MU OWE FORCE VAI11ABLE
Il est évident que le point M', qui a pour coordonnées . ^ ■ ,./-
appartient à l'ellipse; d'ailleurs le rayon 0M' est parallèle à la tangente en M, e'est-à-dire à la vitesse; on a donc v~ OH' X Vf- Ainsi ia vitesse au point M est proportionnelle au rayon OH' conjugué de OM.
116. DniÈ|(p question. Mouvement dans un milieu résistant. Lorsqu'un point matériel se meut dans un milieu résistant, par exemple, dans l'air atmosphérique, il éprouve de la part du milieu une résistance dirigée en sens contraire de la vitesse du mobile, et dont lagrandeur dépend de cette vitesse. Nous supposerons que cette résistance est une puissance de la vitesse, et nous la représenterons par mav", n étant'un exposant positif, m la masse du mobile et a un coefficient qui dépend de la nature et de la densité du milieu. Nous supposerons, en outre, que le corps, lancé avec une vitesse initiale u 0 , à partir du point 0, n'est sollicité par aucune autre force que la résistance du milieu, La force qui sollicite le mobile étant dirigée en sens contraire de la vitesse, il est clair que le mouvement sera rectiligne et retardé ; l'accélération étant négative et égale à — ut)", on a l'équation ,
(1) D,i>=— av\
Cette équation peut être mise sous la forme
IW LIVRE U. WHMg* ^ M ,„ W
en prônant les fonctions primitives Uesdeuï .membres, on endéduit ,. ...... ,, .,..,;-,,(,',..,;>,
On déterminera la constante C par la condition que, pour t—o, on ait v =v B , ce qui donne
On obtient ainsi l'équation
(2) »•-«, [l- a )at, •
qui détermine la vitesse à chaque instant.
Cherchons maintenant l'espace parcouru. De l'équation (2), on déduit
■Qfc= t>= [«.'-*— (1 - n)^]^',
et, en prenant les fonctions primitives,
* i^sjï —
On déterminera la constante C par la condition que, pour t=o, on ait x = o; ou arrive ainsi à l'équation
»,"-K--(,-„) at p ™ 1 (1=^ ,, v| ..
En examinant l'équation (2), on voit qu'il y a plusieurs cas à distinguer, suivant que l'exposant n est inférieur, égal ou supérieur à l'unité. -
MOUVEMENT MODtllT PAR OHE FORCE V1HLIBLE. 141
a I.toîisque l'ëiiposftTitîi est inférieur îi l'unité, la vitesse, qui va en diminuant, s'annule pour
alors le corps s'arrête et reste en repos indéfiniment, après avoir parcouru l'espace
II. L'équation (2) ne s'applique pas au cas où l'exposant n estégal à l'unité. Dans ce cas, l'équation (i) devient
oo en déduit, en prenant la fonction primitive,
hv=—al + C, et par suite L^-= — ai,
ou
En prenant une seconde fois la fonction primitive, on déduit de cette équation
et par suite
L'équation (4) montre que la vitesse ne devient jamais
nulle ; elle tend vers zéro quand lu tempe augmente indéfiniment ; ainsi le corps marche toujours, mais l'espace parcouru n'augmente pas indéfiniment; il tend vers une
limite égale à — . Le mobile tend vers un point déterminé, sans jamais l'atteindre.
III. Lorsque l'exposant n est plus grand que 1 , l'équation (2) se met sous la forme
jji^ = ~^ ■+■ (« — 1 ) at.
La vitesse ne s'annule pas; elle fend vers zéro, quand ( augmente indéfiniment. En examinant l'équation (3), on voit que ce cas se subdivise en plusieurs autres, suivant (pic l'exposant n est inférieur, égal ou supérieur à 2.
1° Quand n est plus petit que 2, l'équation (3) s'écrit
Le temps 1. augmentant indéfiniment, l'espace parcouru augmente el tend vers une limite égale à
2° L'équation (3) ue s'applique pas au cas où n = 2; dans ce cas, l'équation (2) donne
et, en prenant les fonctions primitives,
MOUVEHENT PRODUIT PAR ONE FORCE TiRIABLE. 145
Quand t augmente in dé fi ni m dit, x augmente aussi in- ■ défîriiment.
3" Enfin, lorsquo l'exposant» est plus grand que 2, t'équation (3) s'écrit
[n — a)« x augmente indéfiniment avec t.
En résumé, lorsque l'exposant n est inférieur à l'unité, le corps s'arrête après avoir parcouru un certain espace dans le milieu résistant; lorsque l'exposant est égal ou supérieur à l'unité, mais plus petit que 2, le mobile tend vers un point détermine; lorsque l'exposant est égal ou supérieur à 2, l'espace parcouru augmente indéfiniment.
On a reconnu par l'expérience que, pour les grandes vitesses, la résistance est à peu près proportionnelle au carré lie la vitesse, c'est-à-dire que n =2; mais que, pour les très-petites vitesses, la résistance est à peu prés proportionnelle à la vitesse.
117. Onzième question. — Chute des corps dans tair. Nous supposerons la résistance proportionnelle au carré
de la vitesse, et nous la représenterons par^^-, k étant une constaute donnée par l'expérience ; c'est la vitesse q ue devrait avoir le mobile pour que la résistance de l'air fût égale au poids du corps. Si on lançait le corps verticalement, et de haut en bas, avec une vitesse initiale égale à k, les deux forces qui sollicitent le corps, savoir le poids . du corps et la résistance de l'air, étant égales et opposées,
