MOUVEMENTS RELATIFS

île la lerre en A, vitesse perpendiculaire ;'i OA ; en supposaut l'axe (ixe Or, mené par 'la position initiale A du mobile, on a donc

Le mobile décrit une ellipse fres-aplalie dans le sens indiqué par la ilèclic, c'est-à-dire dans le sens du mouvement de la terre; négligeant le petit axe de l'ellipse, nous dirons que le pendule exécute ses oscillations dans le plan fixe sOj:,. Supposons maintenant qu'un observateur soit placé sur la terre à une certaine distance du pôle, par exemple sur l'axe Or; cet observateur sera emporté par la rotation de la terre : comme il n'a pas conscience de son mouvement, le plan d'oscillation zO-t, lui paraîtra tourner autour de 0- en sens contraire avec la vitesse a. Si l'on appelle-:.? l'angle xOx„ on a <f==f t +ai.

Les équations (2) no diffèrent des équations (3) qu'en ce que « est remplacé par wsinX. A la latitude 1, le phénomène est donc le même que si la terre tournait autour de la verticale 0: avec la vitf*st! angulaire «sin 1. L'ellipse

décrite par le pendule aura pour axes a et (ïwsinl

le mouvement apparent du plan d'oscillation aura lieu en sens inverse du mouvement de la terre, avec la vitesse angulaire usinî,.

MOUVEMENT GÉOMÉTRIQUE D'UN CORPS SOubé/'' ""

Dans le livre I, nous avons étudié le mouvement d'un point matériel d'une manière purement géométrique, et abstraction faite des causes qui le produisent ou . le modifient; pour compléter cette branche de la mécanique, à laquelle on a donné le nom de cinématique, nous indiquerons les lois principales du mouvement géométrique d'un corps solide. Nous étudierons d'abord le mouvement d'une figure plane dans son plan ; nous étudierons ensuite le mouvement d'un corps solide assujetti à tourner autour d'un point fixe, et enlin le mouvement d'un corps solide libre dans l'espace.

295. Tuéohèbk I. Tout déplacement d'une figure plane dam .sa» plan peu! fore produit par une rotation autour d'un point fixe.

Supposons que sur un plan fixe glisse un plan mobile parfaitement solide ; toute figure tracée dans le plan mobile sera emportée avec lui dans sou mouvement. lt est clair que la position du plan mobile sur le plan fixe fit. xi* sera parfaitement déterminée, si

v fou ooDnait.ies positions de deux

. 7\ « de ses points. Considérons deux positions du plan mobile ; soient.

* A. et B (As- 212) deux points du plan mobile dans sa première po-

MODVEMEWT G bOM ÉTHIQUE LUPi CORPS SOLIDE. iî7."

silion; A' et B' les mômes points dans la seconde position du plan mobile; la droite. AB, invariable de longueur, s'est transportée en A'B'. Joignons AA' et BB'; sur les milieux de ces droites élevons des perpendiculaires, qui se couperont en un certain point 0. Les deux, triangles AOB, A'OB' sont égaux, comme ayant les trois côtés égaux chacun a chacun, savoir : le coté AB égal à A'B', le côlé OA égal à OA', puisque le point 0 appartient à la perpendiculaire élevée snr le milieu de AA', cl de même le colé OB égal à OB'. Les angles AOB, A'OB' de ces deux triangles sont donc égaux; si l'on retranche la partie commune A'OB, il reste les angles égaux AOA\ BOB'. Imaginons maintenant que l'ou fasse tourner le plan mobile autour du point fneO de l'angle AOA'; le point A décrira un aro de cercle et viendra en A'; le point B décrira de mêmn un arc de cercle et viendra en B'. La rotation autour du point 0 amène donc la figure mobile de sa première position AB à la seconde A'B'.

294. Théorème II. Lorsqu'une figure pitaie se meut a" une manière quelconque dans son plan, les vitesses de tous les points de la figure, à chaque instant, sont les mêmes que si la figure tournait autour d'un certain point, avec mm vitesse, angulaire déterminée.

