LIVRE H. DYNAMIQUE
projection du mobile sur chacun des axes est égale à la projection de l'accélération du mobile lui-même dans l'espace. On a donc les trois équations
! > C0Cg':- FO ° 8g ,, Fcosi , F cos c
Si l'on combine les trois premiers rapports d'une façon convenable, on obtient le rapport égal
prendra le signe + . On a ainsi
cos g' cos 6' cose'
cosn cosê cosc "
11 en résulte
On voit par là que l' accélération y au temps ( a même direction que la force F, et que sa valeur numérique est égale à la valeur numérique de la force divisée par la masse du mobile. Eu un mot, la grandeur géométrique MG, qui représente l'accélération, est égale à la grandeur géométrique MF qui représente la force, divisée par le nombre abstrait m, que l'on appelle masse du mobile.
101. Corollaire I. Ce théorème est très-important; il établît une relation très-simple entre la force et le mouvement qu'elle produit. C'est à l'aide de ce théorème que l'on parvient à résoudre les deux questions principales qui se présentent en dynamique: l°un mouvement étant observé, trouver la force qui le produit ; 2° étant donnés la force qui agit sur le mobile et l'étal initia! du mobile, c'est-à-dire sa position initiale cl sa vitesse initiale, trouver le mouvement.
Si l'on rapporte le mobile à trois axes rectangulaires fises, et si l'on appelle x, y, s les coordonnées du mobile, nous savons que les projections de la vitesse sur les axes sont exprimées par les dérivées premières D^, D,y, D,s, et les projections de l'accélération par les dérivées secondes D, 3 x, J), 2 y, D, a 3. L'accélération y étant égale en grandeur F
et eu direction au quotient — on a les trois équations
in
L1THB ][. DYNAMIQUE.
Quand on connaît le mouvement, x, y, 2 étant des fonctions connues de /, ainsi que leurs dérivées, ces trois équations donnent les trois projections de la force inconnue qui produit le mouvement, u! pur conséquent déter-
Quand on donne la force et qu'on cherche le mouvement, il faut à ces équations joindre celles qui se rapportentà l'état initial du mobile. Soient ,r„, y„, z, les coordonnées du mobileau temps t~o, v a sa vitesse initiale, a\, b' B ,c' a les augles qu'elfe fait avec ies axes, on doit avoir, pour t =0,
! x=x B , I D^stiocosa'o,
(2) j 3/=y«. (3) j D^^eosô',,,
La question revient à trouver trois fonctions x, y, z de /, satisfaisant aux équations (1), et vérifiant les conditions (2) et (3).
On peut aussi procéder d'une autre manière : l'accélération, et par conséquent la force, sont situées dans le plan osculateur; nous avons démontré (n° 47) que les projections de i'accéléralion sur la tangente et sur la normale prin-
eipale ont pour expressions D,» et —, r étant le rayon de
courbure. On a donc, en désignant par =t l'angle quêtait la force avec la tangente, les deux équations ! F
\ V>,V= — COSa,
I tJ^.
