LIVRE II. DTMA1TIQUK

ml une trajectoire curviligne AB (/;'</; 88). Inscrivons dans la courbe une ligne polygonale d'un ires-grand nombre Je côtés trèspetits : soit MM' l'un des côtés.

Appelons F la valeur île la force JL proposée au point M , « l'angle qu'elle fait avec la tangente MT, *, l'angle qu'elle fait avec la direction du côté MSI'. Considérons le produit

FXMM'Xcosct,;

ce produit est le travail do la force F supposée constante , pour le déplacement reotiligne MM' ; formons un produit aualoguc pour chacun des éléments de la ligne polygonale, et faisons la somme de ces produits , somme que nous désignerons par

2(FxMM'Xcosa,).

Si l'on augmente indéfiniment le nombre des côtés de la ligue brisée inscrite dans la courbe AU, de manière que chacun d eux tende vers zéro, In somme précédente tendra vers une limita déterminée; c'est celte limite qu'on appelle travail de la fureu F pour le déplacement AB.

Pour abréger le discours, on appelle tratuil élémentaire le produit F X MM' cos«,, de sorte que le travail de la force F, pour le déplacement AB, est la limite de la somme des travaux élémentaires.

12G. Il est aisé de voir que la somme considérée précédemment tend bien vers une limite déterminée. Sur une droite, à partir d'un puinl Uio A , portons, les uns à la

travail ht puissance vive. 169

suite des antrus, les divers éléments do la ligne brisée ; 'l'élément MM' prendra h position M, M',, et la ligne brisée, développée, deviendra AB, [fiy. 89 ). Au point M, élevons une perpendiculaire n( a6

MiN, égale àFcosa,; le produit FxMM'Xcosa, sera représenté par l'aire du rec- ■l:i]igloNiM,M',E„el la. somme des produits par une somme de rectangles. Quand on augmente indéfiniment le nom-

bre des'<itvisions, la longueur ADj augmente un peu, et tend vers uns limite AB, qui est la longueur de la courbe AB ; de même, si le point H est un point déterminé de la courbe, la longueur AM, tend vers une limite AM, qui est la longueur de l'arc de courbe AM; en mémo temps, la direction du côté MM' ayant pour limite la tangente en M, l'angle a, a pour Limite a, et la quanti lé F cosa; devient Fcosjt; l'ordonnée M,N, tend donc vers l'ordonViée MN égale a Feosa; le lieu du point N est la courbe CD, qui a pour abscisse AM, l'arc de trajectoire AM rectifié, et pour ordonnée Fcosa, c'est-à-dire la projection de la force sur la tangente MT; La somme des rectangles a évidemment pour limite l'aire comprit' entre la courlïo CD, la droite AB et les ordonnées extrêmes AC et BD.

L'aire comprise cuire l'ordonnée fixe AC el l'ordonnée mobile MN étant une louctiini primitive île l'ordonnée MN considérée connue une l'onction de l'abscisse AM, on peut dire que le travail de la force F, relatif au déplacement curviligne AM, est une fonction primitive de la composante tangenliclle Feosa de la force, considérée comme Une fonction de l'arc parcouru AM.