CHAPITRE II
MOliYEMENT Ql^OiytÉTHlQ^Ji D'DNCC^PS S0LU>6.
Dans le livre I, nous avons étudié le mouvement d'à» point matériel d'une matiîère purement géométïiiftii, et abstraction taité d(S causes qui le ptbdûisent ou fe modifient; pour compléter cette branche de làmécanicfùeî à laquelle on a donné le nom de dnéniatique^ noris îddiM querons les lois principales du mouveiaàent gêoflketrique d'un corps solide. Nous étudierons d*aborfl ïemouvemèttt d'une figure plane dans son plan ; nous étudierons enstiilè le mouvement d|un corps solide assujetti à tourner autour d*un point fixe, et enfin Je mouvement d^un cotps solide libre dans Tespace.
Mouy^mmit û*wè% tfure plAii* datai 9im pUm*
293. Théorème L Tout déplacement dune fi^e plane dans son pfan petit Hre produit par une rotùêiori autour d^un point jfix(^.
Supposons que sur un plan fixe glisse un plan mobile
parfaitement solide ; toute figure tracée dans le plan
mobile §era emportée avec lui dans son mouveinênt.
Il est clair que la position du plan mobile sur le plan fixe
Wu. an. sera parfaitement déterminée, si
^V^^ Ton connaît les poBitîbnsde deto
jt ^ \ r^ ^> de ses points. Considérons deui
X positions du plan mbbile ; soient ^:i /v^v ''' "^ A et B {/iff. H% deux points dta ' ^' plan mobile dans sa prendfare po-
MOOVEMEMT G tOM ETRIQUE d'uIS CORPS SOLIDE. o75
sition ; A', et B' les mêmes points dans la seconde position du plan mobile'; la àMitë iHB, invariable de longueur, s'est transportée en A'B'. Joignons AA' et BB'; sur les miHeûx de ces droites élevdosdesperptndiculaires, qui se couperont en un certain point 0. Les deux triangles^ AiQÇlr A/OB', sont égaux, comme ayapt les trois côtés égjiux, cb^un a pfeaçun, savoir : le côté AB égal à A'B% Ifi çôtéiOA égalÀ OA,S puisqye le point appartient à i^ gçi:pjEïadiç,\ilaire élevée sur Je milieu de AA', et de njéi^eje Qôté QB ég^ à QB\ Les angles AOB, A'OB' de (îe^;deux triangles. sont donc égaux; si Ton retranche la partie cammun^A-^OB, Ur^^ste lés angles égaux AOA^', B03'. Imaginons maintenant que Ton fasse tourner le pl^npiobile ai^jlour du point fixe Ô de l'angle AOA'; le point A décrira un arc de cercle et vien^raen A' ; le point B décrira de méçae un àrc de cercle et viendra en B'. La rotation autour du point amène donc la figure mobile de sa première position AQ k.,U Sâconda AfB^
S1914*, T^RÊpc II. Lo^sqt^imi^fig^ms plane ?e, pf eut dune manière quelconques d(ms son ptan^ les mfes^çs^ de tous les points de la figure , à chaque instant, sont Içs mêmes que si la figure tournait autour d'un certain point, avec une vitesse angulaire déterminée ^ ' ' " !' >
, ÇQHsidérpns les positions du plan mobile a^itpmps^ et jBfu temps t-i-àty soit M ,(^^f 2i3)^n point q;uelcoi:^quç du plan mobile, çjpns.s^jireniière ppsitiop,;M' la nouvelle ppsiUoa de 45e m^épe point; le point M f^.^^pjou,yé;lç déplacement^ pendant le
;teipp?s4j^;^ vi^te^se ijotoywnp v^, que nous rcjpréspaterpns par la droite MA», est dirigée
3lA LIVRE V. COBÏPLÉMEKT.