Considérons les positions du plan mobile u ti< au temps t et au temps t + àt; soit M ifig. 213) un point quelconque du plan mobile dans sa première position, M' la nouvelle position de ce même point; le pointM. a éprouvé le déplacement MM' pendant le temps A(; sa vitesse moyenne que nous représenterons par la droite MA,, est dirigée

LIVKK V. CUHPLËHEST.

suivant MM' al égale à — . Eu vertu, du théorème précèdent, on peut amener le plan mobile de sa première position a la seconde, en le faisant tourner autour d'un certain point 6, d'un angle MO,M'. que nous désignerons par 6. Dans ce mouvement, le point M décrit l'arc de cercle MM' et vient en M'. Faisons maintenant diminuer .jusqu'à zéro l'intervalle de temps M; le point 0, tend vers un point limite 0. auquel on a donné le nom de centre, instantané de rotation. La sécante MM' devient tangente au cercle, et par conséquent perpendiculaire au rayun OM ; ainsi, la vitesse MA au temps / est perpendiculaire au rayon OM. On a d'ailleurs

corde MM' __ corde MM' arc M M 1 0 <— \T~~ arcMM' * Ai ' " l'arc MM' otautégal à l'angle MO,M\ c'est-à-direà l'angle 0, multiplié par le rayon 0,M, U vient

1 arc MM' At *

Quand M tend vers zéro, le rapport ^.tend vers une limite détermiuée ; celte limite, que nous dé signerons par .o, est ce qu'on appelle la vitesse angulaire de rotation au temps/; on a de la sorte

-• .. .ir=a>'XOH.' ' ■'

Ainsi, la vitesse MA d'un point quelconque M du plan mobile est perpendiculaire au rayon OM et proportionnelle à ce rayon. Si donc on imagine que le pian mobile tourne autour du point 0 avec la ïilesse angulaire u>, cette rotalion donnera à chaque point la vitesse qu'il a effectivement au temps t.

MOUVEMENT GÉOMÉTRIQUE D <tS CORPS SOLIDE. 31Ô

A chaque instant, il y a dans le plan mobile un point dont la vitesse est nulle ; ce point est le centre instantané de rotation. , . ,

295. Remarques, Les différents points de la figure mobile étant liés les uns au: autres par des droites de longueur invariable, on comprend que les vitesses de ces différents points ne sont pas indépendantes les unes des autres ; les relations qui existent entre ces différentes vitesses sont contenues dans le théorème précédent. Si l'on donne les directions dos vitesses de deux points à un même instant, on connaîtra la position du centre instantané de rotation 0 à cet instant ; il suffira de mener les normales en ces deux, points etde prendre leurpoiuld'iutnrsection. Si l'on donne en outre la grandeur de l'une des vitesses, on connaîtra la vitesse angulaire de rotation o>. Le centre instantané de rotation étant déterminé, ainsi que la vitesse angulaire, on en déduit très -facile ment la vitesse de chacun des points du plan mobile.

Quand on connaît les tr;tjei:kniv.S'léi.Tiles par deux points A et B du plan mobile, le mouvement du plan est défini géométriquement; on peut construire les positions successives de la figure mobile et par conséquent tracer la courbe que décrit l'un quelconque M de ses points. Ou peut eu outre construire la tangente à celte courbe ; car les normales aux point» correspondants des trajectoires décrites par les deux points A et B donnent par leur intersection le centre instantané de rotation 0 ; la droite OM est normale à la trajectoire décrite par le point M; une perpendiculaire à cette normale sera la tangente. Celte méthode est d'une application fréquente dans l'élude des courbes.

296. fittoamïïhVMipewsB npnff&ae* k^ioimn^tt d'une figwe plant- dans' sou plan ert fuhanVroûteftHte courbe mobile sur une courbe fixe saitsgUssementi '■• ■ ,îi '-'"

Parlageons.le temps eu iiitervalles'égauxiàl.iid; la-d»i>plucemeut éprouvé par la figure mobile pendant chacun de ces intervalles de temps peut être produit par une i-otalion autour d'un point déterminé ; soient 0; PyQ, B;... les positions dans le plan lise des contres do rotation qui uorrespoDdeutàeesintervallesdetempssucceasifHf/îy.ât*): . 0. p. q, »s - les mômes .points .dans le plan mobile; lea sommets du polygone mobile Opqr; ...

s viennent coïncider successivement avec les. -sommets correspondant?

