CHAPITRE II
MOUVEMENT DES PROJECTILES
75. Un projectile est on corps tancé dans une certaine direction, avec uoe vitesse initiale donnée, et sootnis à l'action de la pesanteur. Faisant abstraction des dimensions du corps, nous considérerons le mobile comme un simple point matériel ; nous négligerons aussi la résistance à l'air. La question revient doue à trouver lé mouvement d'un point matériel, animé d'une vitesse initiale donnée et sollicité par uue force constante en grandeur et en direction.
74. Lorsque la vitesse initiale est nulle, le mouvement est celui de la chute des corps; si l'on désigne par ti la vitesse au temps t, par x l'espace parcouru , on a
(2) v=gl.
L'élimination de ( donne la relation
(3) tf — igx;
d'où l'on déduit la vitesse en fonctionde l'espace parcouru.
75. Supposons que le point matériel soit lancé de haut en bas avec une vitesse initiale v 0 . Imaginons que le mobile fasse partie d'un système de points matériels animés
MOUVEMENT DES PROJECTILES
de la vitesse t'„, et qui ne soient sollicités pur aucune force; ce système aura un mouvement de ironslaiion rectiligno et uniforme. La pesanteur, agissant sur le mobile en particulier, lui imprimera dans le syslèroe un mouvement relatif qui sera le môme que si le mouvement de translation n'existait pas, c'est-à-dire que si la vitesse initiale était nulle. Les déplacements s'ajoutent, ainsi que les vitesses ; on a donc
(5) a — v,+gt.
76. Supposons maintenant que le corps soit lancé, à partir du point 0 (/('y. 53), de bas en haut, suivant la verticale, avec la vilesse initiale v„. Désignons par x T \ s . si. la distance du point 0 à la position dit mobile au - » temps l, distance comptée de bas en haut. Imaginons, comme précédemment, un système de points matériels animés d'un mouvement de translation rectiligne et uniforme de bas en haut, avec la vilesse v 0 , et la pesanteur agissant sur le mobile. Le ° mouvement du mobile pourra être considéré comme résultant de la composition de deux mouvements rectilignes, l'un uniforme de bas en haut, l'autre uniformément accéléré de haut en bas; les deux mouvements étant de sens contraires, les déplacements se retranchent, ainsi que les vitesses ; on a donc
(7) v = v 0 -çt.
LIVItE II. DTHÀHIQPE.
Ces formules sont générales, si l'on regarde la distance x comme positive, quand clic est comptée à partir du point 0 de bas en haut,' comme négative, quand elle est comptée en sens contraire; et de même la vitesse v comme positive ou négative, suivant qu'elle est dirigée de bas en haut ou de haut en bas.
L'élimination de t entre les deux équations (6) et (7) donne la relation
(8) u î =« 0 1 — igx.
Le corps monte d'abord; mais la vitesse décroît; elle devient nulle quand
alors on a
Telle est la hauteur OH à laquelle s'élève le corps. Arrivé au point H sans vitesse, le corps redescend d'un mouvement uniformément accéléré.
Le mobile passe deux fois au point M, une fois en montant, une l'ois en descendant. Il est à remarquer que le mobile, quand il repasse en M, reprend la même vitesse, mais dirigée en seus contraire, et qu'il met, pour descendre de H on M, un temps égal àcclui qu'il a mis pour monter de M en H. En effet, x désignant In distance OM , l'équation (8) donne pour la vitesse v doux valeurs égales et de signes contraires. D'autre part, de l'équation (7) on déduit
le premier membre est lo temps compté à partir de l'instant où le mobile atteiut le point le plus haut H ; la vi-
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Wsse ayant eu M deux valeurs égales et de signes contraires, on obtient deux intervalles de temps égaux et de signes contraires. En particulier, le mobile revient au point de départ 0 avec la vitesse v 0 , et il met pour desceudre un temps égal à celui qu'il a mis pour monter.
Ces résultats s'appliquent évidemment au mouvement produit par une force constante quelconque , quand la vitesse initiale a la même direction que la force ou une direction contraire. Si l'on appelle F la force, ni la masse F
du mobile, et si l'on pose y= —, il sul'lira de remplacer, dans les équations précédentes, g par y.
MonTWneot prodoll pur une roree ouatant», quud <• ollwo initiale
11. Cherchons maintenant le mouvement produit par une force constante F eu grandeur et en direction, agissant sur un point matériel de masse m animé d'une vitesse initiale v 0 dans une direction autre que celle de la force. Soient OX la direction de la vitesse initiale, OY celle de la force. Si la vitesse initiale était nulle, la force imprimerait au mobile un mouvement rectiligne uniformément accéléré dans la direction OY, et l'on aurait, en posant
et désignant par y l'espace parcouru, t/— Imaginons, comme précédemment, un système de points matériels animés d'un mouvement de translation rectiligne et uniforme dans la