suivaot MM'.el égale à -jj—» Ea vertu du théorème gré-
cèdent, on peut amener le plan mobile de sa première position à la seconde, en le faisant tourner autour d'un certain point 0, d'un angle MO,M', que nous désignerons par 9. Dans ce mouvement, le point M décrit Tare dé cercle MM^ et vient en M'. Faisons maintetiant diminuer jusqu'à zéro l'intervalle de temps A^; le point 0^ tend vers un point limite 0, auquel on a donné le nom dô centre instantané de rotation. La sécÈitile MM' devient tangente au cercle, et par conséquent pei*pendiculaireau rayon OM; ainsi, la vitesse MA au temps / est perpendiculaire au rayon OM.. On a d'ailleiirs
corde MM' corde MM' arc MM'
''•'^ A^ arcMM' ^ A^ '^
l'arc MM' étant égal à l'angle MO^M', c'est-à-dire à Tangle ô, multiplié par le rayon 0,M, il vient
cordeMM'^^ ^ wam
Quand A/ tend vers zéro, le rapport ~ tend vers une limite déterminée ; cette limite, que nous désignerons par Cl), est ce qu'on appelle la vitesse angulaire de rotation au temps t;onhèe la sorte
t;t^6jXÔM.
Ainsi, la vitesse MA d*un point quelconque M dû plan mobile est perpendiculaire au rayon ÔM et proportioiinelle à ce rayon. Si donc on imagitiig que le plan mobile tourne autour du point avec la vitesse angulaire co, cette rotation donnera à chaque point la vitesse qu'il a effectivement au temps t.
MOUVEMENT GÉOMArAlCIITE D Uff CORPS SOLIDE. 375
A chaque instant, il y a dans, le plan mobile un point dont la vitesse est nulle ; ce point est le centre instantané de rotation.
295. Remarques. Les différents points de la figure mobile étant liés les uns aux autres par des droites de longueur invariable, on comprend que lels vitesses de ces différents points ne sont pas indépendantes les unes des autres ; les relations qui existent entre ces différentes vitesses sont contenues dans le théorème précédent. Si Ton donne les directions des vitesses de d^ux points à un même instant, on connaîtra la position du centre instantané de rotation à cet instant ; il suffira de mener le$ normales en ces deux points et de prendre leur point d'intersection. Si l'on donne en outre la grandeur de l'une des vitesses, on connaîtra la vitesse angulaire de rotation o). Le centre instantané de rotation étant déterminé, ainsi que la vitesse angulaire» on en déduit très-facilement la vitesse de chacun des points du plan mobile.
Quand on connaît les trajectoires décrites par deux points A et B du plan mobile, le mouvement du plan est défini géométriquement 5 on peut construire les positions successires de la figure mobile et par conséquent tracer la courbe que décrit Tun quelconque M de ses points. On peut en outre construire la tangente à cette courbe ; car les normales aux points correspondants des trajectoires décrites par les deux points A et B donnent par leur intersection le centre instantané de rotation ; la droite OM est normale à la trajectoire décrite par le point M; une perpendiculaire à cette normale sera la tangente. Cette méthode est d'une application fréquente dans l'étude des courbes.