du polygone .fixe OPQR. ; m Le polygone mobile Qpqr... a été figuré dans la position qu'il occupe au temps 4; le déplacement qu'éprouve la figure mobile du temps t au temps i-f- Ai peut être produit par une rotation autour du point 0; si donc on. l'ait tourner le polygone mobile autour' du -point' 0 d'un angle égal à PO/j, le sommet^ viendra en ■PÇttU le polygone mobile sera amené dans la position iflP^'K'.; ! qu'il occupe au temps t+M. De même, si i'onfeit tourner le polygone mobile autour du point P d'unangfe-égatà QP.?', le . sommet i/' viendra eu Q, et le polygone mobile sera amené dans la position qu'il occupe hu temps; ï-f- &,t; et ainsi de suite. On remarque que des côtés du polygone mobile sont respectivement égaus^aus cotés corpeapon 1 dants du polygone fixe, et que. dans chacune.' des positions du polygone mobile, les rdeUt polygones 1 - on* côté commun; par enemple, au temps A/ les detfK

d'un coups solide. 371 polygon.es.onl le. c6Ui. commun OB« Uwihnmeitt du'pulygpnc momie sur le polygone ihef ivseitf^inwidéelrfenetfe et facile à saisir.

Supposons maintenant que les intervalles de temps A/ soient de-plus on plu3 : petits, le point O'tendtfa' Vers : 'u1ic position limite. -qui on le centre instantané de rotation ail temps f (yîyj 2l5): les H en \ polygrmes deviendront; Tuii ie lieu du centre instantané dé rotation ' 11 " ''Hi.'H»-. dans. le. plan fise, l'autre le lieu dé'Ce* 1 *e^3'ioimiM| ^ ménie point dans' le plan mobile; Ap- • 1 •p^m^i • pelonsSIatonrboiise.S'Iapositioti de s la courbe mobile au temps r; ces deux courbes, étant le? limites de deux polygones qui ont un côté commun OP {fi!/. 214), sont tangentes en 0; ce point de coutael 0 est le centre instantané de rotation au temps (.11 résulte de ce qui' précède que la courbe S' roule sur la courbe S. sans glisser; un arc de la première courbe s'applique sur un arc égal de la seconde courbe.

297. Pour montrer une application dé oefte< miiuière d'envisager lo mouvement, considérons le cas où deu* pointsA etBiluplau mobile giisseutsurdeuxdroitestixes CX, CY (/ïj.216). Les perpen- f^. îf6 .

diculaires AO et BO, menées par les ■ points A et B aux droites CX,- C¥, décritespar ces points.douneut par.leurintérseotion le centre instantané de rotation. 0. La droite mobile AB ayant une -longueur constante, et l'angle AOB étant constant, et supplémentaire ou égal à l'angle C, le lieu du

378 Livnn v. compi.kmkm.

point 0 dans le plan mobilo est le segment capable île l'angle AOB construit sur la droite AB; c'est la circonférence de cercle décrite sur CO comme diamètre- Ce diamètre GO ayant une longueur constante, le lieu du point 0 dans le plan lise est la circonférence de cercle décrite du point C comme centre, avec uii rayon égal à CO. On peut se représenter le mouvement du plan mobile, en laisant rouler le petit cercle sur le cercle double, à l'intérieur, sans glissement. On sait qu'un point quelconque M du plan mobile décrit une ellipse; la droite OM est normale à cette ellipse an point M ; une perpendiculaire à la droileOM est la tangente à l'ellipse.

La cycloïde est la courbe décrite par un point M d'un cercle mobile roulant sur une droite flxe X'X [f>y. 217). Le point de contact 0 r\g, an.

du cercle mobile et de la droite fixeX'X étant lecentreinstantaiiéde rotation, la droite OM ' esi normale à la cycloïde au point M.

298. Théorème IV. Si l'on considère [enveloppe (tune ligne située dans le plan mobile, la normale commune à. fenve/opjx! et à la liijne mobile passe par le centre instantané de mtalwm.

Une ligne A située dans le plan mobile ifig. 218) reste tangente, dans ses positions successives, à une ligne B située dans le plan Gxe ; cette ligne B est ce qu'on appelle {'enveloppe de la ligne mobile A. Considérons les deux positions A et A' de la ligne mobile aux temps/ elt+àl; les deux lignes A et A' se coupent en un point m'; soit m

MOUVKMKNT GÉOMÉTRIQUE d'un corps SOLIDE.

le point de la ligne A qui vient en wi' au femps/-|- AI. On peut amener là ligne A de su pre- ng.au.

niière position à la seconde, en la faisant autour d'un certain pointO, ^ d'un angle égal à l'angle mO,m', ' ^ Quand A/ tend vers zéro, le point d'intersection m' tend vers le point M où i'envcloppcB touche la ligneA; '\ 0 en même temps le point 0, tend vers le centre instantané de rotation 0. Puisque les deux points met m' se confondent, la sécante mm' devient tangente eu M ;'i la ligne A, et au cercle décrit du point 0 comme centre avec OM pour rayon ; on eu conclut que le rayon OM est perpendiculaire à la tangente et par conséquent normal à la ligne A. Ainsi, la normale commune à la ligne mobile A et à l'enveloppe B, au point de contact M, passe parle centre instantané de rotation.

