COMPOSITION DES ACCÉLÉRATIONS
Nous nous sommes déjà occupés de Ja composition des mouvements et nous avons vu comment on obtient la vitesse du mouvement résultant; nous chercherons maintenant l'accélération du mouvement résultant.
Compétition de deux mura menti rootiligti» un] ruminent virioi ■■Wut la mono droit*.
50. Imaginons qu'un mobile se meuve sur la droite X'X (Jîg. 44) d'un mouvement uniformément varié, tandis que la droite glisse sur elle-même ^ H
d'un mouvement uniformément varié. La vitesse du mobile sur »
la droite au temps 1 est
celle de la droite au même instant est
or, on sait (n° 20) que la vitesse V du mouvement résultant est la somme de ces deux vitesses, ce qui donne
Ainsi le mouvement résultant est un mouvement uniformément varié, et son accélération est la somme algébrique, des accélérations des deux mouvements proposés.
58 LIVRE I. CINÉMATIQUE.
CmaponlIlOD du irm mDDTsnisDU recllligne. q U «l MBqu0 . ■ul™t la m«me drglu.
51 . ImaginoDS toujours un mobile se mouvant sur la droite X'X, tandis que la droite glisse sur elle-même. Soit v la vilesse du mobile sur la droite au temps t, v' celle de la droite au même instant, la vitesse du mouvement résultant aera
soit maintenant v + àv la vitesse du mobile sur la droite au temps ( + Af, tt -+- Au' celle de la droite au même instant, la vitesse du mouvement résultant sera
V + AV= (t> + A») -+- {«'+ An") ;
d'où AV=A«-t-Au',
iV Au Aw' et par suite, ^-jj +^j.
Ainsi l'accélération moyenne du mouvement résultant pendant le temps Ai est égale à In somme algébrique des accélérations moyennes des deux mouvements proposés pendant le même temps. Si l'on fait tendre Al vers zéro , on en conclut que l'accélération du mouvement résultant, à un instant quelconque, est égale à la somme algébrique des accélérations des mouvements proposes au même instant.
Ce théorème s'étend à la composition d'un nombre quelconque de mouvements rectilignes s effectuant suivant la même droite. L'accélération du mouvement résultant est égale, à chaque instant, à la somme algébrique des accélérations des mouvements proposés au même instant.
COHPOSmOH DBS iCCÉLÉBATlONS. 59
52, Imaginons qu'un mobile, partant du point 0 sans vitesse initiale, se meuve, sur la droite OX (/!</. 45) d'un mouvement uniformément accé- m. is.
1ère avec l'accélération y, tandis que la droite OX se transporte parallèlement à elle-même, son point 0 décrivant la droite OY d'un mouvement uniformément accéléré, sansvitesse initiale, avec l'accélération /'.Après un temps (, le mobile aura parcouru sur la droite OX une longueur OP égale à | yC ; pendant ce temps, la droite se déplace parallèlement à elle-même, son point 0 décrivant sur OY la longueur OQ égale à | y'P, et vient dans la position QX, ;
le point P, où se trouve alors le mobile, vient en M, après avoir éprouvé un déplacement PM égal et parallèle à OQ. Telle est la position du mobile au temps (, et l'on a
OP-|,i>, OQ = PM=^V.
On déterminera de même la position M' du mobile au temps t', en prenant
OP=lyt>, 0Q'=P-M'=| r ï\
De ces relations on déduit
Of__ PM P
60 ' livre i. MNEtunoUb.
Les triangles OPM, OP'M'sont semblables et les droites
OM, OM' coïncident. Donc le mouvement résultant est
rectiligne.
Les mêmes triangles semblables donnent
OM OP(^ 0M i — OP'~i'*"
Les longueurs OM, OM', parcourues par le mobile dans le mouvement résultant étant proportionnelles aux carrés des temps, le mouvement résultant est uniformément accéléré.
Cherchons enfin l'accélération y t du mouvement résultant. Si l'on suppose que le temps ( sott égal à l'unité
de temps, les longueurs OP et OQ sont égales à |- et à ^; la longueur OM , parcourue par le mobile dans le mouvement résultant pendant la première unité de temps, sera égale à En doublant les longueurs OP et OQ, on
formera un parallélogramme OGKH semblable au parallélogramme OPMQ, et dans lequel la diagonale OK, double de OM, représentera l'accélération y t du mouvement résultant. Âinsï, le mouvement résultant de deux mouvements rectilignes uniformément accélérés, sans vitesses initiales, est tm mouvement rectiligne uniformément accéléré, dont l'accélération est représentée en grandeur et en direction par ta diagonale du parallélogramme construit sur les accélérations des deux mouvements proposés.
