OC OA
OK OG m ' et par suite OC=m x 0K=m/=R.
104 U1U H. BYBAHIQDE.
Ainsi, la résultante de deux forces agissant sur un mhne point matériel dans des directiatts différentes, est représentée en grandeur et en direction par la diagonale duparal/élogiwnme construit .sur ces deux forces.
91. Nous avons déterminé la résultante R des deux forces F el F', en la considérant comme In force qui produit, à elle seule, le même mouvement que les deus forces proposées agissant simultanément ; ceci est bien d'accord avec la notion que nous avons donnée de la résultante par l'équilibre (n° 88). Appliquons, en effet, au point matériel fie une force R' (fig. 00) égale et contraire à la force R ; il est évident que cette force R' produira un mouvement égal et contraire à celui que produit la force R, ou les deui forces F et F'; ainsi, le point M, sollicité par les trois ' forces F, F', R', restera en repos et, par conséquent, les trois forces se font équilibre.
92. Nous avons dit (n° 58) que les forces sont représentées par des grandeurs géométriques, c'est-à-dire par des longueurs portées dans des directions déterminées. Dans le triangle OAC {fig. 59), les côtés OA et AG représentent les deux forces F et F'; le côté OC, qui est la somme géométrique des deux précédents, représente la résultante R. Ainsi, on peut dire que la résultante de deuï forces est la m/mm? gr.ométnqw de ces deux forces.
Cette règle s'étend à un nombre quelconque de forces appliquées à un même point matériel. Supposons le point matériel sollicité par quatre forcesF, F', F, F"; à la suite
COMPOSITION DES FORGES APPLIQUÉE» A UK MËilE POIKT. 105
de fa grandeur géométrique OA qui représente la première force F [fiij. 61), portons la grandeur géométrique AB qui représentera seconde force F'; la «s- <"■ somme géométrique OB représentera la résultante de ces deux premières forces. A la suite, portons la grandeur géométrique BC qui représenlc la troisième .force F"; la somme géométrique 0 • 1 OU représentera la résultante des deux forces OB et F', c'est-à-dire la résultante des trois premières forces F, F', F". A la suite, portons encore lniirundeur géométrique CD qui représente la quatrième force F"; la somme géométrique OD représentera larésullanle des deux forces OC et F", c'est-à-dire des quatre forces proposées F, F', F", F". Ainsi, en considérant les forces comme des grandeurs géométriques, on peut dire que larémiiitmtr Iï'/c plusieurs forces, appliquées à un mèneptii/il iiuiléri.fl, es/ égale à ia somme ■j'ioitii'-ti-itpw de ces forces.
Lorsque la ligne brisée, formée avec les forces portées les unes à ia suite des autres, chacune dans sa direction, est fermée, c'est-à-dire lorsque les deux extrémités se rejoignent, la résultante est nulle et, par suite, les forces proposées se font équilibre.
93. Nous pouvons appliquer à la composition des forces les principes que nous avons établis, dans le livre I, n oî 25, 26 et 27, pour la composition des vitesses et pour la composition des accélérations, principes qui s'appliquent, en générai, à l'addition des grondeurs géométriques.
La résultante It des deux forces Fet F' étant représentée par la diagonale du parallélogramme construit sur ces deux forces, on a, dans le triangle OAB (fig. 62),
c, — Rî = pî + + 2Ff " cos ( F > F 1 .
l^__^J en désignant par (F, Y 1 ) l'angle AOC 0 A des deux forces.
Lorsqu'on compose trois forces F, F', F', la résultante Fiï> R est la diagonale OC du parallélipi-
pède construit sur les trois forces OA, c AB, BC ifig. 65). Si les forces sont perpendiculaires entre elles deux à deux, le parai lé lipipèdo est rectangle, et l'on a
Considérons maintenant le cas général \fiij. 64). Il est Fis s* évident que la projection de la résul-
tante. OD sur une droite quelconque est i\(jale à lu soumit nlqèhriqiu: des ,, projections f/f.s forces proposées. On peut, à l'aide de ce théorème, déterminer la grandeur et la direction de la résultante.
