CHAPITRE H

Cim ol| les azev mobilM ont nn moavemeiit de tranftlation.

278. Nous avons démontré dans le livre II, chapitre iv, que l'accélération est égale, en grandeur et en direction, à la résultante des forces qui sollicitent le mobile, divisée par la masse ; mais ceci suppose que le mouvement est rapporté à trois axes de coordonnées fixes dans l'espace. Le théorème doit être modifié quand les axes sont mobiles.

Soient Ox, Oy, Oz trois axes fixes dans l'espace (fig, 200); 0'x% O'y', 0'^' trois axes mobiles, ng. 200.

parallèles aux premiers; le système des axes mobiles aura ainsi un mouvement de translation. Tout point lié à ces axes sera emporté avec eux et aura 1^ même inouveçient que Torigine mobile 0'. Le mouvement d'un mo- / bile par rapport aux axes fixes peut être considéré comme le mouvement résultant de deux mouvements, savoir : le mouvement du point matériel par rapport aux axes mobiles, et le mouvament de translation de ces axes mobiles. Nous avons vu que, dans ce cas, la vitesse du mouvement relatif aux axes mobiles est la résultante de la vitesse du mouvement relatif aux axes fixes, et d'une vitesse égale et contraire à celle de l'origine mobile (n® 23), et que, de même, l'accélération 7' du mouvement relatif aux axes mobiles est la résultante de Taccélération y. du mouvement relatif aux axes fixes

et. d'une accélération é^ale.et €ontr;jiir6ià^rfic|oâlfeaUoiii74 de Twigine n¥>bile.(a* 53).

LorsqueJe mouvemeat de translation d€is %xes mobiles estrectiLigneatuniforme, 1 acçélénaiion y, deoe^momB'ment étant nulle, on en conclut que l'accélération y' relative aux axes mobiles est la même que raccéïération 7 relative aux axes fixes.

279. Dans Tétude que nous avons faite da mouvement des ptanètaft atitoui^du âoleil, nous avon^ supposé fii^ile centre d|i soleil ; inais il n'en est pas ainsi, et les fermulegi que nous avons trouvées doivent étt>e modifiées un pe«i. Considérons un système formé de deux astres, le soleil S de masse M, et une planàte P de masse m {/tff. 201). Previg. )of. noi^^ troisaxes Oâr, 0^^ Oz fixes dans

l'espace , et par le centre c|u soleil menons trois axes Sx\ Sy', Sz' parallèles aux premiers. Les deux astres s'attirent mutuellement suivant la droite qui les joint; sîron appelle** leur distance SP, cette attr^tion a

film , ^ , ,, pourexprçsisjon^— ;c estvipedpvWe

force, agissant, d'une part sur la planète datts la dii'ectïbû' PS, d'autre pa,rt syr le soleil dans 1?l direction SP. ï^ mouvements étant rapportés aux axes fixes, il* en résulte

pour la planète une accélération y égale à ^-, dirigée suivant PS, et pot(^ le soleil une accélération y, égale à ^ et

dirigée suivant SP. D'après, ce qui a été dit précédemmeat, l'accélération y dû mpuvement de la planète par rapport

aax^aîfié^ iftobiles m^iés par Fe centre du ^leii est la réèuh tante de Taccélération y et d^uae amélioration égale eicoii'tïaifreày, ; l- accélération 7, vfyri^ ènsen^ contraire, devient denûême seûfe que 7 et s'afoute à y, de sorte que i'oïi a

y'=y:j^y^=l^ ^ ' . Si dçnc on pose fi=^(M-hm),

il viendray'=4' L'accélération du mouvement relatif de

I^: planète autour du soleil est dirige vers' le rcentre du sqleU ' et^âfie en raisou inverse du earpé âe^ 1% dislimaea IfdSi , imiaonnements du ehapitr^ précédent s^appUqfseiU; do^Q à ide inou^emeott irektiF :■ la loi des aipe&a> lieu,; ettlo* plaiirèite décrit une section conique dont le soleil oeaiipe Tuo des foyers; on retrouve ainsi Jes deux prefiàières lois de Kepler 3 tfiaisla troisième doit étire un peu modifiée.

Nous avons trouvé la relation p= ^ ; ici la constante f*

est égiâlé à /(M+m) ou à /M 1 1 4-^ ; les planètes ayant

des i^çLSses dif^.entes, cette quaatilé,fc n'est pas la même

plbiif toutes les planètes, et par conséquent le rapport 7*5

n'est pas constant. Wâië; cotïittle lès inasses des planètes spiittrès^pdtitesçQïppaFéeB àjoelle du 8olml,/la qi^eiptiié (^

diffère peu de la quantité constante /îif, et le rapport =

est à peu près constant.

. 280. Les lpis.4H rflouyeineDt ,el| jptique \}e, rppréseqatent qu'imparfaitement le mouvement des planètes. Si Ton considère rérisenàblëdfe notre système planétaire, chaque planète eât attîréfe^iiyn-seùlemeiit' par If*^ soleiK^mnis èin-

550 Lithï ▼. coiiPitiiÈàt.

core par chacune des autres planètes, de sorte que le vrai mouvement d'une planète est extrêmement compliqué. Mais, l'attraction du soleil étatit prédominante, vu la grandeur de sa masse, le mouvement diffère peu du mouvement elliptique; on peut le regarder comme un mouvement elliptique légèrement troublé ou modifié par l'action des autres planètes ; c'est là ce qu'on appelle les perturbations du mouvement elliptique. Nous n'entreprendrons pas ici le calcul de ces perturbations ; cette question sort du cadre de nos études. Nous dirons seulement, avant de quitter ce sujet important, commenton détermine le rapport des masses des planètes à celle du soleil.

