Revenons aiix4)laoèt6S dont les drbites sont ellip
k tiques. Nous avons représenté par - Taire décrite par le
rayon vecteur dans Tunité de temps. Si Ton considèref Taire entière de Tellipse itab décrite dans le temps T, on a
k T:ab
d'où . .
D'après la troisième loi de Kepler, le rapport =^ est constant i il en résulte que la con§tante /x est la même pour toutes les planètes, c'est-à-dire que le soleil attirerait également Tunité de masse de toutes les planètes à la même distance.
Si Ton appelle m la masse d'une planè];ey F 1^ force qui la sollicite vers le centre du soleil, on a
Tout se passe donc comme si le soleil attirait les planètes proportionnellement à leurs masses et en raison inverse du carré des distances. Telle est la conclusion remarquable à laquelle est arrivé Newton en suivant une marche analogue à la précédente.
MOQv^iKsp ft^ fumms.
Aéelproque. '
275. Occupons-nous mainlenanl de la question inverse : étant donné l'état initial d'un astre sollicité par une force dirigée vers un point fixe 0, et variant en raison inverse du carré de h distance, trouver le mouvement de eet astre.
Cherchons 4*&bord la projection de raccélérs^tion sur une perpendiculaire au rayon vecteur. A partir du point dlnterseetioa I des deux tangentes voisines, portons sur ces tangeqtep les longueurs lA et IB qui représentent les vitesses «; et t;' en M et en W {fig. 196); appelons y et q' les perpendiculaires OQ, OQ' abaissées du point sur les te^ngentes ; prolongeons la droite 01, et menops la droite IH perpendiculaire à 01. Si l'on projette sur IH la droite AB et la ligne brisée AIB, on a
pr(y.deAB=«'sinBIL — wsin ^ . , AB I ^v'q' — va
AIL=^^-p2;
Quand U tend vers jséro, U droite 01 tend vers le rayen vecteur OM, et l'on a
proj.dey=^D,(t;y).
Si la force qui sollicite le mobile est dirigée suivant le rayon vecteur MO, sa projection ^ar une perpendiculaire au rayon vecteur est nulle, et Ion a
et par suite
l>iN)=^0,
344 UViW V.GQMPIifiMMfr.
k désignant une coostoote. Ko veirtuderéqualioB (S)4tt
numéro 271, on en déduit la loi des aires Ï)|A = -,
As»-^. Ainsi, qtictnd lu force est dirigée vers un point fixe ^
Paire décrite par le rayon, vecteur est proportionne/k au temps.
Soit M la position initiaie de Fastre, MA sa Vitesse inî^
tiale (/%. 197); nolis désignerotis
par Ta la dtstmce^ initiale FM, par
Vq la vitesse initiale MA, et par^^ .
la perpendiculaire FQ abai£(sée du -.
point ¥ sur la drohe MA, perpen^^
diculaire qui déterminé la direo^ -
tion de la vitesse initiale. La mr
leur de la constante k est donnée par la fomauLe k^^rf»^^,
276. La force pouvant être représentée par laforamie F=--^, l'accélération y est égale à ^, [i étant une constante donnée. Déterminons la section conique, qui aé^' mette pour lua de ses foyers F^ le œntpe du soleitrqAi passe par le poiint M, qui soit tangènite à la drcâtetHA^al
dont le paramètre/? satisfasse à là relation fjL=-, d'où
jD= — =~^-^ . Sur le rayon vecteur MF prenons une longueur MP égale au paramètre/), et par le point P ménonfe * une droite PN perpendiculaire au rayom vecteur: MF^ le point N où catte 4roitei reiu^ouitre laiatormale MN à h courbe, c'est-à-dire la perpendiculaire à la tangente MA, appartient auipremi^r ajfe d^ la.oQurbe; -car-onvsait qne,
daile une seetioa conique, la projection sur le rayon vec- . leur MF. de la portion de normale MN comprise entre la courbe et le premier axe est égale au paramètre p, La direction FN du premier axe est donc connue. Pi;olongeons la-perpendiculaire FQ, abaissée du foyer F sur la tangente MA, d'uîlë longueur QH égalé àFQ, et joignons MH; le point F' où cette droite MH rencontre l'axe FN est le second foyer. Quand les deux foyerâ sont d'un même cAté de k tangente MA, là courbe est une ellipse \fign 197), et la somaie des rayons vecteurs MF+,MF' donne la longueur aâsdû grand axe ; cette ellipse est donc complètement déterminéci Quand les dquï foyers sont situés de part et d'aûlfe de la tangente pj- ^yg
MA {fig. 198)i la courbe est une branche d'tinehyperbole, dont .
on Qonnatt Id longueur aa de l'axe irans verse. Enfin, quand la droite MH est parallèle à FN {fig. 199), le second foyer F; étant à Tinfini, la courbe est une parabole.
il est aisé de voir que l'astre décrira la section conique ainsi -dbteiicie ; car, fii Ton imagine uA mobile décrivant cette.courbe, avec la vitesse initiale MA, et d'après la loi des aires, la force qui produira le mouvement de ce second mobile sera» comme nous l'avons démontré, dirigée vers
le point 1^ ot ég^le à --^.; or, qpand deux n^obilesont le
mômèf'étât initial et sont solîicités par la même force, ils coînctden!KévideiiiQ£ient dans to^ttt leur mowemetit.
217* Vi>yons à quel cattictèrc on reconnaîtra, d"après
LIVEË V. GOUfLlIllEOIT.
les données initiales, l'espèce de la courbe. Appelons n la longueur delà normale MN ; dans les triangles semblables MNP, MFQ (fi9.\i91 et 198), on a
-=^: dou n=C-^.
Les triangles semblables MF'N, HF'F donnent aus$i MF'
et, si l'on remplace net p par les valeurs,
ia
Quand le rayon vecteur MF' est plus petit que aa, la courbe est une ellipse ; c'est au contraire une hyperbole, quand MF' est plus grand que a«. Ainsi, la courbe est une ellipse
ou une hyperbole, suivant que Ton a Vq<z\X ^ ou
Vo>\/^. Dans la parabole {/ig. 199), la figure MNFH
étant un parallélogramme, on a w = FH = a5'o, et par suite
Vo= \X -^. On voit par là que
Tespèce de la courbe ne dépend que de la distance initiale ro et de la grandeur Vq de la vitesse initiale ; mais qu'elle est indép^a-^ dante de q^^ c'est-à-dire de la direction de la vitesse initiale.
Fig. 199.