M •*!).. n ir' iMiv -r-i L'oiiihif' ; Vj.i.h/.Oi jiiro-iH par F la première force et par a, b, c les angles qu'elle fait avec les axes. Désignons de même par F' la seconde force et par a', b', c' les angles qu'elle fait avec les axes, etc. Appelons R la résultante, et A, B, C les angles qu'elle fait avec les axes. En projetant ortliogonalemeul sur chacun des axes, oc a
/ RcosA = Fcosa + F'cosa'+ ...
(1) | Rco3B = Fco9-* + F'eosA' + ...
' RcosC = Fcosc4-F'eose' + ...
A UN KËHE POINT. 107
Eû joignant à ces trois équations la relation
(2) cos * A + cos 5 B + cos ' G = i ,
on n ainsi quatre équations pour déterminer les quatre * inconnues R, A, B, G.
Si l'on élève au carré les deux membres des trois premières équations et qu'on les ajoute membre à membre, ou a, en tenant compte de l'équation (2),
(5) R s = (F cos a + F' cos a'+. . .f +
(FcoHi + F'cosô'+...)* + (Fcosc + F'cosc'+...V 1 .
Dés que l'on connaît la grandeur de la résultante, les équations (1) donnent los angles A, B, C et, par conséquent, déterminent sa direction.
I! est clair que la grandeur de la résultante ne dépend que des grandeurs des forces proposées et des angles qu'elles forment deux à deux; le second membre de l'équation (5) doit donc être indépendant de la position des axes choisis pour effectuer le calcul. C'est ce qu'il est facile de reconnaître ; si l'on effectue les carrés et que l'on groupe convenablement les termes, il vient
R i =F i (cosV i +cos'*-r-cos , c)+F''(cos , ( i'-|-cos , ô'-r-cos'c') + ... + 2FF' (cosacos rf+ cos b cos 6'+ cos c cos c') +. .- ,
ou, plus simplement,
(4) ft' = F i +F"-r-... +2FF'cos(F,F')+...
Le carré de ta résultante est è/jal à lu somme des carres des forces prOj,ù.<érs-, plus dan: fuis la somme des produits que Ion obtient en muttipliant ces forces deu.r. à dev-i et par le cosinw de. l'ani/le qu'clks forment mUre elles.
108 LIVRE DTNÀKIO.UE.
CoodiUo» d'tqailib» d*i torae, appllqu*» à un .ta pi'ml mlM».
94. Pour que des forces F, F', F\ appliquées à un même point matériel, se fassent équilibre, il est nécessaire et il suffit que leur résultante soit nulle.
Si la résultant est nulle, le polygone des forces étant fermé, il est clair que la somme des projections des forces sur un axe quelconque est nulle ; eu projetant sur trois axes rectangulaires, on a les trois équations
/ Fcosa+F'cos<i'-f- ...=0, (5) ! Fcos6 + F'cos6'+...=0,
( Fcusr' + F'eosc'-f-... = 0.
Réciproquement, quand ces trois équations sont vérifiées, il y a équilibre. Eu effet, supposons que les forces proposées admettent une résultante R; cette résultante serait déterminée par les équations (i); mais, par hypothèse, les seconds membres sont nuls, on aurait donc
R cos A=0, R cos R=0, R cos C=0;
les trois cosinus ne pouvant être nuls à la fois, puisque fa somme de leurs carrés est égale à l'unité, il est nécessaire que la résultante R soit nulle ; donc il y a équilibre. Ainsi les trois équations (5) sont nécessaires et suffisantes pour l'équilibre.
95. Après avoir donné les conditions générales d'équilibre, examinons quelques cas particuliers. Lorsque deux forces F et F' seulement agissent sur le point matériel, pour que ces forces se lassent équilibre, il est nécessaire et