Mame des planètes.

281 . Considérons une planète accompagnée d'un ou de plusieurs satellites. En désignant par M la masse du soleil, par m celle de la planète, par a le demi grand axe de l'ellipse décrite par la planète autour du soleil, et par T la durée de la révolution, nous avons trouvé la relation

En appelant m' la masse d'un satellite, a' le demi grand axe de l'ellipse qu'il décrit autour de la planète, et f ' la durée de la révolution, on a de même

On déduit de là

MOUYEMEI^TS RELATIFS. 551

OU, ea divisaat les deux termes du rapport par M,

mm'

m^ Si Ton néglige le rapport très-petit -jrp, c'est-à-dire le rapport de la masse du satellite à celle du soleil^ on a la relation

de laquelle on déduit le rapport -^ ;de la masse de la planète

à celle du soleil. En eflectuant le calcul pour Jupiter, on

trouve tr=^ — tm io5o

On pourrait suivre le même procédé pour la terre, en

considérant le mouvenient de son satellite, la lune. Mais

on y arrive plus facilement par un autre moyen : si l'on

appelle r le rayon de la terre, l'attraction que le globe

terrestre exerce sur l'unité de masse placée à sa surface

est exprimée par ^ ; mais cette attraction est connue,

c'est le poids g de cette unité de masse ; on a -donc

d'où Ton déduit

35iJ MVRK V. COMPLÉMENT.

oD Imuve ainsi ù peu près . .;, ^^^

\i M^ 355ooo' . - ^ ^

Cas o^ laa axes mobU«« onf un mouTe^i^nf de roU(tt4|.p. .

282. Jiisqu*à^^résfent nous avons supposé ^ue les axes mobiles ont un moufemeiit ée translation ]^ar rapport aux premiers. Lorsque le mouvement des aies mobiles n'est pas de translaUon, la quesAkon est f4os compMi)!ittè ; uo^4^ou(» borncirong pour le momeai à un fs& pactiotlier qui a de nombreuses applications: c'est oeloi jièiie mouvement des axea Qiobiles e^t une rotation uniforme autour d'un a^e fixe, , . , , ,.-.?-

Soient Ox, Oy, Oi^ leç a^fis fixes (yfi^* 20JÎ), Ox\ Oy' Pig. aéî. ^^^^ ^^^' l'^ctapgulaires perpendicu-

laires à Taxe fixe 0^, et tournant autour V de cet' axé d*un mouvement uniforme, ^;„,^^ g avec iâ vitesse angulaire w, de Ôar vers ^ Jx-^l^'' Oy. Appfeloi» 45, vs iS'Ies-cobïdonnées ^ d'on tx)iirt mobile M pay-rnppoh taix axes fixes, x\ y\ :î'4(3S coordonnées de ce même point .pg^r rapjpor^j^iSjfgJème .des ^es. mobiles Oj^V 0^7» ûç- «Supposons que Taxe. n)obile 0^'^ qoïo^ide ^ayec Fax^.fiibajga: au temps ^.= o,; l'aqgle arÇM^/, décrit (J$^n$ je tem^sr^^^^^i^t égal à w^; d aprè&,k$^f(U'jpu.leA.dfi traaiigÇprm^tjQ», de^^oordonnées, on a

â?'tT=ir cos*)^ +y sin tjd, (1) \ ^'— — •^,sinw/+yc9?fr*/. ,. , ....

tlÛiÙVËMËNts RELATIFS. âo5

On doit considérer ar, y, z, x\ y cotorfae des fonctions cl u temps. Si l'on prend les dérivées premières, on a

D|ar'= Dio: . cos o^ + Dgj^ . sin w^ -H &> (— ar sin orf + y cos «/), Diy'=: — D|2:.siB &)^+Dfy.cos&)^ — ck>(a:cosw^4-ysina>^),

ou, en reinplàçant les parenthèses par leurs valeurs y ' et a:' ,

i. D^'=r=D«»: ,,ço$«^ + p,y , m^t-^p^\ D«y'=^-*-ï)|a5 - si© w^r^D^, Qo^ e^ :-- f^'.,

T^jfbs $ont les frcjections de ta vitesse retel&vé. PoUr obiNKœ VaocéléraÛQiL, prenons une seconde fois lês^ dérivées ; -Brans aurons :

+ »( — D|ar.sinû)/+Diy.coi^a)/)4-wD,y%''

D,*y ':x=: — D,ap . siti 0)? + D,'y . cos w/

•— (0 (Dt*a* • cos w^-h %y . feîn (*d) — «B^a:'. '

Remplaçons les parenthèses |>ai; teups valeurs D,y + caar', D|ar' — ûtjy ' tirées des équations (2) ; il vient

' ' l1Brp^èItiîet^^trietnbrt^D;V,D;V^D|•zMeceséq^^ ^ôrft lèfe pWyectîons de Taccélératiôn relative y' sur les axes (!)ar'',Oy', Oz^ Les dérivéei^ secondes D;'a:,D,*2/; D|*2, iStant liBS^pirdjetftîotisi de l'accéïéràtidn yrelatîvefàùi'aTces ftxesOj^, Oy, Oiï^tfr ces axes, les quantités

HtX . cos ûï/ +D,*y . sin a>^ — I>«'jï'/sm«d^4-'Dr^y . cos (ùt,

noises entre parenthèses, sont les projections de celte accélération y sur les axes Oa*', Oy'.