Le point de contact M de la ligne mobile A a une vitesse tangente à la ligne fisc B et égale à l> X OM ; il y a donc en même temps roulement el gli-sement de la ligne A sur la ligne B. La ligne S (fig. 2)5}, lieu du centre iuslantané de rotation dans le plan fixe, est l'enveloppe de la ligne S', lieu de ce point dans le plan mobile ; mais, comme ie point do contact est le centre iustaniané de rotation, la vitesse de ce point est nulle ; voila pourquoi la ligne S' roule sans glisser sur la ligne fixe S.

2'J9. Remarques. Le mouvement du plan mobile est défini géométriquement quand on connaît, soit les trajectoires de deux points, soit la trajectoire d'un point et l'enveloppe d'une ligne, soif les enveloppes de deux lignes. A l'aide decesdeux condilionson pourra déterminer le centre

380 ; ,yyijEv. coju^(i^î P , .... . ,.

instantané de rotation pour chaque position duplap mobile, et par suitc.condti uire la tangente à la trajectoire décrite par un point quelconqueduplan. Si .l'on cherche l'enveloppe d'une ligne quelconque située dans le plan mobile, en menant du centre instantané de rotation une uormalOià celle ligne, on aura le point où elle est touchée par l'enveloppe, ïif. su».,, La conchoïde est la courte décrite par B .[ I un point M d'une droite qui tourne autour d'un point fixe I . et dont un .point A décrit une droite BC [fiy. 219). Le. point I peut être regardé comme l'enveloppe deladroile mobile ; si l'on mène par le point I une normale à la droite IA et par le point A uninormale à la trajectoire BC, le point d'intersection 0 de ces deux normales est le centre instantané de rotation; ladroiteOM est normale à la conchoïde.

300. Théorème V. Tout ittplun-munt 'l'un corps solide autour d'un point fixe peut être produit par une rotation autour tCwt axe fixe. ,k,.-.

Lorsqu'un corps solide a un point fixe 0 {fig. 'i^O), il Hg. nu. est clair que la position du corps sera

parfaitement déterminée, si l'on connaît les positions dedeux de sespoinls.

Si Ton décrit une sphère du point 0 comme, centre , avec un rayon, arbi- , traire, toute figure située sur fa sphère restera sur cette sphère dans Je mouvement du corps spjide

MOUVEMENT GÉOMÉTRIQUE o'CN CORPS SOLIUE. 5S1

autour du point 0. Soient A et B deux points de la surface de la sphère dans la première position du corps solide, A' êl B' les mêmes points dans la seconde position ; t'nrc de 1 grand cercle AB, invariable de longueur, s'est transporté en A'B'. Menons des arcs de grands cercles perpendiculaires^' les milieux des arcs de grands cercles AA', BB', ces deux arcs *e couperont en un point I. Les deux triangles sphériques IAB, 1A*B' sont égaux comme ayant les trois cûléségaux chacun à chacun ; si des deux angles égaux Alii, A'IB' qu retranche la partie commune A'IB, il reste les deux angles égaux AIA', BIB'. imaginons que l'on lasse tourner le corps solide autour de la droite 01, d'un angle égal à AIA', le point A viendra en A', le point B en B', et par suite le corps solide sera amené de sa première position à la seconde.

301. Théorème VI. Lorsqu'un corps solide sèment d'une manière quelconque autour d'un point fixe, les vitesses des différents points du corps solide, à chaque instant, sont les mêmes que si h corps solide loununt autour d'un certain axe, avec une vitesse angulaire déterminée.

