LIVRE 11. DÏKÀMIQUE
direction faitavecledt'placementtAB un angle h. Rjen ne sera changé dans le phénomène, si nous assujettissons ie mohile à se mouvoir sur une droite rigide AB, parfaite-
ment polie. Décomposons la force F en deux forces, l'une AG égale eu valeur absolue à Fcosa, dirigée suivant ia droile AB ; l'autre AH égale à Fsin a, perpendiculaire à cette droite. Celle seconde composante, ne faisant qu'ap-, puyer le mobile contre la droite rigide AB, est détruite par la résistance de cette droile. Elle ne produit aucun travail; ou peut donc la négliger et remplacer la force proposée F par la force AG. On esi ainsi ramené au cas précédent ; le travail de la force AG est égal au produit de cette force par le déplacement AU du point d'application, affecté du signe ■+- ou du signe —, suivant que la force AG agit dans le sens du déplacement ou en sens inverse. Lorsque l'angle a est aigu {fig. 82), la composante AG est dirigée dans le sens du déplacement, et la force F est dite motrice comme la force AG. Lorsque l'angle a est obtus (fit/. 83), la composante AG est dirigée en sens contraire el Fig. 13. la force F est dite résistante.
travail, Fcos« X AB. Ainsi, on dira que le travail de la force F, pour le déplacement AB du point d'application, esl égai au produit du déplacement par la projection de la force sur la direction du déplacement. .■>.*'
On peut écrire aussi le travail sous la forme F X ABcos«, ce qui revient à considérer le travail comme étant égai au
Le produit Fcos a donne celle composante avec le signe convenable, et l'on a, dans tous les cas, pour expression du
produit de la force F par la projection du déplacement sur la direction 1 de la force.
Afin d'éclairer ceci par un exemple, supposons que l'on veuille élever un corps entre deux montants verticaux parfaitement polis, en le tirant avec une force F qui fait avec la verticale un angle a {fig. 84). Décomposons cette force en deux forces, l'une verticale F cos a, l'autre horizontale F sina; la force horizontale est Fj M détruite parla résistance do montant contre lequel elle appuie le corps ; pour que la force verticale puisse faire monter le corps uniformément, il faut qu'elle soit égale au poids P du corps; ainsi tout se passe comme si le corps était sollicité directement de has en haut par la force verticale F cos a ; le travail moteur est Fcosa X AA', et est égal an travail résistant P X AA'.
121. Nous avons dit que le travail est positif ou négatif, c'est-à-dire moteur ou résistant, suivant que l'angle a est aigu ou obtus. Quand la force est perpendiculaire au déplacement, l'angle « est droit, et le travail, tel que nous l'avons défini, devient nul.
Dans le transport horizontal des fardeaux, le poids étant vertical et le déplacement horizontal, il résulte de la définition précédente que le travail dû au poids du corps est nul. Ceci semble en contradiction avec l'expérience, mais il est facile d'expliquer celte contradiction apparente. Supposons que i'on fasse glisser un corps sur un plan ho- .nzontal en le tirant avec une force horizontale F; la force motrice F doit être égale, non pas au poids du corps, mais au frottement que ce corps exerce cootre le plan. Ce frot-
lemenl est In résistance à vaincre ; c'est elle nécessite un travail moteur. Pour évaluer lo travail, on multipliera la force horizontale F par le dé placement. Ce travail dépend de l'état du plan : quand le plan est bien poli, lo frottement étant trea-taihic , lo travail nécessaire < pour transporter horizontalement le corps à une distance donnée devient très-petit.
122. Supposons que le point d'application M se meuve sur la droite X'X, et que la forée variable F agisse suivant cette même droite (fuj. 85 }. Nous voulons évaluer le traj.ï„. ai, vail de celle forée pour le dépla-
i cernent AB du point d'application. Partageons la longueur AB en un grand nombre de parties, et désignons par h l'une des par-
ties MM'; soit F la valeur de la
* 11 force au point M; considérons le produit F X MM' qui se rapporte à l'élément SIM', et faisons la somme des produits qui se rapportent aux divers éléments de la ligue Ali, somme que nous désignons par l'expression
Si l'on augmente indéliniimnil le nombre des divisions, de manière que chacune des parties tende vers zéro, cette somme tendra vers une limite déterminée; c'est celte limite que nous appellerons travail de la force variable F pour le déplacement AB.