Du ^ftiqt PI, poiUiQT) d^ mobile au tmqis. i, ibswcAs^ sur Taxe 0^ uQe ptirpendiodaire Ml deat naus désignai^ rons la longueur par t; sur-ie proloqgenient de 1^ ib^|tf IM^ prenons une grandeur géom^tricjuq MB ^aie à c^V^* cetle grandeur aura pour projection sur les axes Ox', Oy', Qz les seconds termes

des seconds membres des équations (3).

Soit MA la droite qui représente la vitesse relative vpar le point M menons une parallèle ML à Taxe de rotation Oz, et désignons par a Tangle LMA, que fait cette vitesse relative avec ML ; sur une perpendiculaire au plan LMA» et dans un sens convenable^ portons une grandeur géométriqpe MC égale à acuDsinœ; nous allons faire voir que les projections de cette grandeur MQ sur les trois axes Qx\ Oy', Oz sont les troisièmes termes

des seconds membres des équations (3). En effet; la projectiqn M'A' de la vitesse relative MA su^ |e plan à^ a poi^r valeur t^sin^i la droite MG, étaqt perpei^diàulairè au plan LMA, est parallèle au [plan arOy; sa prpjection M'C sur ce plan est ég^j^ e( parallèle "à MÇ, et perpendiqulaîre à M'A'; les projections de lagrapdeur géométrique MC ou M'C sqr Oo?' et Qy' sont

.M'C'.cos(M'A'.Oy<), — M'C'.cos(M'V. Oa:'); mais on a

cos(M'A', Oy')=g^, cos(M'A',OxO=^M

on trouve ainsi, pour les projections cherchées.

d'jjilfeoi^sla prcjeiStiaQ sur 0;^ est nulle. Ureetç k déterminer! ^ras quel seos ou doit fo^iev la grandeur MG sur ta {lerf eii^dicidajre au plan IMk. Imaginom qw Ton fasse touiaierce^plau autour de k parallèle S|L kA\xe de rotBtiojiQ^yet d&uaie mémeâens; celte rptailien esiineitnera If^ vitesse relative d'un certain côté; il fendra lïfener U perpendiculaire MC du côtç opposé^

Il résulte des équations (3) que la projection de l'accélération y', relative aux axes mobiles sur chacun des troiç aies rectangulaires Oaj^ Oy\ Oz, est la sompîe algébrique des projections de trois grapdeurs géométriques, raccéléralion 7 du mouvement rapporté au)^ axes fixes, et les deux grandeurs géométriques MB et MC. On en conclût qiae Taccélération y', relative aux axes moliiles, est ia résultante de l'accélération y, relative aux axes fixes, et des accélérations nouvelles MB et MC.

283. Désignons par y, et y^ ces ^ux accélérations MÇ et MÇ^ q\ie l'on introduit 4^ 1;^ sorte pour^avoir T^céléra- ÙQR y* dû paojiyem^nt relatif ftux^xes ippbiles. 8i le point |||I 'était lié invariablement aii:îiL,ax^^ mpbiles, ce poiût 4çi?ritait, autour de Ts^xe 0^^ uq c<?î'cle d^, rayoja Mt, 4'uû ippijiYQ^^e^nt uniforinç; rapqéléf9.tiQp d^i ce raoqyenîçnt cwcult9dr§ çst dirigée suivait Ml çt çg^Je à wV ; J'^célération y^ est égale et contr^irç ^ c^tte ^pcélératiijn^ ceijtripète ; on lui a donné pour cela le nopa d'accélération centrifuge. Par analogie, on a donné à l'autre accélération y,, qui est égale à aw^sina, et dirigée suivant MC, le nom d'accélération centrifuge composée, •

Pour la commodité du langage, rien n'empêche de eoncevoir deuxfar<^s F,:i;=awy,^ F^sasmy^, capables de prch 4iLîire le^ accélérations y, et y,. On donnera à la première

356 LIVRE V. GOMPLÉMElfT.

le upm de force çentrifiye , > la secqnjie celui, A^Jojrce c^r^trifyi^ç ,coi(npos€e.S\ aux forceg |physi(][ueç (|ui sollicitent la niQjbije on joint ces deux forpes4pîive^,^onj|o^^ dire que l'accélération y' du moi^Yeijfient r^aUteçl ^çjp^^ en grandeur et en (|jrection^ à,lar4^vJtan|ade toples/çe§, forces divisée par Ici raaçse. ^ Ei^ ^*,???fT?? î?i^°?^f ? PPr P®!^f faire abstraction du ipoqvjempnt d^ ^xe^ m9biles^ Ç.^ ^^ regarder comme fixçs» en jmaginant que Je mobile j^it sollicité, Bou««eu)jQçnent par les forces physiques q^i amusent sur lui effectivement, m^i^ encore jpar les deux tordes ficVives F, et F, que Von a appelées force centrifuge et force centrifuge composée.

284. Lorsque le niouvemeiit relatif aux. axes mobiles est rectiliffqe et unifprme, Taccélération y^ de ce mouveme;[it relatif étant pulîp^ la résultante des forces pliysiqij^es et des.dqvi:x,forpes fictives F, et y, çgt pulWliesjrstèrûQde ces forces satisfera dooc aux conditions d'^équilibre" des forcée, agissant sur, un mêm^è poii|t mia,tériel {pP^J.

