livre v. complEbekt
Du point M, position du mobile au temps /, abaissons sur l'axe Oi une perpendiculaire MI dont nous désignerons la longueur par r; sur lu prolougemént de la droite 1M, prenons une grandeur géométrique MB égàle'a 1 o>V; cette grandeur aura pour projection sur les ases Oie*; Oy'. Oa les seconds termes
des seconds membres des équalions (3).
Soit !to la droite qui représeata la vitesse relative v; par le point M menons une parallèle ML a l'axe de Td talion Oz, et désignons par % l'angle LMA, que tait cette vitesse relative avec ML ; sur une perpendiculaire au plan LMA, et dans un sens convenable, portons une grandeur géométrique MC égale à im sin a ; nous allons l'aire voir que les projections de celle grandeur MC sur les trois aies (te', Cy', 0; sont les troisièmes termes
des seconds membres des équaliuns (5). En effet, la projection M'A' de la vitesse relative MA sur le plan xdy a pour valeur usina; la droite MC, étant p^rpepdjçukire au plan LMA, est parallèle au .plan xQy; sa projection M'C sur ce plan est égale cl parallèle à SIC, et perpendiculaire à M'A'; les projections de la grandeur géométrique M G ou M'C sur Qx et 0;/' sont
M'C'.cos(M'A'.Otf'). — MT/.oo>(II'A'.Oflf>; ,: mais on a
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on irouve ainsi, pour les projeelions cherchées, îùiDjî/', — J'.d) r r';
HOUVEKEHTS HEIATO'S. 355
d'ailleurs la projection sur 0; est qulle. Il reste à déterminer dans quel sens on doit porter la grandeur MC sur la perpendiculaire au plan LMA. Imaginons que l'on lasse tourner ce plan autour de lu parallèle ML à l'axe de rotation 0;, et dans le même sens : ' elle rotation entraînera In
perpendiculaire MC du côté opposé.
Il résulte des équations (3) que la projection de l'accélération y', relative aux axes mobiles* sur chacun des trois axes rectangulaires O.tf', 0;/, 0-, est la somme algébrique ■des projections de trois grandeurs géométriques, l'accélération y du mouvement, rapporté aux axes fixes, et les deux grandeurs géométriques MU eL MC. On eu conclut que l'accélération y', relative aux axes mobiles, est la résultante de l'accélération y, relative aux axes fixes, et des accélérations nouvelles MB et MC.
285. Désignons par y, et y, ces deux accélérations MB .et MC, que l'on introduit de la sorte pour' avoir l'accélération y i du mouvement relatif uu\ axes mobiles. Si le point M était lié invariablement aux axes mobiles , ce point décrirait' autour de l'axe 0; un cercle de rayon MI, d'un mouvement uniforme; l'accélération de ce mouvement circulaire est dirigée suivant Ml et égale à &>'/■; l'accélération y, est égale et contraire à cette accélération centripète ; on lui a donné pour cela le nom d'accélération centrifuge. Par analogie, on a donné'à l'autre accélération y„ qui est égale à sunsicec, et dirigée suivant MC, le nom d'accélération centrifuge composée.
Pour la commodité du langage, rien n'empêche de coucevoir deux forces l\=imy,, F, = wy,, capables de produire les accélérations y, et y,. Ou donnera à la première
ie iim aé'Se yuùpue ,"» ■■»■ MoiiatasiiiMS/AW
lent le mobile oh joint ces fa» IbrceS'Ilciivea, empWrftt dire que l'MoélôradOn fM rittttÉ nHW**!»!
en .-candeur el en direction, n larésûWnlc'u-e tblileé'cés! force, divisée par I. masse. En' d'noire» lermSbh'petit faire abstraction M mouvement Iles utt mobiles; el les' regarder comme «les, en imagilianl mie le mobile «bit sollicite , non-seulement par les forces physiques q'uiagisseutsur lui effectivement, mais encore for les deira forces* lielives !■', ri F, quel'on a appelées Ibrco 'centritïigei el' foire centrifuge composée'.
