DEFINITION DE LA VITESSE

BeBnition de la Titane duni le monTement reotiligM et oniforne.

5. Considérons un point matériel se mouvant dans un système ; nous avons appelé trajectoire la ligne décrite par le point mobile, c'est-à-dire le lieu des positions successives du point mobile dans le système. Quand ia ligne décrite par le mobile est droite, on dit que le mouvement est rectiligne. Quand les longueurs parcourues par le mobile en temps égaux sont égales, on dit que le mouvement est uniforme. Le mouvement rectiligne et uniforme est le plus simple de tous les mouvements. Dans un pareil mouvement, on appelle vitesse la longueur parcourue par le mobile dans l'unité du temps.

6. En mécanique , on prend ordinairement le mètre pour unité do longueur, la seconde pour unité d ■ omps, de sorte que la vitesse d'un mouvement rectiligLt et uniforme est le nombre de mètres parcourus par L mobile en une seconde.

Soit J/Xifig. 1) la ligne droite décrite par le mobile, A la position du mobile au 1 F i g . i.

moment à partir duquel on i

compte le temps, M sa posi- v A " x

lion au lemps (, c'est-à-dire après un nombre de secondes marqué par (. Si nous représentons par t> la vitesse ou ia longueur parcourue en une seconde, et par x ia longueur AM parcourue dans le temps f, nous aurons a: = ni.

On détermine ordinairement la position d'un mobile sur une droite par la distance ou il se trouve d'un point fiie 0 pris sur la droite

, [fig- 2). Désignons par a la

* * * " * dislance OA et par a; la dislance OM, nous aurons la formule x=a + pt.

7. Cette formule est générale et convient à ious les cas de la question, si l'on affecte chaque quantité d'un signe convenable. Nous regarderons comme positives les longueurs portées sur la droite, dans un sens convenu, par exemple de gauche à droite, et comme négatives celles qui sont portées en sens contraire. La vitesse v sera ellemême positive ou négative, suivant que le mobile marche de gauche adroite, ou en sens contraire. Au temps i=0, le mobile est en A, à la distance a du point 0; il parcourt ensuite dans le temps ( une longueur esprimée, avec le signe convenable, paref; on a donc x=a + vt,qm\ que soit le sens dans lequel marche le mobile.

Nous venons de déterminer la position du mobile sur ' la droite, f secondes après qu'il a passé au point A; la même formule donne aussi la position du mobile à un moment quelconque avant qu i! passe au point A ; il suffit de considérer le temps comme positif dans le premier cas, comme négatif dans le second.

DÉFI NlTlOn DE LA V1TKSSE.

8. Dans le mouvement rectiiigne et uniforme, nous avons appelé vitesse la longueur parcourue par le mobile dans l'unité de temps. On regardera la vitesse comme une grandeur géométrique, c'est-à-dire comme une longueur portée sur la droite que décrit le mobile, et dans le sens du mouvement,

Il est clair que, dans le mouvement uniforme, les longueurs parcourues par le mobile sont proportionnons aux temps employés à les parcourir, et Ton voit que la vitesse est égale au quotient de la longueur parcourue par le temps employé à la parcourir. Si l'on appelle x la longueur parcourue parle mobile daus le temps i, on a

Définition do la titr-ose du» le mouToroonl rooliligns t«M.

0. Supposons toujours quo la trajectoire décrite par le mobile soit rectiiigne, mais que les espaces parcourus en temps égaux ne soient plus égaux ; ou dit alors que le mouvement est rectiiigne varié. Soit M [fig. 3} la position du mobile au temps I, x sa Fie ,

distance à l'origine 0, M' sa . . ,

position au temps l + M, " " ™

aH-Ase sa distance a l'origine ; le quotient es * ce qu'on

appelle la vitesse moyenne pendant lïutervalle de temps Al; c'est la vitesse que devrait avoir le mobile, se mouvanld'un mouvement uniforme, pour parcourir dans le temps Af la même longueur MM 'que le mobile proposé. Imaginons maintenant que l'intervalle de temps M diminue de plus en plus et lende vers zéro, |a longueur parcourue Aï

LIVKb] l.'CIHËlUTKitlE.

tendra aussi vers zéro, et le rapport ~, ou la vitesse

moyenne pendant le temps Af, tendra vers une limite finie et déterminée; celte limite est ce qu'on .appelle la vitesse du mobile au temps (.