Dfids le fi^sj^articuiipr. oiX]p^poiflt matériel ept en, repos par rapport aux axes mobiles, lai vitesse relative i étaiil nulle, la force centrifuge composée F, est nulle, et la réstiltante des forçe^^ physiques et fj^ Jja. ^()r^c^,ç.^ni^pïvif^e ^^^^st mJjle. jRéciprpqvpmen^,; lqv^(jue^},^^p^oipy,n|^éTi^^^^^ glac?, en un point M sans vit e3^^ ^p^l^t^vp^ ^(^tql^^;lA^^fé^^^^^ des forces physiques qn^ j5o|lic^tef^t lQ^mobijle^eJ^,)jl^ ja forcé centrifuge est nujl^^ jl^ Pff.^l '^^M^/^.l.^^f? ?îi repos relatif ... ; »./ /\t

, • " -'' ''J^'nr, .n <i']]') -)ii..h jj/*h MU/ *r^ f 'i

285. Noq» avons déjà traité dire^c^enaentjliv. 11^ chap. pi) plusieurs questions qui se rattachent à cpt ordrp d'idées. Considérons l'équilibre relatif du pendule conique régula-

MOUVEMEMS KELATIFS.

leur des machines à vapeur (w^ 109). Deux forces sollicileni'^ffectïviBilriént' 'la ïâasse M; (itàeeé'a l' extrémité ' dé' \i lige,' savoir le' poi^éiilÂ'à'è' celle maèscV èt^'fa 'tensiôti iMB de fa tige m^. 203). En imaginanl le point M soincile

on'^ût faire ^^^^^ niouVèrûeïit'^ '^ V""'

de rotation du pfànCÔW autour lle'l*ake * "' verficat Oz, et dire que les trois forces St A^ '" , , MBTMÏi' se Tôat' équilibre .ta teAsion ïllB "^ ^D^r^Tv j**"' de la tige devant mi^re équilibre aux deux ^ j \| \j forces Ma et MD', il faut que la résultante * ' * ^ • fe^ MB' de ces deux forces soit .dirigée suivant le prolongem^Dt de la tige. On déduit de là la valeur de l'angle Q. Ceci est bien d'accord avec le résultat iâuqueliibus sommes arrives directement j le mouvement du point M "étant circulaire et uniforme, la rêsultainie IMlD dés deux Ibrces MA

rigee î

condition est reiupiie, U est clair qu il v ^

entre les deux forces MA, MB, et la force MD^, égale et

ji^s^v ^-n.îu^^ -^r^^ij' V' ♦-^'i '••ii' ^"«/ij /'î»; vum^i-ïto. contraire a leur résultante. - 1 -

'^91^. ^fces' iîi&tiés iJéln^4^^ s^apîi^tiM^'fà! ifiiès^it^b' dij nûra^i^ ïi^r^f '^liiVa^^PHlb^^^

diî^tftiîMmstféi^iètvtaTeyM m^'' ''-'' ;igi]ir'^ ^'^' "^

tivè i^'^^\i^>^m(/î^. 5^^ii'

la résultante MB' des deux forces

MA et MD' doit donc être normale

à la cQurb'e ,' 'ce qui détermine U ' ' ' ' " ' ^' ^ ' ' ' ^ *'

forme de la courbe.

kiTAG V. GoanÉMBonr.

rig. 305.

La terre tourne uniiÎMiiiéaiettt auiaor de son aM ; ooi)udérons an point matériel M âaspendu àun fil^&ltaohé à«) ^ôiDt fixe I (/îy. 205) ; il y aura équilibre entre raitrtic-

tioo MA que le globe eterde sur le point M, la tension MB eu fit, «tt la force fictive M€' égale à Vx MB ; ta résultante des deux fol-dés MA fet MC doit dôilc être égale et opposée à la tension du fil ; celte réHiultante MB' est ce qu'on a^^ellé'lé poidb du corps ; sa direction est celle du fil à plomb ; c'est la verticale au point M (ri^ 111). Nous donnerons maintenant quelques exemples de oftfiiuvèment relatif.

Fig. 206.

287. PasmÈRE question. Trouver le mouvement relatif d'un point pesant M assujetti à glisser sans frottement sur une droite horizontale qui tourne uniformément autour d'un axe vertical 0>3, avec une vitesse angulfiire donnée m (fiff, 206)* : . ,* .

Supposons que io mouvement de rotation s'-accomplisse de Ox vers Oy ; soit M la position du mobile au temps ^> X la distance variable OM, v la vitesse relative, comptée positivement dans le sens Ox, négativement en sens contraire. Le mobile est sollicité effectivement par deux forces, son poids MG et la réaction normale N de la droite Ox^ réaction qui fait avec la verticale ML un certain angle j3. On

pourrsbfoire abatira^tioa du moUTement^de la droite Ox, en iiBtfodiiisaiit les deux fc^rces fictives dont nous ayons parlé, savoir : la forée centrifuge MB égale à m^Xj et la force centrifuge composée MC, perpendiculaire au plan zoo:, et égalé à %3nm>; cette force «st dirigée dans le sens opposé à 0^» ou dans le sens Oy» suivant que la vitesse v est posiiisB ^ négative^. La question ^st donc ranienéè à I& suivante t trouver le mouvenaeniicur une droite fiieO^ d'un point mobile sollicité par les quatre ibrces MB, M6, NG, .MM; les trois dernières forces sont normales, et se font équilibr.6 ; la première MB produit l'accélération relative; 09 a donc l'équation

Il s'agit de trouver une fonction qui se reproduise ellemême, avec le facteur constant u' ; cette fonction est une exponentielle. Posons

on en déduit par la dérivation

D;^=«û>*(Ae~'H-Bé?-«^);

là réaction (2) satisfait donc à l'équation (1), quelles (juè éblkïii les dèiii constantes A et B. On déterminé céè deux cônstâtltés par Tétàt initial du mobile ; supposons que, poul" ^=i=i:6, on ait x^r^ù, v=±Vo ,* on aura les dent relatidns

aé^k + H, t)o=w(A-^B);

d'où . . A= , B=

Le infi^voMeoli^sidoiit^i^epeésentèparielfoinaeNil^i î>if'