Considérons les positions du corps solide au temps l et au temps ( + it. Soit M un point quelconque du corps dans sa première position, M' le même point dans sa seconde position (fig. 221}. Sa vitesse moyenne »„ que nous représenterons par MA,, est dirigée suivant MM' et

égîjlftài™. En vertu, du théorème précédent, on peut amener le corps solide de la première position à la seconde, en le faisant tourner autour d'une certaine droite OL, d'un angle 9; dans ce mouvement, le point M décrit un

383 LIVRE V. comÉNEKT.

arc de cercle MM' ayant pour rayon ia perpendiculaire MC, abaissée du point M sur l'axe de- rotation OL,. Si l'on fait Fi „ diminuer Ai jusqu'à zéro, l'axe de ro-

' lationOL, tend versune position limite % ^ OL, qui est ce qu'on appelle IWe >«- , tjjg' ' slanUtné de rotation au temps /; la perpendiculaire MC, devient la perpendiculaire MC abaissée du point. M sur . °| l'axe instantané' OL; la sécante MM'

devient, tangente au cercle et par conséquent perpendiculaire au rayon CM, dans le plan du cercle qui est perpendiculaire à OL; la vitesse MA est donc perpendiculaire au plaît mené par le point M et l'axe instantané OL. Ou a d'ailleurs

corde MM' corde MM' 8 „ u ' = arcMM , X S XL,M,

et par suite f =bXCM.

Ainsi, la vitesse du point M est la même que si le' corps solide tournait autour de l'axe instantané OL avec la vitesse angulaire u>.

A chaque instant , il y a daus le corps solide une iuiinité de points dont la vitesse est nulle; le lieu de ces points est l'axe instantané de rotation'.

Si l'on considère le lieu de l'axe instantané de rotation dans l'espace, et le lieu de ce même axe dans le corps solide, ou aura deux cônes, l'un iixe, l'autre mobile, ell'on verra, comme précédemment, que l'on peut se représenter le mouvement du corps solide eu Taisant rouler le cime mobile sur le cône fixe, sans 'glissement. '' '

r,i;oM ÉTHIQUE n'iIN CORPS SOLIDE. 385

302. Théorème VII. Tout dèp/ttmneii.t d'un corps solide peut être produit put mit Itamlalion et une rotation.

Considérons deux positions d'un corps solide libre dans l'espace. Prenons un point arbitraire dans le corps solide el soient 0 et 0' les deux positions de ce point [fuj. 222) ; imaginons que l'on donne à tous les points du n f . -kl corps un déplacement égal et parallèle à 00'; ce sera un mouvement de translation; il suffira ensuite, pour amener le corps dans la posi- J 0 . lion qu'il doit occuper, de regarder le point 0' S comme fixe et de faire tourner le corps autour de ce point fixe; mais on sait que ce second déplacement peut cire produit par une rotation autour d'un axe fixeO'L. Ainsi, on amène le corps solide de sa première position à la seconde, par une translation égale au déplacement 00' de l'un de ses points, et par une rotation autour d'un axe passant par ce point.

303. Remarque!. On peut l'aire en sorte que la rotation s'accomplisse autour d'un axe parai- h*, m.

lèle à la translation. Par les points 0 el 0' menons des plans P et P' perpendiculaires h l'axe de rotation O'L {fiff. 225). Décomposons le déplacement 00' en deux déplacements, l'un 00, parallèle à t'axe O'L, l'autre 0,0' perpendiculaire à l'axe el par conséquent situé dans le plan P'. Nous amènerons le corps solide de sa première position à sa seconde position en

î)K4 I.1VRK >. alUPLÉMKM.

lui donnant d'abord la translation 00,, nuis la translation 0,0', et le faisant tourner ensuite autour de O'L. La première translation amène le plan P sur le plan parallèle P' ; la seconde translation 0,0' fait glisser le plan P sur lui-même, de même que la rotation autour de l'axe perpendiculaire O'L. Ces deux derniers mouvements ne font que déplacer le plan P'dans sou propre plan; mais on sait qu'on pareil déplacement peut être produit par , une rotation autour d'un point liie I' du plan, ou, ce .qui est la même chose, autour d'un axe l'K perpendiculaire au plan. De cette manière on a une translation 00, et une rotation autour d'un axe IK parallèle à la translation.

La droite IK glisse sur elle-même, et, eu même temps, le corps tourne autour de cette droite. Ce double mouvement est analogue à celui d'une vis dans son écrou. Toute autre droite, telle que 00,, parallèle à l'axe IK, glisse sur elle-même de la quantité 00, égale à II', et en même temps se déplace parallèlement à elle-même, de manière à venir occuper la posilion.O'L. Si cette droite glissait simplement sur elle-même, comme la droite IK, le mouvement général du corps solide serait un mouvement de translation, sans rotation. Ainsi la droite IK, que nous appellerons axe central, est une droite parfaitement déterminée, appartenant au corps solide, ou liée invariablement à ce corps.

