation

le signe dans le second membre, s 'étendant à toutes les forces, tant intérieures qu'extérieures, qui agissent sur les différents points du système. On en. conclut :

théorème rr.

La variation de la somme des puissances vices de tous les points ffunsystème matériel pendant un temps quelconque,

est égale à la somme des travaux de toutes les forces, tant inférieures qu'extérieures, qui agissent sur les différents points pendant, le même temps. ■ ' ' '

222. Il est un cas où le travail des forces intérieures est nul, c'est lorsque les points du système restent à des distancée invariables les unes des autres, c'est-à-dire forment un système solide. Dans ce cas, les forces intérieures étant deux à deux appliquées aux extrémités d'une droite de longueur invariable, et d'ailleurs étant égales el opposées, ont des travaux élémentaires égaux et de signes contraires (n° 197). On en conclut :

Corollaire. Dans le mouvement d'un corps solide, la variation de la somme des puissances vives de tous les points du corps, pendant un certain temps, est égale à la somme des travaux des forces extérieures qui agissent sur le corps pendant le même temps.

Le théorème général des puissances vives a une grande importance : c'est sur cette loi que repose la mécanique industrielle ; elle permet aussi d'établir une corrélation entre les diverses branches de la physique qui étaient restées séparées jusqu'à ce jour. Mais pour que ce théorème ait toute sa généralité, il faut avoir soin, dans l'évaluation du travail , de tenir compte du travail des forces intérieures. Si deux molécules se repoussent et que leur distance diminue, il en résulte un travail négatif qui diminue Je second membre de l'équation (H), et par conséquent diminue la somme des puissances vives; si, au contraire, les molécules s'éloignent, la force répulsive produit un. travail positif qui augmente la somme des puissances vives: c'est comme un Tessort que l'on comprime ou qui se

274 L1VEE Hl. ÉQUILIBRE ET MOUVEKEHT DES SYSTÈMES.

ciéteud. De même, dans ['évaluation des puissances vives, il faut avoir égard, non-seulement aux mouvements visibles des molécules, mais encore à leurs mouvements vibratoires extrêmement petits; à ces mouvements vibratoires correspond une certaine quantité de puissance vive, qui diminue d'autant la somme des puissances vives dues aux grands mouvements.