1 3û) aw '

slaau!ikei)tpotttAtev4i^vici98i&vâéû>aiigtaéblàht'^ ^îi^titi^ bUjes'élcÂgQeiadéÉ&imeflârtidu pbiûCO; ' ^''' ' ^<

'.SupfioâOiis maintenant' !lla litesder hfiîfttële n^àivé^^ è¥; p(Mir -motÉre JesigKé'én évidéttd«, 'pbï5ïï*a *î=i=ii-iy^<,;'fé* mobile se rapprochera d'abord '<ltl poiùsl); et la Vltesiàë diminuera. Il y a plusieurs cas à distinguer : 1^ si l'on a Vo^<i atù^ la vitesse devient imlle fjoin' ïa Tafeur de /^ vérifiait Téquation ' ' •

. -. .,,. . .,: . .,. : r, !.. ... M .Mt . - • ..-.;-j ; ■■i-»ii.

. , ttû) -4- ^^

le mobile arrive en un certaiii -poiiit fcîSails' Vitesse,' après avoir parcouru la longueur A'K rpois lésiBÈ&'dii^doû^ment change,/et le mobile s'éld^ûie-ifiiâéâaibehil Aifiis^lÉf' ' direction^ Kx, <Somme dans ldna6i|^d6deift;'i)^lqiibâdoë^ a v'^^ aw>;f^ vitesse :w ne chimgeipwidB'dirdi^ttiii ^«Wô^' reste conjst^ipix^eat négative, lid itn«dUledx^afise lia>ttefn«@i pour s'ébigûer iûdéànimeni.. diiks 'ien idirBcdon'O:»^; 3^ quand on a v'o=aiù^ le loobil^ tdnd ivera^lsi point ^0^ av^ (yiAe.N^^i^^4é^f^g^]?J^/0iaist^itôjii^

P^psi pQ .qMcmI du jcao»vei»eùlsi:etattf, là/t^ce«eiitri^ fuge fl9mpp§é<jii)^'a,jpM(BiWcwi»tûle6.m*i»ii ^tHépiswd*^^ d*eM IçpiriQPWptfîs.^i l'<^n iv<^ui déten^unerim^éacttoii^^ que iH.dvpilÇjpiXçriQ^gur lQia)ubile«<Ea(effeivi&iiKMb^fiB«i«éfi^

M0UV£ilKMH«ai!;LAl11«9. 36^1

étant v^ê^ïigm\ le^tr0i9>faFe63«iiQ>rmalje^MGv MC, MN se font équilibre; la force MN est donc égale et opposée à la résultante MD des^^teuxr^tr^g, el l'on a - >

imo

L^,f*^aj6,tîpn iNie^g<î> (J^gmçitfkiiitietidmdhsoiiDn pendant le.pQi^i^.4^ g>ou>^fAi^i9(t.! Qoaoïd'lo moinilieiestlçtacé ea A sap^^p^se im^ebîlaferm«H«ia, d abord veftkri^ttégâ^ poids du mobile, augjraaat^ indéftnrmeaUet^a'ifieltfie de pli|;f ejjL plusv tef^î#t v<ei;a^ia diinîcèiiii ibamaoœtote- La fojçpe MO.esLJa p^î^ion qii^.ik mobile -exerde contre la dcpjt^sprJaqueJlej.U^i^ ç(Jieqt^«. îi. . t •: • • ■,

JS^Ç^. JPBfflf^Hf (WiB^iQif.v0énéralisoa6'la qoesflion précédente. Cherchons le mouvement relatif d'un point pesant assujetti à glisser sans frottement sur une droite quelconque x'x, qui tourne uniformément autour de l'axe vertical O2. Supposons d'abord que la droite ren contre l'axe en {Jig^, ^7^; appelons /tz . l'augle i

quJeU^,|tftit.?^v^e taxbr'aM^^ '"' ''^f gnfp^.pap: ^ k^disliiifo^: v^taible

OiVïi;>ï^e,ropWe M. B$t 180^ licite 1 pai;i4^il,^ foÀeaa^ isQil poifls'JMfi ' et l({»néaiotjo«l aeriliaieiMMdie ià droiteOOû leurra faide abslraé^J tioa dnmouvèraern de Itl dmite, en iai^crduiîâÉitKieuiaQ fon2^dftrà\^^^^ la h>bù^ bétitt*}fag'e MB, éga|Qîà.w«^><iMP m'hmi^^%i^&fwec,ét la force centrifuge resasupoEëe^ parpondidulait^'^^ pliâii'^^ et égale à ^rm)nmn:».iiQiassuppomtii ^ne- la rotation autour de 0-3 s*eff(M«e^d««dToile^àgauche eu avant, pour un obsérv ateùr

LIVIIB V. OOmJttMT.

placé sur cet aie, les pieds en 0, la tète eBz; œtte rotation entraîne la vitesse relative positive en arrière du tableau, dans la position actuelle de la figure; il faut mener la force centrifuge composée MC de l'autre côté, c'est-àdire en avant du tableau. Décomposons la force centrifuge MB en deux forces, Tune MB' = ma>*â; sin' a , suivant la droite Oar, Tautre MB" = mta^x sin « cos a, perpendiculaire à cette droite. Décomposons de même le poids M6 en deux forces, Tune MG'=mff cos a suivant la di*oite Oir, Tauli^é MG^s^mgsinût perpendiculaire. Les trois force* nôt"males MG''+MB'^ MG, MN se font équibre ; la résultante mtû'o: sin* rt—m^ cos a des deux forces MB' et MG' produit Taccélération relative. On a donc Pécjuatiod

{i) ï)*xo3s aflx «in* a — jr cosk«

Il existe sur la droite une position 0, d équilibre i^latif, déterminée par la valeur

gcosa w'sm'a

qui annule le second membre de Téquatiôn. Si lé moEilè était placé en 0„ sans vitesse initiale, les deux forces MB' et MG' se faisant équilibre, il resterait en repos relatif. Appelons j:' la distance variable 0,M, et posons x^x^-i-x'; Téquation (1) devient

(8) D,V=w«sin'<iXa?'.