: V -m-'l -,!- ' ■ ;! '■: -I- liijl.V. «t\ f,'.*Mf»«r 284: LbrSquélé'monVoment relatif aux' axes mobiles est reclïliene et' uniforme. MM* / dé ■«mouvement relatif Étant Bulle* la résultant» des forces physiques ,■1 dc< don* forées Actives t, el F, «al huiki.tesystèincde ces forces satisfera donc aux MM» d'équilibre des BrïesïBiftbl sur un même potnl matériel lh->9*). " mi le cas-particulier où le point matériel rat en «pus par rapport aux axes mobiles, la vitesse relative « étant nulle, la force centrifuge composée F, estnulle, et la résultante' dés fortes physiques «dé î« force cetitrifugerfest noue Béoiproqùement,lorSqUdlepoint màieriete* pisé* en un pnint M sans vitesse relative, et que la résultante des forces physiques qui Sblticile.it le mobile et de I» force centrifuge est nulle, le point matériel reste en repos relatif. """ ''j ' ijnh "(Hh» AK
285. Nous avons déjà 1 irailé'diréclenitiul{liï. U.ehapi ni) plusieurs questions qui se rattachent à'cetwdre'd'idéeK,: Considérons l'équilibre relatif du peodnle conique régula-
Dlgfâzfld
leur des machines à vijiiîur (11 109); Uuux forces sollirltBnVçffecli.yetneiil lu jikissp M. }>l..ae.é.t; à 1' 1 ré na i té ( 1 ^ e ( la ligeji saypir le poids MA deeelle ma-se, et la tension MB de.Ja.tisp \fig, 2(10).. 'En imaginurit ,|n point M sollicité ai^si par la. force cent ri l'agi 1 , c'est-à-dire Hp . *>j. pju-, u^ftfor.io, iicii ve MU <?g.il <• • wr,"X\H . ft (u iiitl| '. til on peut faire abstraction du mouvement.. JV -,
de. rotation du piau COM autour de.. l'axe L]V,,', yerticailOs.eicliccfjLie les tniis forces VA-, . ( r: L, j, \ibi»- ■ MB, MD' se font équilibre- La tension MR. : ""'S, ~~f\~"T~ de la tige devant faire équilibre au* deux j< t ! -fkiMi'^ forces MA et MD'.il faut que. la résultante ; <■, 1* ,,,^^ MB' de ces deux Ioit,r^ riiit dirigée suivant If proie librement de la tige. On déduit de là la valeur de l'angle 3. Ceci est bien d'accord avec le résultat auquel nqiiSjSOomies arrivés directement; le mouvemeut du point M étant eirculaire.Qt uniforme, la résultante MU îles deux forces MA et MB, quisolli citent effectivement le mobile, doit être çlj : rigée suivant le rayon MC et égale à w 4 x MC; or, si.çetle condition. est. remplie, il est clair qu'il y aura équilibre enlre les .deux forées MA, MB, et la force MD', égale, et contraire à leur résultante., .... ,. n ,„,, , :i . u ., :
. 28Ç. Les mêmes remarques s'ap|diqueut à la question du numéro HO; il y aura équilibre entre le poids MA du. point matériel, la réaction uor- ,, i= . M1 .
maie MB de la courbe, et la force fie- n, . '■
la résultante MB' des deux fot'ces MA et MU' doit donc être normale à la courbe, .ce qui. détermine la formede la courbe.. :„ ,„,,,, i h , ....
JT, COSin.ÈMhiW.
La lèvre .tourne iiiiilbnnéroenl aiilom de sou axe: considérons on point m ait rit;] .M .-it^peudu à un lit altacliéàun point lise I (fig. 203) ; il y aura équilibre entré l'altrao p| 1M lion MA que le globe exerce sur le
P ,' 1 ' point M, la tension MB du fil/et la
force Botive MC égalo à d*X MD | iultante Jus deux forces MAel MC doit donc être égale et opposée à la tension du fil ; celte résultan le MB' est ce qu'on appelle ie poids (Ju corps; sa direction est celle du fil à plomb ; c'est la verticale au point M(nMH).