304. HuBAHauE IL Pour effectuer le déplacement du uorps solide par uue translation et une rotation, nous avons pris un point arbitraire 0 dans le corps ; la translation 00' est le déplacement même de ce point; la rotation s'accomplit autour d'un axe O'L passant parle point O'.Il est à remarquer que, quel que soit le point du corps que l'on ait choisi. I\i\r de rotation a une direction constante,

MÛtVEMEKT GÉOMÉTRIQUE D'tJPi r.ORPS SOUDt. Mj)

et l'angle de rotation mie valeur eoDStaDtc. On voit déjà que l'axe de rotation O'L, qui correspond au point 0, est parallèle à l'aie centrai 1K. Il suffit de montrer que l'angle de rotation est le même autour do O'L et autour de IK. Quand'on donne nu corps lu translation II', le point 0 vient en 0,, après avoir éprouvé le/léptacement 00,,. égal et parallèle à II'; la rotation autour do l'axe IK l'amène ensuite on 0'. dans la position qu'il doit occuper; l'angle de rotation autour de IK est donc 0,1'0'. D'autre part, quand on donne au corps la translation 00', le point I vient en I„ après avoir éprouvé un déplacement II, , égal et parallèle à 00'; la rotation antourde l'axe O'L l'amène ensuite dans la position I' qu'il doit occuper ; l'angle de rotation autour de O'L est donc 1,01'. Les deux droites I'0„ I,Ô\ élanl égales et parallèles à 10, sont parallèles entre elles, et par conséquent les deux angles alternes- in ternes 0,1 0',, IJ3T sont égaux. Ainsi, l'axe de rotation a une direction constante et l'angle de rotation est constant. La translation est variable avec la position du point 0 ; elle esL mipimtim pour les points de l'axe central IK.

305. Théorème VIII. Dans le mouvement (f uit corps solide, la vitesse rT un point qwh/mqi/t-, à r./mquc instant, es' la même que si le corps avait une vitesse de translation égale et parallèle à celle d'un point choisi nrhi Irai rement dans le corps, et tournait autour d'un axe passant par ce point avec une. vitesse angulaire déterminée.

Considérons les positions du corps solide au temps t et au temps l -+- Ai. Prenons un point arbitraire 0 dans le corps solide, et soient 0 et 0' les deux positions de ce point; uous avons vu qu'on peut amener le corps de sa première position à la seconde, en lui donnant une translation égale 9»

à 00' \Jiy- 224) et lu faisant tourner ensuite. „ d'un certain angle Oautourd'uuedroiteO'L, passanlpar !e point 0'; la vitesse moyenne d'un point quelconque M du torpE solide pendant le temps À/ est donc la résultante d'une

vitesse parallèle à 00' et égale h et de la

vitesse moyenne (mi correspond au déplacement provenant de la rotation 6 autour de O'L. Si l'on l'ail diminuer

Ai jusqu'à zéro, la vitesse moyenne de translation ~ a

pour limite une vitesse égale ut parallèle à celle du point Q au temps /. L'axe de rotation O'L, tend vers une position limite OL, que nous appellerons l'ase instantané de rotation au temps t ; et le rapport g tend vers une valeur a;

la seconde vitesse a doue pour limite la vitesse qui aurait lieu si le corps tournait autour de OL avec la vitesse angulaire tu. La vitesse du point M est la résultante de ces deux vitesses. Ainsi, on obtient les vitesses de . tous les points du corps solide au temps t, en imaginant que le corps ail une vitesse de translation v&ak: à la vitesse d'un de ses points 0, et une vitesse angulaire de rotation w autour de Taxe instantané OL passant par le point 0.

Il résulte de ce qui précède que l'on peut choisir le point 0 de manière que l'aie instantané de rotation soit parallèle à la vitesse de translation ; dans ce cas, la vitesse de translation est minimum. Quel que soit le point 0, l'axe instantané OL a une direction constante et la vitesse angulaire ûi une valeur constante.

MOUVENEBT «i£(flt|(UULt d'i» CUM-S SOLIDE.