Cette équation a même forme que l'équation (1) du numéro précédent; il suffit de remplacer « par «sin à; si VùA désigne par a la distance O.A du point 0, à fà pôsi-

■oorciiiins KEuaff$, S6S

tion ÎDilialé A du mobile, et |^r «oin vlteese inittatë^ on aura

at^Ûû a+ Vq ,^,, atù sin cc—Vq ,„,

^ ^ gm «+ 1), ^.;,.n,' g<^ sin g -- t)o ^,, ,^,,^

Le mouvement présente des circonstances analogues à cellesf du problème précédent. Supposons, pour préciser, que le point A, position initiale du mobile, soit situé audessus du point Oj. Si la vitesse initiale est null^/ou. positive, le mobile montera indéfiniment sur la. droite" avec une vitesse croissante. Quand la vitesse initiale est négative et moindre que awsin a en valeur absolue^ le mobile descend du point A jusqu'à un certain point compris eotre AetO,, puis il remonte indéfiniment. Quand la vitesse initiale est négative et plus grande que a(è^in a en "valeur absolue, le mobile dépasse le point 0, et s'abaisse indéfiniment. Enfin, quand la vitesse initiale est négative et égale à «» sin a en valeur absolue, le mobile tend vers la position d'équilibre 0^.

L'équilibre des forces normales permet de déterminer la réaction normale MN que la droite exerce sur le mobile, dette réaction étant égale et opposée à la résultaute des deuxforcesMè'^+M6^ etMG, si l'on appelle j5 Tangle qu^'ellc fait avec la normale MÈ située dans le plan zOa:, on a

N= m sin «>^^ Tt*û)'a:ooôa)'4-4wV,

tangâ= ; .

^"^ .g+j^ secoua

2i89i Cowidéarona enfin je .cas où la droite niofeile Ox tié'

564 LIVRL V. conplëmëmt.

rencontre pas l'axe de rotation (yz (/ify . 208). Soit 00' la plus Kig.20s. ^ ' > ' leourte-distMièeii^ècleoirai'oftléèV

G . ..fin^pjexpefldipttlairec]^

et,mepai?6.MM'.pe«alJèlê àOO'i:

La force centrit'qge MH est égai.e »»*«' XRMi;«t dirigéq* suivant le prolongeo^ni dç^PM; çtorclv)ns.«ei:|)iwj6clioo! surJa.(Jroile O^ousui; ia liroili^ parallèfcO'fP' vO€*lo'|3ro^ jectioa.est égaI^.4M produit da ;/î*w* par te tprojacticiBr «le PM ; ma^la projection, de PM[,^$t égî^le à cerlki de.k^làgiie^ brisée PM'M ; la (jlvpite. MM'ét^pt pevpenrfiç^ylaire.iû-jrîy sa projection est i)ii|le, et ^a projectiOH.de PMest^égalo' à celle de PM', .cç$t-àTdire à a?$i#'a;.la projectiionr.dôi la force centrxfi^gp, JMB^sur 0^ a doiPC pow espreBàHO»' mcù^x sin- a, copin>e dans le .cas précédant,. D*adUwrsv*âprojection du pojds MG est toujours, W,M^.eos«;Toaviurci?eL donc à la même eqi^atioj;! (1)|. Ouau<^npiv(x{UQl(a'aij(iiuLf«ement du oipj^ile Ifl i?uf ^If dfpitje p^çtj^t le iBQme.^ueicoiioijL du point M' sur la droite paral/àle Q'it,V Mais l« ma^falan^^ normale'de la droite, n'jç^t pfi$,|a mêuifi» ^}^ Qalcuil^lûjest un peu plus conipUqué^.Pjaf'pç fiuelef 4^i»^îWfl^f^ normales MB" et MG^,(^y^,^,'^Q7) j^pqhpl**«^,lf* i»êBaft.di-. reclion. ^ . . i -i. -, , .. ^.--m • ■ .■ . ■ ^t-t -"■'*•

