r.rvnE n. dynamique

113. Septième obesttoh. Trouver fc mouvement d'un point matériel placé au point A sans vitesse initiale et sollicité FiE w par une iorce dirigée vers un

0 H k point fixe 0 et proportionnel le ' " ' à la distance {fig. 76}.

Soit M une position quelconque du mobile; désignons par x la distance OM, affectée du signe ■+- ou du signe — , suivant qu'elle est comptée dans le sens OA ou en sens contraire. La vitesse v et l'accélération y seront de même positives ou négatives, suivant qu'elles seront dirigées dans le sens OA ou en sens contraire. Si m est la masse du mobile, la force qui le sollicite vers le point 0 peut être exprimée par —mfix, fi désignant une-certainc constante; l'accélération est égale à —fix; on a donc

(1) D,\r = — ftx.

A cette équation il faut joindre les conditions initiales; en appelant a la distance initiale OA, on doit avoir pour / = o

(2) x=a, v=Dp~o.

La question revient donc à trouver une fonction x de ( satisfaisant à l'équation (1) et vérifiant les conditions (2). D'après l'équation (I ), la fonction x doit se reproduire en sigoe contraire cl au facteur constant fi près par deux dérivations; nous savons que le sinus et le cosinus jouissent de cette propriété. Posons

(3) 2=A cos t]/~^-V- B sia l/p ; on en déduit

(4) =i —k\T ! sin nTp +B|/> cos fy>, Ji t 'x=— Afi cos (Kft — Bfi sin t\Tp = — y-T,.

r*R une roacE variable. 135

Ainsi la fonction (3) satisfait à l'équation (1), quelles que soient les deux constantes A et B. On déterminera les valeurs do ces deux constantes par les conditions initiales (2). Si dans les expressions (5) ot (4) on fait t= n, on doit avoir

Ainsi la fonction

(5) 3r = «cos(|/~ d'où

(6) u= — «/psin ty~(L,

satisfait à ioutos les conditions du problème et, par conséquent, représente le mouvement cherché.

On voit que le mouvement est périodique; le mobile oscilla do part et d'autre du point 0; la période est égale

à pï- ; elle se compose de deux oscillations AA', A'A égales

entre elles. Celle période est indépendante dû V amplitude a, elle ne dépend que de la constante on dit que les oscillations sont isochrones.

. 114. Huitième question . Mouvement d'un pendule simple écarté Irès-peu delà verticale CO et abandonné à lui-même sans vitesse initiale.

Appelons / la longueur CA du pendule ifig. 77); a l'écart initial OA; x l'arc variable OM , et 6 l'angle variable OCM , lequel a pour mesure j.

Nous regardons la vitesse v du point M t comme positive ou négative, suivant qu'elle est dirigée dans le sens OA ou j-' a