Nous donnerons maintenant quelques exemples de môu- \eiuoiU relatif.
287. Première question. Trouver le mouvement relatif d'un poinl pesant M assujetti à glisser sans frottement sur une droite horizontale qui tourne uniformément autour d'un axe vertical Qz, tl avec une vitesse angulaire ''• donnée m\jig. 20%,^ -J.. „,,-
Supposons que le mouvement de rotation s'accomplisse de Ox vers Oy ; soit M la position du mobile au temps ï, a: la distance variable OM, v lit vitesse relative, comptée positivement dans le sens Ox, négativement en sens contraire. Le mobile est sollicité effort ivemeut par deux forces, son poids MG et la réaction normale N de la droite O, réaction qui fait avec la verticale ML un certain angle (3. On
HOUVEHEMS RELATIFS. 559
pourra faire abstraction du mouvement rte la droite O.e, en introduisant les deux l'unis liclives dont nous avons parlé, savoir : la force centrifuge MB égale à mv?x, et la force centrifuge composée MG, perpendiculaire au plan zox, et égale à imuv; cette force es! dirigée dans le sens opposé à Oy, ou dans le sens 0;/, suivant que la vitesse v est positive ou négative. La question est donc ramenée à la suivante : trouver le mouvement sur une droite fisc Qx d'un point mobile sollicité par les quatre forces MB, MG, MG, SIM; les trois dernières forces sont normales, et se font équilibre ; la première MB produit l'accélération relative; ou a donc l'équation
Il s'agit de trouver une l'onction qui se reproduise ellemême, avec le l'acteur constant o<' ; cette Ibuetion est une exponentielle. Posons
on eu déduit par la dérivation
D^u-tAe-'-Be--).
D, î ï=£o , (Ae-'4-Be- J "):
ta fonction (2) satisfait donc à l'équation (\), quelles que soienl les deux constantes A et B. On détermine ces deux constantes par l'étal initial du mobile ; supposons que, pouri=o, on ait v=v 0 ; on aura les deux rela-
tions
if+— a — — d'où , A=— - — . B=—
Le mouvement esldouu représenté parles ■lo.rmiiles.ii.r.;
Supposons d'abord le .mobile placé au point A , avec «ne vitesse initiale mille ou positive ; l'accélération 1 étant constamment pos il ive, la vilesse va en augmentant, et 1 îetHôbilo s'éloigne indéfiniment dti point G. .''litiom ni- -.t>"'',
Supposons maintenant la vitesse initiale négative, 1 '^, pour mettre le signe en évidence, posons ' » 0 e^-^»Vi'ïe mobile se rapprochera d'abord du point 0. et la vitesse diminuera. Il y a plusieurs cas à distinguer : 1" si l'on a 0 o '< ou, la. vitesse devient nulle-pour lavaleUr dé"* vérifiant l'équation ■ 1 »v>iiom al wiO'h'fyiu/ niietr
ment change, et le mobile s'éloigne indéfiniment dans la direction VLx. comme dans le cas précédent ; tt°^uabdl6n a w' 0 >C(oi.la vitesse v ne change pas de direction" et' e14e reste constamment négative; Le mobile, dé passe le poinliO, pour s'éloigner indéfiniment dans la direction Ox''l 5° quand on a v' t =au>, ; le mobile tend vers le point Oavec une vitesse décroissante, .mais sansjomaisVatteindrc;
Dans ce calcul du mouvement relatif; la force centrifuge composée n'a joué aucun rôle.; mais il est. nécessaire d'en tenir compte, si j'gp veut .dét^naineï. la i-éaction N queia droite exerce sur le. mobilfl. En effet, la mouvement
HVWulgiiiitotfltell
étaiikirottrigdevile»^obi«^ii«¥îtla1eB'IWl>lB , «?'H» se
La L'.ÉaclionlScliaflgedegniiidoiirjit (le direction pèirfani le coui's dii mouvement. Quand le mobile est placé 'en A sausvitesseinitiale, la réaction, d'abord ■verticaleetégalenu poids du mobile, augmente indéfiniment, cl s'itteniie de plus en plus, tendant vers la. direction horizontale. La .force HD est la pression que le mobile exerce contre lit droite sur laquelle il so meut. ■ •■,>.•■ ■. ->' r '<.!t"