290. TuoisiÈHE QUESTION. — ^ péviçifif^ ,per^^<f^i:émm^ la chute des corps, La terre t^ouniQ iap.tOiMr de 9W'aa(Ei;

avec «ifte î^itess^îaoimlldfe foi^ ' - ^^' t -'(la durée Se fa ^

révolu tibii ^ te jour sidéral étant d^i^jS«4P0.isa€Mhto

cal}fl..¥HQ6$e! aBguJAir& est moindre que ^^^ -- , elle est

târfe-^lW.'Qtïâiïdôn éttildie lé aioave«ieut des corps à la surftttfe'dëla lérrfe, bù Wpporte en général le mouvement à^dei^ axeâ iiéd à la 'Xévtè; etpkr conséquent ^mobiles avec ellëycfft'^ùrHftféiirè'àbkractibnde latotation de la terre, eiiKitAt<)idiii!^n'€ Ibs dfeUïiàiccétéHitions, ou les deux forces, fi6tîvfeSidbûl'Éë>iis''îi^oî^ 'pfeiriéî mais je fais remarquer qu'oniÀ déjèJ^yon ccittipfte'de-l^ fdi*cè' cenïr5ïuge;'car cette f«rDé->eçistïiftig8i' ébtûfei^éé'àvôc l^'ëtttalsiibiiqiie le ^ globe exerpe^i" te m6bi^i iôdÉll^ilfite lié poi^k dîii' mobile' tpfi 286); illifeBtaitiqpept'^eûit! cdtt}pt^'(ïë' i'^ÉtèdélétalSon centrifuge con^hsèei'Cipeté «tcééj^àtiofclr 3«it)^tl ac, e^ 'en général trèsAfàifclei et! féM êlf è'BléêUéiSe yns^^èWè'ùr sensible, if^ôur lule^tlisseïai l^ dlêti^ès(pap séécbd©. cjill est céîié^dês ctieminsidéferrêll'elest i^iûdre qUé 0^002- pour une viteasaèejQOô mètres {là^^eëoâde, qur ^ c^elie'dé^ boulets aiî settiritobimâby^dle Mmoindrê qtië'o^ll'Ce li'eèt que par dOTiexipérieaee&trè^délicfclès qii'bn péuf 'la màlriitester.

fiupposclnst^ti^^'tft^r^'éôft ^ladéV'sàiis' Vïtèisse initiale, aui^i»ia(/Ï9i'a09j, fr l'oûVerttirë d^uii puitàtreè-pfofon

aw^ h^m.\M\(ià' éé f M^ péèkiiïëtii'' (^'ùaiiri' ^ ^ ' '' A^ leièof^^'-^e fippf^bëlië'tfà b'etitrè'de Tâ^ r~^ terre, ainsi que la résistance de Tair, on \

a suivant la verticale Oz un mouvement \

unito-iliMelM^'àcè^lël^S;^ ^'-^ ^

fiJ^econîiï)ôfeée ttoafflê'ùti p^^^ Pour éva-

lu(^r,c^tte (ç.iîçe^jOp jéol^uj^^ oeJte qui

aurait lieu dans lef iti6iiveraent recliligne, ce qui rçv^ent à né^l%ef4ey(i|[iïà'ûtfe^ ordre. iPrenons

369 LItRI tvVMBÉSÊÊMf:

pourâxeô des coordonDées la verticale Oz dirigée de Iratil en bas, ia ipéridienne Oy dirigée vers le nord, et une perpendiculaire Oa: au plan méridien dutjftté de l'est. L'angle POy que feit avec la lùéridienne tine parallèle OP S i'axe de la terre est la latitude X du lieu ; la vitesse relative Pliant

à peu près verticale, on i sensiblço^çn^ ç«=^--Hi; |'ftÇ<îÇ-

iération centrifuge composée a pour expression iwvcodh et isUe est perpendiculaire au pian méridieu^ fOis. Quand oo fait tourper ce plan autour de 01^ dans le sens de la notatioQ de ia terre, la droite Oz est <entva}flée Vers l'ouest, l-^ooéléi'atioik centrifugé composée est doue dirigée vers r^Bt!; elle est parallèle àOo;. Le mouvement du Mobile s'.Qft'^ctue ainsi dans le plan 3sOii, et Ton a, au degré d-appr&xiipatioii auquel nous nous arnétons,

Ou en déduit

D,a:=û)9^*cosX, a;=-2l-j-— r, z:^^^ ; la trajectoire a pour équation

MycoBXAig \^

Le corps dans sa chute dévie vers Test; la formule précédente donne la déviation x pour une hauteur de chute z.

29t. Quatrième question. Cherchons le mouvement d'un corps lancé sur un plan horizontal parfaitement poli, avec une vitesse initiale r©, en tenant compta» de la force centri-

fuge composée. Prenons pour we» des coosdonnées la verticale Oz (/î^. 210), la méridienne Oy dirigée vers le nord, etlaperpendiciflaire Ox au plan méridieûTers Test. Soit OA la grandeur gépoiétrique qui représente la vitesse v du mobile dans le plan horizontal au temps f , l'angle qu'elle fait avec Oy, angle, compté de 0^ ver;^ Qx; Taocplémûon centrifuge composée QC est égM^ ^ ^6»^ &in AQP ; olje est perpendiculaire au plan AOp, ^u pôté indiqué îur la figui'e, Décomn^QSons-la en deux accélératipqsy l'une QQ horizontale, Tautre OE vertic^e, î^a drpi^e OA, éta^jt perpendiculaire aux deux droites 0^ et «OC, est perpendiculaire à la droite OD qui est située dans ce plan ; ainpi, la composante horizontale OD de ^'accélération centrifuge composée est perpendiculaire à la vitesse relative QA, çt elle est dirigée vers la droite pour un observateur regardant dans la direction P4 de cette vitesse. Evaluons cette composante : on a

OD = OC. cosCOp == îjwr sin AOP cos COD.

Considérons le trièdre OPAz, flont la face AOz e^t égs^le à un angle droit ; les droites OC et OD étapt perpendiculaires respectivement aux plans AOP, AO^, Tanglç CQD de ces deux droites mesure l'angle dièdre OA des deux plans ; on a, dans ce trièdre,

sin X= cos P0:2 = sin AOP cos COD ; d'oii Ton déduit

(f) 0D = 3(«)vsin>.