Il eat aisé de voir que la norurau tend etteeti veinent vers une limite déterminée. Au point M, élevons une perpendiculaire MN égale à la valeur F de la force au point M. Si l'on considère lo chemin parcouru AH comme une abscisse variable x, et la force F ou l'ordonnée MN comme unefonctionde a;, le lieu du point N est une certaine courbe CD. l'ar le point N, menons une parallèle NE à la droite AB, jusqu'à la rencontre de l'ordonnée voisine M'N' ; le produit F X h sera représenté par l'aire du rectangle MNEM', et la somme des produits par la somme des rectangles. Or, quand on augmente imiélininient le nombre des divisions de la droite AB, il est clair que la somme des rectangles tend vers une limite déterminée qui est l'aire comprise entre la droite AB, la courbe CD et les dons ordonnées extrêmes A G, BD.
On a vu, eu géométrie analytique, que l'aire comprise entre une courbe, l'axe des x, une ordonnée lixeACelune ordonnée mobile MN, est une l'onction primitive do l'ordonnée MN, considérée connue une fonction de l'abscisse AM. Il en résulte que le travail relatif au déplacement AM est mie l'onction primitive de la force, considérée comme une fonction du chemin parcouru.
Nous avons défini !e travail T de la force variable F pour le déplacement AB. On appelle effort moyen la force coustaulc qui produirait lo même travail puur le mémo déplacement. Cet effort moyeu a pour valeur le quotient
123. Pour montrer une application de ce qui précède, cherchons le travail nécessaire pour comprimer un ressort d'une quantité donnée. On sait que la lorce élastique d'un
i-mte n. dynamique.
ressort est sensiblement proportionnelle à la compression. Supposons qu'il s'agisse d'un ressort à boudin dont l'ex'l trémiié A soit fixe, et que l'on comprime par une force verticale appliquée à l'extrémité supérieure (fig. 88). ri s . u. Soit AB la longueur du ressort, quand aucune forte . b nes'exerce sur lui; pour abaissergraduellementl'ex- 1 trémîlc supérieure de Ben C, il faudra appliquer au ressort une force verticale croissante. Si l'on désigne 1 par a la compression exercée par une force de un kilogramme, et par x le déplacement BM, la force au i point M sera La fonction ayant pour dérivée - et s'annulanl pour x—o, représente le travail relatif au déplacement BM. Pour le déplacement BC, le travail
est^. Par exemple, si « est égal à 1 millimètre,' le travail nécessaire pour comprimer le ressort de 4 centimètres est de 0,8 kilogrammètre.
124. Proposons- no us encore d'évaluer le travail développé par la vapeur dans les machines à détente, La vapeur agit à pleine pression pendant que le piston parcourt Fi S . si. une partie AC du corps de pompe [fig. 87).
» A ce moment, la communication entre la
chaudière elle cylindre est interrompue, et « -tt— - m | ; | VI1 ji^i:r agit par sa détente pendant que
c c le piston parcourt la seconde partie GB de
sa course. Appelons a la course entière du piston, b la première partie AC, x le dé- » placement CM, S la surface du pistpn, P la
pression atmosphérique par mètre carré, « le nombre d'atmosphères par lequel on évalue la tension de la vapeur dans 'la chaudière. La pression que la vapeur exerce contre le piston pendant la première partie de sa course est une force constante nPS ; le travail correspondant est nPS/>. Ensuite la force diminue ; quand le piston est en MM, la vapeur, qui occupait le volume AC, occupe alors le volume A.M, et, d'après la loi de Mariotte, la force devient
nPS X ^^ x - Cette fonction de x admet comme fonction
primitive
«PS/<L(i + j:) + C; il faut déterminer la constante C, de manière que la fonction soit nulle pour x = o, ce qui donne
C=— nVSÙU, et, par suite, le travail pour le déplacement CM a pour expression
Le travail relatif» la détente CB est nPSbl-
el le travail total pour chaque coup de piston
»PSS(1 + L|).
Nous avons négligé la tension de la vapeur dans le condenseur.
125. Proposons-nous maintenant de chercher le travail d'une force' quelconque, quand le point d'application dé-