.288;. Deuxième QUfisqtGW. généralisons In rjunstinn précédente . Ciierchons le mouvement relatil' d'uïr point ^pesant assujetti àglisser sans IVoffement sur une droite quelconque x'x, qui tourne nuil'orniémenlaulour de l'axe vertical Oz. Supposons d'abord que la droite rencontre l'axe en 0
droite, thi'poiirrafaim nbstrmv ' \ >-*"* '"
tion'duwiouvemenute Indroile, ^ ~ ■ f!( ' 1,:ri ''"' "• enii*ln«lui6autdeux fovceslielives, la force centrifuge MB, égaie à »k** x JiP ou à hWX'^slii <*', et la force centrifuge eom posée, perpendiculaire ait plan zOx et égale à iftiwwsioo!. Noos supposons que la rotation aulôur de 0: s-'affectuedcdi-oiteàgaucliO'ei] avant', pour un observateur
{fa. 207); appelons a l'angle quelle l'ait ayee Taxe, et désignons par x la distance variable QMi Le mubilfis'M -est sollicité pfc.deux forces t son poids MG et lu réaction' normale M» dé ht
Kig,»l.
placé sur cet axe, les pieds en 0, la lâto en celle rolalion entraîne la vitesse relative positive en arrière du lableau, dans la position actuelle «le la %ni'e; il faut mener la force centriiïige composée iJC de l'autre côté, c'est-àdire en avant du tableau. Décomposons lu force centrifuge MB en deux forces, l'une MB' = ï«a>',ï sin' « , suivant la droite ftc, l'autre MB" = ma l x sin eteos a, perpendiculaire à celte droite. Décomposons de même le poids MG en deux forces, l'une MG ces a suivant la droite Ox, l'autre
MG"=wijsins! perpendiculaire. Les (rois forces normales MG"+MB", MC, MN se foui équibre ; la résultante miù*x s\a' a— mt/tosa des deux forces MB' et MG' produit l'accéléra lion relative. On a donc l'équation
(1) rj,'x=u*isin*a — ijCOSet.
Il existe sur la droite une position 0, d'équilibre relatif, déterminée par la valeur
qui annule le second membre de l'équation. Si le mobile était placé en 0,, sans vitesse initiale, les deux forces MB' otMG'se faisant équilibre, il resterait en repos relatif. Appelons x' la distance variable 0,M, et posons x=z t +x'; l'équation (1} devient
(2) D,V=M 1 sin , aXar'-
Gette équalion a même forme que l'équation (1) du numéro précédent; il suffit de remplacer a par usina; si l'on désigne par a la distance 0,A du point 0, à !a posî-
H0BMHBM8 RELATIFS. ôbTi
tion initiale A du mobile, el par v 0 la vitesse initiale, on
Lu mouvement présente des circonstances analogues à celles du problème précédent. Supposons-, pour préciser, que le point A, position initiale dit mobile, soit situé audessus du point 0,. Si In vitesse inilialo est nulle ou positive, le mobile montera indéfiniment sur la droite avec une vitesse croissante. Quand la vitesse initiale est négative et moindre que awsin a on valeur absolue, le mobile descend du point A jusqu'à un certain point compris entre AelO,, puis il remonte indéfiniment. Quand la vitesse initiale est négative et plus jrrande que saisie, a en valeur absolue, le mobile dépasse ie point 0, et s'abaisse indéfiniment. Enfin, quand la vitesse initiale est négative et égale à nui sin a. en valeur absolue, le mobile tend vers la position d'équilibre 0,.
L'équilibre des forces normales permet de déterminer la réaction normale MN que la droite exerce sur le. mobile. Cette réaction étant égale et opposée à la résultante des deux forces MC-f- MB" et MC, si l'on appelle (3 l'angle qu'elle fait avec la normale ME située dans le plan zQx, on a
H= m sin + u'j cosa)*-|- 4»V.
tangp= = .
