LIVRE V. COMPLÉMENT

Ce résultat convient aussi à U parabole qui est la limite, d'une ellipse.

274. Retenons anx planètes dont les orbites sont elliptiques. Nous avons représenté par -- l'aire décrite par le

rayon vecteur dans l'unité de temps. Si l'on considère l'aire entière de l'ellipse imb décrite dans le temps T, on a

k wab

d'où

D'après la troisième loi de Kepler, le rapport ^ t est constant ; il en résulte que la constante ^ est la même pour toutes les planètes, c'est-à-dire que le soleil attirerait également l'unité de masse de toutes les planètes à la même distance.

Si l 'on appelle m la masse d'une planète, F la force qui la sollicite yers le centre du soleil, on a

Tout se passe dont comme si. /<• soleil attirait les planètes proportionnellement à leurs massas et eu raison inverse du carré des distances. Telle est la conclusion remarquable à laquelle es! arrivé Newton en suivant une marche analogue à la précédente.

»UlUU.HtMl llKS PLANÈTES.

275. Occupons-nous maintenanlde la question inverse: étant donné l'étal initial d'un astre sollicité par une force dirigée -vers un point fixe 0, et variant en raison inverse du carré de la distance, trouver [e mouvement de cet astre.

Cherchons d'abord la projection de l'accélération sur une perpendiculaire au rayoi d'intersection I des deux tan ces tangentes les longueurs I.

représentait les vitesses r et <• W[fig. 196); appelons g et pendicu [aires OQ, OQ' abaissé 0 sur les tangentes; prolongeons !a droite Ol.et menons la droite 1H perpendiculaire à 01. Si l'on projette sur IH la droite AB et la ligne irisée ÂIB, on a

proj.de AB=i>' sinBIL — v sin A1L= W q| ~ ^ ;

i"'°i' de ^m xîil ir î -

Quand A/ tend vers zéro, la droite 01 tend vers le rayon vecteur OM, et l'on a

proj. dey— -D,{«§).

Si la force qui sollicite le mobile est dirigée suivant le rayon vecteur MO, sa projection sur une perpendiculaire au rayon vecteur est nulle, et l'on a

et par suite

LtVBR V. TOMPt-ÊMEM.

k désignant une constante. En vertu de l'équation { L l\ du numéro 271 .■ on en déduit la loi des aires D,A = -.

A=^(. Ainsi, quand la force est dirigée vers un point fixe, r aire décrite par le rayon cectei/r est proportionnelle mi

Soit M la position initiale de l'astre, MA sa vitesse iui- Fis. m. tiale {fit/. 197); nous désignerons

, ■ par r B [a dislance initiale FM, par

*^T"-— '^L^" ■' la vitesse înitialeMA, et par ç 0

f ,-*''*/ la perpendiculaire FQ abaissée du

\ ) point F sur la droite MA, perpen-

/ diculaire qui détermine la direclion de la vitesse initiale. La valeur delà constante 4 est donnée par la formule ft=v t q B .

276. La force pouvant être représentée par la formule F— l'accélération y est égale étant une con-

stante donnée. Déterminons là section conique qui admette pour l'un de se* foyers F, le centre du soleil, qui passe par le point M, qui soit tangente à la droite MA el

dont le paramètre p satisfasse à la relation fi=— , d'où p= — =^?-ïî-. Sur le rayon vecteurMF prenons une longueur MP égale au paramètre p, el par le point P menons une droite PN perpendiculaire au rayon vecteur MF; li! point N où celte droite rencontre la normale MN à la vourbe, c'est-à-dire la perpendiculaire à la tangente MA. appartient au premier axe de la courbe; car on sait que.

dans une section conique, la projection sur le rayon vecteur MF de la portion de normale MN comprise enlrç la courbe et le premier axe est égale au paramètre p. La direction FN du premier axe est donc connue. Prolongeons ^perpendiculaire FQ, abaissée du foyer F sur la tangente MA, d'une longueur QH égale â FQ, et joignons MH ; li> point F' où cette droite MH rencontre l'axe FN est le second foyer. Quand les deux foyers sont d'un même coté de la tangente MA, la courbe est une ellipse (/îy. 197), et la gomme des rayons vecteurs MF + MF' donne la longueur -xa du grand axe ; cette ellipse est donc complètement déterminée. Quand les deux foyers sont situés de part et d'autre de la tangente MA [fig. 198). la courbe est une branche d'unebyperbolc, dont on connaît la longueur m de l'axe iransverse. Enfui, quand la droite MU est parallèle â FN {fiH- 199), le second foyer F' étant à l'infini, la courbe est une parabole.

Il est aisé de voir que l'astre décrira la section conique ainsi obtenue ; car. si l'on imagine un mobile décrivant cette courbe, avec la vitesse initiale MA, cl d'après la loi des aires, la force qui produira ie mouvement de ce second mobile sera, comme nous l'avons démontré, dirigée vers

le point F et égale à — £ ; or, quand deux mobiles oui le

même état initial et sont sollicilés par la même force, ils coïncident évidemment dans tout leur mouvement.