Q=PX

En généra! , si n est le nombre des cordons, on a

On vérilie encore aisément le théorème du travail : si la poulie 0 .s'élève de la quantité//, la poulie 0' s'élève de |a poulie 0" de2Vi, .. . ; enlia le point d'application A de la l>uissauce décrit le chemin h X 2\

261 . Voici une autre combinaisou qui est plus fréquemment employée que la précédente [fig. 186).

Un certain nombre de poulies sont montées sur une même chape, un nombre égal sur nue autre chape.

520 LIVBË lï. MB HACELNES.

La première chape est fiie,; à huseccrode est appliquée' ta résistance Q. Un cordon attaché au crochet i, qui termine

la première chape, passe d'abord sur la poulie r", puis sur la poulie o" , et ensuite successivement sur les poulies c', o ', c, o, La puissance P est appliquée en A à l'extrémité du cordou. Nous n'avons ici qu'un seul cordon ; il est clair que la tension est la même, et égale à P, tout le long rlrt cordon. Chacune des poulies c, c', c", est sollicitée par deux cordons sensiblement parallèles ; les tensions égales *ta.">- de ces deux cordons donnent

une résultante aP appliquée au cenlre de la poulie; si donc n désigne le nombre des poulies montées sur la chape mobile, cette chape sera sollicilée par une force égale nfoisap, c'està-dire égale à anp, et l'on anr:t l'équation d'équilibre (5) Q= a »P. m •* m

Si le poids Q s'élève de -la hauteur h , chacun des an cordons parallèles étant diminué de la quantité h, il en résulte que le point A de la puissance a marché de la quantité i«A, ce qui montre que le travail moteur est égal au travail résistant.

Au lieu de mettre les poulies les unes à la suite des autres sur une même chape, ce qui donne à l'appareil une trop

ar, on les ifispuse souvent sur un mêmeaxe, comme le montre ta ligure 187. ' - ■ - -

. » ,\ K'ilu.' ' ■ FntMaonl t*M I. ,t.,Mli,. Hi,.

262..,Jusqu'à présent nous avons négligé le frottement: voici comment on en tient compte dans In poulie frxe. Considérons d'abord le cas où les deux forces P et Q sont parallèles; (mur préciser, nous les supposerons -verticales et dirigées de haut en bas. Nous ayons dit qu'au centre de k poolie est pratiquée une petite ouverture circulaire appelée œil de la poulie ; au travers passe l'axe fixe ; cet axe rigide en fer a un rayon un peu plus petit que celui de l'œil. Quand le frottement est nul, l'ave rigide exerce contre la poulie une réaction normale aux deux surfaces tangentes ; celte réaction li, devaiit, faire équilibre aux deux forces verticales P et Q, doit être verticale ellemême, et dirigée tie bas eu haut ; le contact a donc lieu en a, extrémité du rayon vertical mené par le centre o' de l'axe rigide t,fiy. 188). Le cenlre o de l'œil est sur le même rayon ; la poulie tournant dans M( , te sens indiqué par la flèche, le cou- ti tact a toujours lieu eu a, et par conséquent le point o, centre de l'œil, reste-immobile; la droite menée parle point», perpendiculairement au plan de la ponfie, reste Axe; c'est l'ave géométrique idéal autour duquel semble tourner la poulie. La résultante des deux forci s P et Q doit passer par le point a; ce point a étant également distant des deux forces, on en conclut que les forces sont égales entre .«Me». iy:,.,.'- », - -, :,y -,

liïbe iv. dus mcmHES.

Quand il y a frottement, la réaction lî exercée par l'axe rigide sur la poulie b est plus normale aux deux surfaces ; mais elle l'ait avec la normale mn un angle égal à y, en sens contraire du mouvement (fit/. 188) ; cette réaction R devant être verticale, pour faire équilibre aux deux forces verticales P et 0- on en conclut que le point de contact qui était primitivement en a, à l'extrémité du rayon vertical o'fl, s'est déplacé du côté du mouvement, et a décrit sur l'axe rigide l'arc wn qui correspond à un angle au centre ao'm égal à 9; on voit en effet que, dans celte position, la réaction R fait avec la normale mn, et dans le sens convenable, l'angle 9. Le contact reste au même point m pendant toute la durée du mouvement ; le point o, centre de l'œil, ne bouge pas, et on obtient ainsi une droite ou axe idéal ûxe autour duquel semble tourner la poulie. Appelons r le rayon oA do la poulie, p le rayon om de l'œil; abaissons du point m une perpendiculaire mli sur le diamètre borizontal AB ; la résiliante des deux forces parallèles P et Q devant passer parle point m, on a

PXôA=QxéB, ou P (r— p sin 9)=Q(''-t- psin

On en déduit

i + -sioip

i-tsiny

Ainsi, la puissance P est plus grande que la résistance Q.

On arrive à la même équalioil en prenant les moments des trois forces P, Q, H, quj agissent sur la poulie, par rapport à l'a» idéal aulour duquel elle. tourne, c'est-à-dire par rapport au point a, et exprimant que la somme algébrique est nulle. Le moment de la force R étant R X ob, ou Rpsintp, en valeur absolue, on a l'équation

(7) \>r— Qr— Rpsin9="; en vertu de la relation

cette équation devient

Pr-Qr — (P+OJpsin <f=o et reproduit l'équation (6).

Le frottement exige doue une augmentation dans la puissance. La différence

a^sillf

• . - - . i— --sintj»

esl d'autant plus petite que le rapport * du rayon de l'œil

au rayon de la poulie est plus petit, et que l'angle y est

plus petit. Pour diminuer le rapport £ , ou fait la poulie

très-grande, en l'évidanl pour diminuer sou poids, et on fabrique l'a» rigide en excellent fer. afin qu'il puisse supporter la charge sous un petit diamètre. On diminue l'angle yen graissant avec soin l'axe intérieur.

. Bvalupns le travail :, il y a ici doux résistances,

la résistance utile Q ef- .U r^sistance-,pa3M,VE,^^Lï8 -.idiemins 4wrttg,4)aïiite6i4J(âiJtË.*i'appticationide8 .forées; J*i<*t Q: étant rég»uK.;on mat» nf^ m; i-v^m v.-. saiol ssia-j

i+*-siny

Ainsi, le travail utile n'est qu'une partie du travail moteur; le travail absorbé par la résistance passive est la différence entre ces deux travaux, et l'on a

T f = T„— ']'„ T - T - ~,+Ç s in T '

Proposons-nous d'évaluer directement ce travail perdu; pour cela nous décomposerons la réaction oblique R en deux forces, l'une Reos f dirigée suivant la normale mn, l'autre R sin 9 suivant la tangente mf. La première est la réaction normale que l'axe rigide exerce contre la poulie ; comme elle passe par le point fixe o, son travail est nul. La seconde est le frottement; si l'on appelle w làvitesse angulaire de rotation, le point m de la poulie a une vitessn w p; le frottement étant appliquées poiol>R et dirigé en sens contraire, son travail élémentaire est — Rsin yXupAe. Le travail moteur .élémentaire est Pcwàï, le travail utile — Qwii; si l'on écrit qun le. travaït'moleur est égal à la somme des travaux résistants, ùwn-trouve l'équation (7}, Ilt ^, l ., ; r v„„« Vl n «■ awnrtoi. ..;..„ ,i,ui«>> .i .iv ,1'h-lhtA iifiviuhrt-.unil.