LIVRE II. DYNAMIQUE

TnÉOHËHE. rl ''

150. La variai mu <lr in pahxani-e cire d'un mobile, penliant un certain hmijis, rst é'/n/e à la somme des travaux des forces nui agissent sur le mobile pendant le même temps.

L;i somme des travaux des forces est égale au travail de leur résultante R {n° 128). Nous avons vu (n° 126) que, si l'on considère le travail T de la force R comme une l'onction de l'arc s décrit par le mobile sur la trajectoire pendant le temps /, cette fonction admet pour dérivée la projection de la force sur la tangente, c'est-à-dire Rcos A ; on a donc

D,T=RcosA.

La résultante R des forces qui agissent sur le mobile étant égale au produit de l'accélérât iun y par la masse m du mobile (n* 100), on a D,T=î«j- cos A; d'autre part, la projection ycosA de l'accélération sur la taugente ayant pour expression D,u (h° 47), il vient

D,T=mD,î>.

Cherchons la dérivée du travail par rapport au temps.

On a -■■-«'

ÛT__ÛT Aï àt 4»' il'

mile ce n'est pas la quantité me' qui se présente dans les théorèmes de mécanique, mais sa moitié î^- ; c'est pourquoi nous avons adopte t"eipression puisaonw im*, proposée |ar M. Bélanger, professeur à l'École polj technique, pour désigner la quantité

el par suite

.. AT .. AT .. As lim — = l, n , s xiim SÏ ,

ou D{T = vYlJ =muD,v. . ,

Si l'on remarque que

on a finalement D,T=D.^J.

Ainsi le travail et la puissance vive sont des fonctions du temps qui ont leurs dérivées émules. Mais ou sait que deux fondions qui admettent la même dérivée ne difierenique par une constante ; on a donc

Si l'on compte le travail à partir du temps et que l'on appelle i> 0 la vitesse du mobile à cet inslant, on devra avoir

d'où C = —

et par suite T=— — ^s..

Ainsi, la variation de la puissance vive, pdndant un certain temps, est égale à la somme des travaux des forces qui agissent sur le mobile pendant ce temps.