306. Nous pouvous mainteuaiH compléter ce que nous avons dit dans le chapitre iv du livre I, sur la composition des accélérations. Un mobile est en mouvement dans un système A, ce système A est en mouvement dans !e système B ; le mouvement du mohiie par rapport nu système lî est le iDouvemeul résultant des deux première ; ii s'agit de trouver l'accélération du mouvement résultant. Nous avons traité la question dans le cas particulier où le système A a nu mouvement île translation dans le système tl |n" 33) ; nous avons vu que. dans ce cas, l'accélération du mouvement résultant est, a choque instant, la somme géométrique de l'accélération du mouvement du mobile dans je système A, et de l'acélération du mouvement de translation du système A dans le système B. Lorsque le mouvement du système A n'est pas un' mouvement de translation. In question est plus compliquée. On doit se représenter le système A comme un système solide se mouvant dans lesystèmesolideB.que l'on regarde comme lise.

Soit M {fig. 225) le point du système A où se trouve le mobile au temps /, MA In droite qui représente à cet instant la vitesse du mobile dans le système A, AB une droite égale et parallèle à celle qui représente la vitesse du point M du systèmeAaumêmeinatnnt; |a droite MB représentera la vitesse du mouvement résultant au temps (. Soit W le pojnl du système A où se trouve le mobile nu temps

I-HUi et-- système 1 A étant supposé immobile ; MM ' est le déplacement apparent du mobile dans le système^ ; la direction de la -vitesse apparente ou relative MA est la direction limite de MM', et la valeur de cette vitesse est la limiw

du rapport ^j^ . Pendant l'intervalle de temps àt, je sv-

slème solide Aéprouve un certain déplacement et le poinlM vient en M, ; on peut opérer ce déplacement en donnant au système une translation égale et parallèle au déplacement MM, du point M, et faisant tourner le système d'un certain angle 6 autour d'un axe M,L, passant par le point M, (n° 283); la translation entraine la droite MA parallèlement à elle-même en M, A, ; la rotation autour de l'axe M,L, change sa direction et l'amène en M,A t ; telle est, dans la seconde position du système A, la droite qui représente la vitesse relative du mobile au temps t. En même Uunps, le point M' où se trouve le mobile au temps (+Af, vient eu M',. Soit M', A', la droite qui, dans la seconde position du système A, représente la vitesse relative du mobile au tiîinps (4- A/. Par le point M, menons une droite MA' égale et parallèle à M',A',, et par le point A' une rlroite A'B' égaie et parallèle à la vitesse du point M", ou M' du système A au temps / + A(, la droite MB' représentera la vitesse du mouvement résultant au temps / -+- àf.

La droite BB' représente la variation géométrique delà vitesse dans le mouvement résultant pendant le temps A(. Dans la seconde posilion du système A; la droite MG, égale ot parallèle à M, A,, représente la vitesse relative au temps ï; la droite MA' représente cette vitesse relative au temps / la droite CA' est donc la variation géométrique

de cette vitesse relative pendant le temps Aî. La droite AB isl h vitesse du point M au temps (, A'B' lavilessedu

MOUVEMENT «KOMiTHItlUE DUH CORPS SOUDE. 389

point M' au temps ï + Aï- .Cberehons la vitesse du point M' au temps t ; ou obtient la vitesse de, tous les points du système solide A, eu donnant s, ce systèrae une vitesse de Irai relut ion égale à la vitesse du point M el le faisant tourner autour de l'axe instantané ML aveu la vitesse angulaire m; uellé rotation imprime au point H' une, vitesse M'D perpendiculaireauplanM'MLet égaleàuxMM'siiiM'ML: ta vitesse du point M' au temps t est la résultante de la vitesse ABet de la vitesse M'D. Si donc par !e point- A' ou mène une droite A'E égale et parallèle à AB, et pur le point E une droite EG égale et parallèle a M'D, In droite A'G sera la vitesse du point M' au temps I. Comme la droite A'B' est la vitesse du même point au temps Ï-+- Aï, la droite GB' représentera la variation géométrique de la vitesse du point M' pendant le temps M. Par le point B menons une droite BH égale et parallèle AC : les deux droites A'E et CH étant égales et parallèles i à AB et par conséquent égales et parallèles entre elles; les deux droites HE etCA'sont aussi égales et parallèles.

Cela posé, on peut regarder la longueur BB' tomme la somme géométrique des quatre longueurs BH, HE, EG, GB', En divisant par A/, on voit que l'accélération moyenne

— du mouvement résultant est la somme géométrique

des quatre accélérations