W PAR BUE FORCE VARIABLE

et pu- suite; ;

(2) "=kX l -

On voit que, lorsque ( augmente indéfiniment, v augmente et tend vers une limite égale à k.

L'équation précédente peut s'écrire :

H8. Douzième question. — Mouvement des projectiles dans fair. Nous avons étudié le mouvement des projectiles (liv. II, chap. h), en négligeant la résistance de l'air. Pour donner une idée des modifications qui en résultent, il F ' s ' "' nous suffira de traiter le cas très-simple où la résistance est proportionnelle à la vitesse.

Prenons pour an es des coordonnées, comme au numéro 80, l'horizontale OX menée par ia position initiale du mobile, et la verticale 07 dirigée de bas en haut [fig. 79). Si l'on appelle 6 l'angle que fait la vitesse avec l'horizon, la résistance, qui est dirigée en sens

140 LIW H. DYKAHTQIIE.

contraire de la vitesse, a pour projections - — Mîirosin 0, c'est-à-dire — wiaD^c, — »(aD,j les ileux équations

Si l'on pose U r r=*', Q,y=y\ les deux équalions précédentes deviennent

Lu première île ces équalions montre que la fonction x' se reproduit elle-même, à un l'auteur constant pris, par la dérivation. On a donc

x'—k£~** ou D^c=Ae~"'.

En prenant la fonction primitive, on en déduit

On détermine les deux constantes K et B par in condition que, pour/ = o, on ait x=o et T>&=v„ cos a, ce qui donne

(4) D^=(' 0 C09aX^" ,, '-

Lo seconde des équations (2 ) peut s'écrire

si l'on posey'+^=3, elle devient

MOUVr.MKKT f ROTI HIT Mil UNE FORCE VARIABLE. 141

et prend la même l'orme que la première. On a donc

et par suite

D ( j,= y '=| + A'*-< ; on en déduit

On déterminera lui deux constantes A' et B' par la condition ijuc, pour t—o, on ait y=so, et D,y = d„sin a, ce qui donuc a + d. sin a, et par suite

En vertu do l'équation (3), l'abscisse x tend vers une valeur égale à "° co a , quand I. augmente indéiinimcnl ; on

en conclut que la courbe décrite par le mobile est asymptote à une droite verticale AB menée à une distance

de l'origine égale à "° C0 l5. La composante horizontale de

la vitesse, donnée par lY'rpcaliisn (4), tend vers zéro, tandis que la composant verticak', donnée par l'équation (G),

tend vers une limite égale à— ^ . Celte limite est la vitesse pour laquelle la résistance de l'air serait égale au poids du corps. Ainsi, le mouvement tend à devenir reclitigno et uniforme. Dans la figure, la ligne ponctuée rep résente la parabole que décrirait le projectile dans le vide; la ligue pleine, la trajectoire qu'il décrit dans L'air.