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et la parabole décrite par le mobile aura pour équation

Mais, pour étudier tes diverses circonstances du mouvement, il est préférable de rapporter la trajectoire à des

mouvemeot des projectiles.

axes de coordonnas rectangulaires, savoir l'horizontale OX menée par la position initiale 0 du mobile, et la verticale OY dirigée de bas en haut. Si l'on désigne par a l'angle jgpe fait la direction OA de la vitesse initiale avec

81. On peut obtenir directement les équations précédentes. Décomposons la vitesse initiale en deux vitesses, l'une horizontale c D co9«, l'autre verticale »„sin«. Imaginons un système de points matériels animés d'un mouvement horizontal rectiligne et uniforme, avec la vitesse v„ cos a, et supposons que dans le système le mobile ait une vitesse initiale relative verticale v„ sin a et soit sollicité par la pesanteur. Le mouvement relatif du mobile dans le système sera le même que si le mobile était lancé verticalement de bas en haut avec la vitesse initiale traîna et sollicité par la pesanteur ; c'est le mouvement que nous avons étudié au numéro 76; il suffit de remplacer dans les formules «, par ■ojftn x. Le mouvement cherché sent le mouvement qui résulte de la composition de ce mouvement vertical uniformément varie avec le mouvement horizontal uniforme. On aura donc

(il)

L'élimination de t} donne l'équation do la trajectoire

92 LIVRE II. DYrfUIiQOE.

82. La vitesse en un point quelconque M de !a trajectoire esl la résultante des vitesses des deux mouvements recîilignee. La vitesse horizontale MD est constante et égale à ï'ocosa, la vitesse verticale- ME est égale à » 0 bîd a— f/t ,"là diagonale MAdtirectangleeonstruit sur ces deux vitesses repré- * seute engrandeuret en direction la, vitesse du, mouvement curviligne. Si l'on appelle i) cette vitesse et 0 l'angle qu'elle fait avec l'horizontale, on a, en tenant compte de la Formule (8),

(13) I1 cose=MD= ! ' 0 cos a ,

(14) usin 6 = ME = v 0 siu a — <jt = (/ u 0 a sin 3 a — îgy . On en déduit

(15) w , = MD + MË=V —

Au sommet lî de la parabole, ia vitesse est horizontale et égale à f' 0 cosa, la vitesse verticale étant nulle. Le

mobile arrive en ce point au temps / = 1 0 s ^ n a ; on

obtient les coordonnées de ce point en remplaçant ( par sa valeur dans les-équations (10) et (11),

(10) .-, = OK-''°' sin y aCOSa ,

(17) y = BK=^^ a .

L'élévation du sommet B est égale à la hauteur OH qu'atteint un mobile lancé verticalement, suivant OY, avec la vitesse initiale v„ sin a. Il est évident, en effet, que, lorsque

MOUVEMENT DES PEOJECTHES.

le mobile atteint sa plus grande hauteur dans son mouvement vertical relatif, il passe au sommet de la parabole: l'axe BK 3| dc la parabole divise la courbe eu deux parties symétriques.

La formule (15} montre que la vitesse v du mobile va en diminuant à mesure que le mobile s'élève ; elle acquiert sa valeur minimum au sommet B ; puis elle repasse par les mêmes valeurs dans la branche descendante BC. Considérons deux points symétriques M et M' de la parabole; nous avons construit la vitesse au point M , en la regardant comme la résultante d'une vitesse horizontale MD et d'une vitesse verticale ME. Appliquons la même construction au point M'; la vitesse horizontale M'D' est constante, lavitesseverticaleM'E'achangé desens: car, lorsque le mobile, dans son mouvement verticalrelalil', passe au point Q, c'est-à-dire revient à la même hauteur, en montant et en descendant, la vitesse est la même, mais de direction contraire. Les deux rectangles sont égaux ; les diagonales MA et M'A' sont égales et l'ont des angles égaux avec l'horizontale, mais l'une en dessus, l'autre en dessous.

83. Cherchons le point C où le projectile frappe le sol; la distance OC est ce qu'on appelle Vmnplàude du jet; nous la désignerons par /. Les distances OK et KC étant égales à cause de la symétrie, on a

(18) f = aoK= ,»g.'Bin«co8 fleE=3 y a in ag

9 9 On ohtient directement cette longueur en faisant y = Q dans l'équation (12) de la parabole. Le mobile arrive en C avec une vitesse égale à la. vitesse initiale »„, et faisant avec l'horizontale l'angle a.

94 LIVRE D. DTNAH1QCE ■

L'amplitude du jet est proportionnelle au carré de la vitesse initiale v 0 ; elle dépend aussi de l'angle a, c'està-dire de la direction de la vitesse initiale, Supposons qu'on lance le projectile daus diverses directions avec une même vitesse initiale; la formule (18) montre que la valeur de / sera maximum quand on aura an = 90°, ou a=45". Ainsi, pour lancer le boulet le plus loin possible, il faut tirer sous l'angle de 45 degrés. L'amplitude maximum est égale à — ; elle ni égale au double de la bauteur S °

à laquelle s'élèverait le boulet si on ie lançait verticalement avec la même vitesse initiale o„. La formule (18) montre aussi que l'amplitude du jet est la mémo pour des valeurs supplémentaires de act, c'est-à-dire pour des valeurs de a. également distantes de 45 degrés,

84. Proposons maintenant de déterminer dans quelle direction il faut lancer un boulet avec une vitesse initiale donnée v 0 , pour atteindre uu poiut donué M (ftg. 57),

dont nous désignerons les coordonnées par x t et y,. Les coordonnées du point M devant vérifier l'équation (12) de la trajectoire, on a l'équation

MOUVEMENT DES PROJECTILES. 95

qui déterminera l'inconnue a. Si ion remplace cos 2 a par

" l + "' tan " 'j* â' 011 ar " ve * ''équation du second degré

(19) ta„g'«-aLt, n g* + a&-,-l=0,

dans laquelle tango est l'inconnue.

Pour que le problème soit possible, il faut que cette équation ait ses racines réelles, ce qui exige que la condition

soit remplie ; on e

Considérons la courbe qui a pour équation

cette courbe est une parabole LGL', dont le somme! G

est sur l'axe OY à une distance OG égale à le foyer en

0 et le paramètre OL égal à — . La condition (20) signifie

que la point M doit être situé au-dessous de cette parabole. Quand cette condition est remplie, on a deux trajectoires pusaul par le point M.

Lorsque le point M est situé sur la parabole limite LGL', par exemple eu S, les deux racines de l'équation (19) étant égales, on n'a qu'une valeur de a donnée par la formule

tanga^- 5 -,

et, par conséquent, une seule trajectoire passant par le peint S.