ÇvalfiQns îtiis^i U cppposaptç yertica|^ , QE=^a«»t^sinAOfîsinCOI>.

Ô68 LWM.V^ CMmiÉMBHf .

Dans le lûéo^ trièdre, on a

d'où '

La composante Verticale diminue ou augmente la pesanteur, suiTant que la vitesse est dirigée vers T'est ou Vers Fouest, par rapport à la méridienne.

Dans notre hémisphère, la composante horizontale ÔD fait dévier le corps vers ïa droite;' celte accélération OÙ étant pèrpendibùlài^e à la vitesse OÀ et par conséquent normale à la tlujectbire, la vitesse a une grandeur constante^ ainsi que Taccéilération ; le mobile décria dooc sur le plan horizontal un arc de cercle d'un très-^rand rayon.' Ce rayon est donné par Téquation

— î=i<wsiiiX, "• ••'

d'où

Dans l'hémisphère austral, la composante horizontale ferait au contraire dévier le corps vers la gauche.

Il est impossible de reconnaître directement ce phénomène par l'expérience, à cause des causes nombreuses qui le troublent, telles que la résistance de Tair, lie frottement, etc.

292. Cinquième QUESTION. M. Foucault a mis en évidence, par deaexpériences très-ingénieuses, rïnfluence de ÎVccëlération «centrifuge composée sur le iadQu«efi»$ûtdu fmr* dule. Considérons une lentille pesftiH6,.duapeDdii»à uH

fil très-fin d'une grande longueur, afin qtt'onpïri'sse flégKger la torsion du fil. Dans le cas, 4^s petites oscillations, le centre de la lentilleijjqye.nottsrr^rsons par la pensée » un point matériel, se meut à peu près dans un plan horizontal ; nous regarderons donc la vitesse relative comme sensiblement horizontale.' Bne^nserVânt les mêmes notations quje dans ,1e problèqie pr^^cçjieo^,^ J'ft^él^^îipej?' produite par j^ {^sauteur, uous aurons à j qig^^ Tacûillération centrifuge composée, que^noï^^dé^pmgoseraqfk en deux, l'une OjÇ yertic^le. lautre OU lior^Ufi^ntale {/ig, 210). Si ron déci^mçps^ raccél^atioc^ v^rti/Dale p— a w^ ççs A sin G en deux, l'une, dirigée suivant le , pj-olongemeAt d^i fiL, l'autre perpendiculaire (n® 114), qç aar^t .ifjie agoçiéra^ipii

tionnellé à là distance r iju mobile à ce point*, l^a^, compulsante horizontale ÔD, étant perpendiculaire à la vitesse, a pour projections sur les a^e$ Ox et Oy,

H-acasin X.D^, — nwsinX.D^ar.

On a donc les deux équatipns (n** 115)

(ïfl ' • '■"*'.■ ■ ^- ^ ■ .'. ■

i OfV =T n- te--;»"*^ cos X sin e} ^ — ;i w siq A , p,a?.

Le second terme du second membre est très-petit par rapport au troisieniôj, àc£^usç dufectei,ir.,tre^^ j;

mm 'iiégt%èt^)tidi^ seô^nd te^tt1ë< et tifèféé êétivm^'le^

LITRE T. CMOiifMEVr.

D,'^=: — ^ -H iw sin A . Uft/, D,*y =— ^ — 2w sin X . D|jr.

Au pôle boréal, les équations du mouvement rapportées à deux axes Ox et Oy, liés à la terre et tournant avec elle autour de son axe 0^, sont

/ ox

Mais, au pôle, le mouvement du pendule est connu ; car le point I, oii est attachée Fextrémité supéneute du fil, étanl sur le prolongement de l'axe de la terre, est un point fixe. Dans le plan horizontal {/îg. 2H) prenons deux axes rectangulaires Ox^, Oy, qui ne participent pas au mouvement de la terre ; les équations du mouvement par rapport au système des axes fixes Oa:,, Oy,

sont

ce sont celles d'un point attiré vers le point O,pr0pontioD^ nellement à la distance. Nous avons traité cette question au numéro 145. Appelons a l'écart initial OA du pendule ; quand la lentille est placée en A sans vitesse initiale relative, elle possède, par rapport aux axes fixes, la vitesse omt

de la terre en A,, vitesse perpendiculaire à OA ; en supposant Taxe fixe 0^* mené par la position initiale A du mobile, on a donc '

Le mobile décrit une ellipse très-apiatie dans le sens indiqué par la flèche, c'est-à-dire dans le sens du mouve»ment de la terre ; négligeant lepetit axe de l'ellipse, nous dirons que le pendule exécute ses oscillations dans le plan Qxe zOxt. Supposoû^î aaaintepant qu'un observateur soit placé sur la terre ^ une certaine distance -du pôle, par exemple sur Taxe Oos;cei observateur sera emporté par la rotation de la terre ; comme il n'a pas conscience de son mouvement, le plan d'oscillation zOa;, lui paraîtra tourner autour de Oz en sens contraire avec la vitesse w. Si Ton ^.ppelle (f l'angle xOa?,, on a y==<Po -H w^-

J^e^ éqjji^tioçs (2) ne diffèrent çjes équations (3) qu'en ce que 0) est remplacé par wsinX.. A la latitude X, le phénomène est donc le même que si la terre tournait autour de la verticale Oz avec la vitesse angulaii'e w sin X. L'ellipse

décrite par le pendule aura pour axes a et «wsini j>/^ 1;

le mouvement apparent du plaû d'oscillation aura lieu en sens inverse du mouvement de la terre, avec la vitesse anfifulaire «sin>.