LIVRE I. CINÉMATIQUE

l'instant à partir duquel on compte le temps, et support u. rf01ls 1 U ce moment le mobile soit au point 0. Après I secondes, le mobile aura parcouru sur [a droite OX une longueur OP épie à vt-, pendant ce temps la droite OX se déplace parallèlement à elle-même; son point 0 décrit sur OY la longueur OQ égale à v'i et la droite occupe la position QX, ; le point P de cette droite, où se trouve alors le mobile, vient en M, après avoir éprouvé un déplacement PM égal ei parallèle à OQ. Ainsi, par la composition des deux mouvements, le mobile, au temps i, se trouve en M.

On délerminera de cette manière la position du mobile à un moment quelconque. Après (' secondes, le mobile a parcouru sur la droite OX la longueur OP' égale à vt' ; pendant ce temps le point 0 de cette droite décrit sur OY la longueur OQ' égale à v't', et la droite se transporte en Q'X' ( ; le point P' de cette droite, où se trouve alors le mobile, vient en M', après avoir éprouvé un déplacement P'M' égal et parallèle à OQ'. Aiusi, au temps le mobile est en M'.

Nous avons, d'une part,

OP=»l, OQ=PM=t>'(;

d'autre part,

OP'=«i', OQ'=P'M'=t>'C.

On en déduit les rapports égaux

OP PM i OP' - p'M'~r"

composition des vitesses.

Menons les droites OM et OM'; le triangle OP'M' est semblable au triangle OPM, comme ayant l'angle P' égal à l'angle P et compris entre deux côtés proportionnels; l'angleP'OM'esl donc égal à l'angle POM et la droite OM' coïncide avec OM. On en conclut que les positions successives M, M', du mobile appartiennent à une môme droite OM; ainsi, le mouvement résultant est rectiligne.

Les mêmes triangles semblables donnent

OM OP__ t OM' — ÔP'~f

Les longueurs OM, OM', parcourues par le mobile dans les temps ( et £', étant proportionnelles aux temps, on en conclut que le mouvement résultant est uniforme.

Cherchons enfin la vitesse V du mouvement résultant. Si l'on suppose que le temps ( soil égal à l'unité de temps, c'est-à-dire à une seconde, les longueurs OP et OQ représenteront les vitesses v et v' des deux mouvements proposés; la droite OM est la longueur parcourue par le mobile dans le mouvement résultant, c'est-à-dire la vitesse V de ce mouvement résultant. Ainsi, le mouvement résultant de deux mouvements rectilignes et uniformes est un mouvement rectiligne et uniforme, et la vitesse de ce mouvement résultant est représentée en grandeur et en direction par la diagonale OM du parallélogramme construit sur les vitesses OP et OQ des deux mouvements proposés.

22. Revenons à l'exemple du bateau : supposons que le bateau s'avance sur le fleuve d'un mouvement rectiligne et uniforme avec la vitesse OA. tandis que le courant l'entraîne avec la vitesse OB (fa. 15); le mouvement résultant s'accomplira pendant la diagonale OC et avec

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!a vitesse OC; le bateau, parti du point 0 de l'une des rives du lleuve, atteindra l'autre rive eu D. Les personnes qui sont placées dans le bateau croient que le bateau marche dans la direction OA ; mais un observateur placé sur la rive voit le bateau s'avancer dans la direction OC- L'axe du bateau, qui est dirigé suivant OA, se transporte parallèlement à lui-même.

On peut se demander quelle direction il faut donner au bateau pour traverser le fleuve dans une direction donnée , par exemple à angle droit suivant la droite OD (fig. 16). Supposons le problème résolu et soil OA la Fi B . is. direction du bateau; il faut que

la résultante OC de la vitesse OA du bateau et de la vitesse OB du couraut soit dirigée suivant OD.

Pour trouver la direction OA, du point B comme centre, avec un rayon égal à la vitesse du bateau , on décrira un arc de cercle qui coupera la droite OD en un point C; il faudra donnera l'axe du bateau la direction OA parallèle à BC. Quelquefois le problème admet deux solutions. Support?, sous qu'on veuille traverser le (1 fleuvo dans la directiou oblique / OD {fig. 17). Si l'arc de cercle, k c / décrit du point B comme centre, C-iïjO • avec un rayon égal à la vitesse v 08 du bateau, coupe la droite OD en deux points C et C, on pourra traverser le fleuve suivant la droite OD, en orientant le bateau, soit dans la direction OA, soit dans la direction OA'. Mais, dans

courosmoN :