LIVRE I. CINÉMATIQUE
deux raouvemi'iils proposés sVlli.rtiLL'iit dans le même sens. Supposons inuinl>;ti;uit iju ils s'dleetueut eu sous contraire?; le mobile se meut sur la droite dans le sens X'X avec la vitesse «, tandis que la droite marche en sens contraire avec la vitesse r'. Il y a duux c;is à distinguer, suivant que la vitesse « est plus grande ou plus petite que »', Pendant le temps (, !e mobile parcourt sur la droite la longueur MM' égale à vt; pendant ce même temps, la droite rétro- Fi g . 11. grade de la quantité M 'M" égale
m y w à v'I. Dans le premier cas, le
1 1 premier déplacement étant plus
grand que le second {fig. 11), on a
MM"=MM'~M'M"=(ti-t)')f.
Le mouvement résultant est uniforme, dans le sens X'X, el l'on a
vie. il Dans le second cas {fig. 12),
y « sr le second déplacement étant
plus grand que le premier,
on a
MM"=M'M"-MM'=(u'-t>) .
Le mouvement résultai! t est dirigé dans le sens XX', el l'on a y = v'— V.
Ainsi, quand les deux mouvements sont de sens contraires, le mouvement résultant s'exécute dans le sens de celui qui a la vitesse la plus grande, et la vitesse de ce mouvement résultant est égale à la différence des vitesses des deux mouvements préposés.
On peut comprendre ces différents cas dans un mêtr.e
C0HP0B1H0M DES VHESSES.
énoncé. Si l'on regarde tomme positives les vitesses des mouvements qui s'exécutent dans uu certain sens, dans le sens X'X, par exemple; comme négatives celles des mouvements qui s'exécutent en sens contraire, on peut dire que la vitesse du mouvement résultant est égale à la somme algébrique des vitesses des mouvements proposés, et l'on a la formule générale
Il est un cas particulier qu'il est bon de remarquer, c'est celui où les deux mouvements proposés nout de sens contraires et ont des vitesses égales ; dans ce cas, les deux déplacements MM', M'M" étant égaux et de sens contraires, le point M" coïncide avec le poinl M; le déplacement résultant est nul, eL le mobile reste immobile au même point du système 8.
19. On a des exemples fréquents de semblables compositions de mouvemenls. Un bateau descend un fleuve ; désignons par v' la vitesse du courant, et par u ia vitesse que les rames impriment au bateau, c'est-à-dire la vitesse que posséderait le bateau s'il était dans une eau immobile, comme celle d'un lac. Le bateau descend donc le fleuve avec une vitesse propre v ; en même temps, il est emporté par le courant avec la vitesse u'; ces deux mouvements s'ajoutent, et le bateau parcourt dans le temps ( l'espace (v-|-ti')[. Le mouvement résultant, dont la vitesse est v + v', est celui que voit un observateur placé sur la rive.
Pour que le bateau puisse remonter le fleuve, il faut que sa vitesse propre t> soit plus grande que celle du courant v', et alors il s'avance avec la vitesse v — v'. Si la vi-
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tesse du bateau était moindre que celle du fleuve, il serait entraîne par le courant avec la vitesse v'—v. Enfin, si les deux vitesses étaient égales, lé*bateau resterait immobile au milieu du fleuve, sans avancer ni reculer.
«dnnt la m6n>o dralle.
20. Nous avons composé deux mouvements reclilignes s'effectuant suivant la même droite, quand ces mouvements sont uniformes. Supposons maintenant les mouvements variés. Soit M la position du mobile sur ladroite X'X Fig.ii. au temps (, MM' le déplace-
h m' m' ment qu'éprouve ce mobile
*' * sur la droite pendant l'inter-
valle de temps Ai, M 'M" le déplacement de ladroite pendant le même temps ; on a, si les deux mouvements s'effectuent dans le mémo sens,
MM" = MM' + M'M"; en divisant par Ai, on en déduit
MM" MM' M f M».
At Al Ai "
ce qui montre que la vitesse moyenne du mouvement résultant est la somme des vitesses moyennes des deux mouvements proposés. Si l'on fait décroître l'intervalle de temps Ai jusqu'à zéro, les vitesses moyennes ayant pour limites les vitesses au temps i, on en conclut que la vitesse du mouvement résultant est égale, à chaque instant, à la somme des vitesses des deux mouvements proposés au même instant.
COMPOSITION DES VITESSES
Quand les deux mouvements sont de sens contraires, on démontre de la même manière que la vitesse du mouvement résultant est la différence des vitesses des deux premiers mouvements. En attribuant des signes aux vitesses, comme nous l'avons expliqué, on peut dire que la vitesse du mouvement résultant est égaie, à chaque instant, à ia somme algébrique des vitesses des mouvements proposés.
Cette loi peut litm éiRiiduen In composition d'un nombre quelconque de mouvements reclilignes s' effectuant suivant la même droite, dans un sens ou dans l'autre. Si Ton regarde comme positives les vitesses dirigées dans un sens, comme négatives celles qui sont dirigées en sens contraire, on dira que la vitesse du mouvement résultant est égale, à chaque instant, à la somme algébrique des vitesses des mouvements proposés.
21. Après avoir composé ies mouvements rectilignes s'effectuant suivant la même droite, occupons-nous de la composition de mouvements quelconques, et d'abord considérons deux mouvements rectilignes et uniformes dans des directions différentes. Voici comment on peut se représenter ces deux mouvements simultanés ; Imaginons qu'un mobile se meuve uniformément sur la droite OX [ftg. 14) avec la vitesse u, taudis que la droite OX se déplace parallèlement à elle-même , de manière que sou point 0 se meuve uniformément sur la droite OY avec la vitesse t>'; le mouvement de la droite OX est un mouvement de translation rectihgne et uniforme. Soit OX la position de la droite mobile au temps (=0, c'est-à-dire à
