MOE M'OE
deux rapports inverses j^r,. -jjjQjjr-: le rapport des aires
des deux secteurs circulaires étant égal à |gjpJ* t ,o.uà
(l5M~) ' su ' vanl 1 u ' on prend le rapport dans un sens ou dans l'autre, la limite est égale à l'unité qunnd M tend vers zéro. Ainsi, le rapport de deux quelconques des quatre aires considérées précédemment a pour limite t'u- ■ nite. Il en résulte que les quatre rapports
sectMOE tri MOM' sectMOM' sectM'OE'
ont même limite. Le secteur MOM' est l'aire AA décrite par le rayon vecteur dans l'intervalle de temps 4f ; ainsi la limite de chacuu de ces rapports est égale à lim — ,
c'est-à-dire à D,A, dérivée de l'aire par rapport au temps.
Le triangle MOM' a pour mesure la moitié du produit de sa base MM' par la perpendiculaire OQ, abaissée du point 0 sur la sécante MM' ; on a donc
Le rapport ~- ayant pour limite là vitesse v au point M,
et la perpendiculaire OQ la perpendiculaire q abaissée du point 0 sur ia tangente en M, on obtient la relation
i2) ru a. v ; .
Quand la loi des aires a lieu, en vertu de l'équation (1), on a D,A=*, et par suite
(S) vq=k.
LlïftK V. COMPLÉMENT.
On peut donc énoncer la loi des aires en disant que le triangle, ayant pour sommet le rentre du soleil et pow- base la longueur gui sur la tangente représente la vitesse, a une aire constante.
On peut dire encore que la vitesse varie en raison inverse île la pvr(,eadividairc uhaim-e du centre du soleil sur la tangente à la trajectoire.
272. Après avoir transformé ainsi la loi des aires, nous montrerons la conséquence qui en résulte, quantàla force qui produit le mouvement. A partir du point de rencontre I de deux tangentes voisines, portons sur ces tangentes les longueurs. IA et IB qui représentent les vitesses en M et AB
en M' (fi'j. ii!4) ; le rapport — est ce que nous avous ap-
riç. i94. pelé l'accélération moyenne pendant lé
temps A( (n° 37). D'après ce que nous venons de d ire, jes deu\ triangles OIA, OIB sont équivalents; il en résulte que la droite AB est parallèle au coté commun 10. Faisons maintenant décroître àt jusqu'à zéro, le point M' se rapproche imlélinïment du point M, ainsi que le point I ; la droite 10, direction de l'accélération moyenne, a pour limite MO. On en conclut que l'accélération au point M est dirigée suivant le rayon MO. Ainsi, la force gui sollicite h planète est constamment dirigée vers le centre du soleil.
Digitizod b/tlooglc
MOUVÈHÊNT DÈS PLANÈTES.
Cont*quenc« in II deuiLfcm- loi.
273. La planète décrit Une ellipse dont le soleil occupe l'un des foyers F {fig. 195}. Appelons (j et q' les perpendiculaires abaissées dos deux foyers F et F' sur une tangente, on sait que le produit qq' de ces de\ix perpendiculaires et égal à 6\ c'est-à-dire ail carré du demi petit axe de l'ellipse.
La relation (n n 271 ) se transforme et devient
ainsi, la vitesse est proportionnelle à la perpendiculaire abaissée du second foyer F' sur la tangente..
Revenons à la figure précédente : par le point d'intersection des deux tangentes voisines, portons sur ces tangentes les longueurs IA et LB qui représentent les vitesses en M et en M', et joignons AB.Du second loyer F' abaissons les perpendiculaires F'C et F'D sur ces tangentes, on a
les deux triangles IAB, F'CD sont semblables et ont leurs côtés perpendiculaires ; on en déduit