La distance x du mobile à l'origine 0 est une l'onction du temps ; on voit que la vitesse v du mobile, à chaque instant, est la dérivée de la fonction x par rapport au temps f. On a donc

t>=IVr.

Par exemple, si l'espace parcouru par le mobile est proportionnel au carré du temps, si l'on a, par conséquent, x — at 1 , on obtiendra la vitesse en prenant la dérivée de cette fonction, ce qui donne v=3kt. Ainsi, dans un pareil mouvement, la vitesse croît proportionnellement au temps.

10. Considérons maintenantun mouvement curviligne quelconque {fig. 4). Soit M la position du mobile au temps f'ï- *• i, M' sa position au temps

t + ài. La droite MM', qui joint le premier point au second, est ce qu'on appelle le

de ce déplacement MM' à l'intervalle de temps Af est ce qu'on peut appeler la vitesse moyenne pendant le temps Ai ; c'est la vitesse que devrait avoir le mobile, se

DÉFINITION DE LA vnESSB.

mouvant d'un raouvoment recliligne et uniforme suivant la droite MM', pour éprouver dans le temps A( le déplacement observé MM'. Cette vitesse moyenne est une grandeur géométrique MA,, portée sur la droite MM' dans le sens du mouvement. Imaginons que l'intervalle, de temps A( tende vers zéro, le point M' se rapprochera du potnL M, et la vitesse moyenne MA, tendra vers une valeur limite MA ; cette limite MA est ce qu'on appelle ia vitesse au temps (. La tangente à la courbe étant la direction limite do la sécante, on voit que la vitesse au temps ( est une grandeur géométrique MA portée sur la tangente à la trajectoire, dans un sens déterminé.

H. Si l'on prend un point fisc 0 sur la trajectoire, on peut déterminer la position du mobile à chaque instant sur cette courbe par la longueur de l'arc OM. Désignons par s la longueur de l'arc OM, et par As celui de l'are MM' décrit pendant le temps Af. La vitesse moyenne pendant le temps Ai a pour expression

corde MM'

corde MM' , As

Mais on sait que lo rapport CQrd ^ MM > c'est-à-dire le rapport de la corde MM' à l'arc de courbe MM', a pour limite l'unité quaud le point M' so rapproche indéfiniment du point M. La limite de la vitesse moyenne est donc égale

à la limite du rapport Ainsi, dans le mouvement curviligne, la vitesse à chaque instant est égale à la dérivée

LITRE [■ CIMÉH4T10.UE-

de l'arc décrit par le mobilo sur la trajectoire, considéré çpmme une fonction du temps-

Supposons, par exemple, que le mobile décrive un cercle en parcourant des ares égaux ep temps égaux, On a, dans ce cas, s=q( et par suite «=a; la vitesseauue. valeur numérique constante, mais sa direction change sans cesse, Une grandeur géométrique est une longueur portée dans une certaine direction ; dans le mouvement circulaire uniforme, la vitesse, quoique ayant une longueur conslante, doit être regardée comme une grandeur géométrique variable, àcauso du changement de sa direction.

12. Supposons d'abord qu'uu point mobile M décrive une droite CD d'un mouvement uniforme {fig. 5). Pro-

ie point M décrit la droite CD, le point P décrit la droite X'X; des longueurs égales prises sur la droite CD ayant pour projections des longueurs égales, il est clair que le mouvement du point P sera uniforme comme celui du point M ; la vitesse MA du point M, ou l'espace parcouru par ce point dans l'unité de temps, aura donc pour projection la vitesse PB du point P, ou l'espace parcouru par le second mobile dans l'unité de temps.

Project!.).

jetons ce mobile sur une droite quelconque X'X; si l'on mène par le point M un plan parallèle à un plan donné , le point P où ce plan coupe la droite X'X est la projection du point M. Tandis que

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DÉTIWTION DB U VrreSSE. 11

13. Supposons maintenant que le point M décrive une trajectoire quelconque (fa, 6). La projection P se

mouvra sur la droite XTd^un Ht-

mouvement varié. Soient M ! ^

.et M' les positions du mobile '

auitempsfetf+AI.PetP'scs JS^X^ I

projectioDK;|edéplacemcntPF -~\ \ \

du second mobile est la pro- j ! j

jectiondudéplaeementMH'du *' '' r ' " " 1

premier mobile. La vitesse moyenne ^~ du premier mobile est figurée par une longueur MA, portée sur la droite MM'. Soit PB, la projection de MA, ; à cause des plans parallèles, on a les rapports égaui

puisque