courbe mobile stir une courbe fixe sans çiissemeMv « ■' -^-^'♦■^
pl^ftewept «éprouva, Pftr, la.%ur« .«npbik .pçnàaoAicliftotift'i (le jqçsi i^ij^çrT«^l*«94eifW6^pept/#rp pr4)4ttit paij^MOfôqiiHDi tation autour .d'un pQint.dé^eir|»iné5.ôowntôv»P>%ft-*i^-^les positions dans le pLai^ tiJie .daç ^^WitrQs ,de iiolBftipBi(|ai^t< correspoodentà ces iatevvaljfifidft JefRp^siijccô««ife^jj4<244)9ffi
., r. ,,4ws .levp|f^ift.,CTpJ>i|ei^ .tes.râMb-Hi %^^ ,.,. ... ,9/ . ,,flietedu.palyg<mei.ï^oJi»ta>Q(pg'ï»v'UiiJi' *^V^^Ji^L ^^^. ;vieinnaBt.coïaqideri6UCees6iTèiUèii1>v\; ^^JP'^T^^^cr . , ! avciÇ t liô8 1 aooimetfii 1 cinrrê8ponda»t8 • . „ ^ idu pQlygweAjde OPQBv-.." te poli, -i'.'' *\v..iygone«MHbUe€/ï5»f--..a«trâgaïé^' dans la position qu'il occupetitt^ieinfMsl/'lei àéplaâémèlfitl " qu'éprouve la figure mobile du leraps t au temps t-j-àt peu t éVF^ iproduit pjrir .u.ue * x.<>fi94tk)a' > autonn do ^poi ût'^O ^ M dooQ an fait. |ouj:pei?'l<a poLygone^mofrilefarutoufr én<}pf^ifàK' ' d'^un Aïigte.^»l[à;P0j»v»t8 ^aialetpiTie|Ddlra> en^''W'i le polygone njQbilft sera amenétdapslia^posididà 0^'foJ.J qu'il occupe au temps ^+ A^ D6fûéiDe^^>rtofàft tdOtdél^'i' le polygone mobile autour du /.point* Pid'ufn alngtei ^1 à" QPy', le çpmmôt 5'' viendra en.<3v»«trl6{iolygc<ûe ^nbbite^^ sera amené dans la^position qu'iioûeupeiaut^t0p&|}9^*âfi/'' « et aiiisi dçsuite. Ou remarque ji^ei.lôs. côtés idu polygt^riè' *' mobile sont respectivemeot égaux aux: •c6té&Vk)nr^pdii^'-' dants du polygone fixe^ et quçi<.dan& chacuÈ«t4^<^si*î' " lions du polygone mobile, lefeidftuip p.oIygQnbfeiOilii**fti'''' côté cop^p^n ;, pai; jÇTj^wkj.fiu ■ tempai ^fiMteB.idê^w^*
MOUVEMENT GÉONÉIRfQOi^ DUB eOIIPS SOLIDE. 577
po)yg^as^<oat le ^Jé <îQi]^iiini^.. €e roulei»eiit du polygW^^^obil&3urie pi^lygwe &ike présente tmeidée trèBnette et facile^à^iair.' ,.\ .. . -^
Supposons maintenant que les intervalles de temps A^ soient de pl«« en plus f etrts, lig point'O tendra vers une poflitiwBiliiliilè^îqfui eëtUe*èenti*einsîatttàiiéde rotation au iewps:4\{figi ^\m tes dfetirx polygonete <leviertdront, Yim le lieuidjdiiQêfilreinsttoltfrié'iaèWtalifc^w = '' "pife. *iii" daojBrle'jilmi^fixô', l^aWre le'Ueu'de c^ ^>. mêmé^p^tot daiiS' te-pliati rriofbife. 'Ap- ' petoasÉi la courtbe-flîe. S' la position de * ' la eoufbe molflle au teinps t; ces* deux courbes, étant les limites v4a dent 'p{)lygoiiefS'è[ui' ont Tin côté commun OP {/lgfv,'Ui)iSmiiieLùg^ni^B en'©'j de point de contact est le 43wlreviqslatitané'de notatioh au temps t. Il résulte de ce qiwi ^irécède «juê k oowbe Sf foule sur la courbe S, san^.glissér; un arc de la premièi!*e tx)urbé s'applique sur un. *ïe. égal 4e la seconde ea»rbe. ' '
397* Pour inw>otrer mieî appticatioîfi d^ cettti tnanièrti d'epmi^^gei: te. mouvement, considérons le» cas où deux points^.^tBt)u|]^lan^obiie^i98eut ëui'dèU): drcrities fixes ex, G¥^^. "M&y^Us i^erpdn^ • (Hcit\l|kim« AOet fiO,. Jinéné^ par ■^ç^^ ^m\» Ai eV B^ sxk^ drcâteBjCX,GY^déoratôspaj* ces poiQtSTil^ni^QQt parrleucintei;sectîpii, ;lu (Cûi>lre;<in8tanta«flié de XQt^i^rO. Jba droite mobilei >AJP najjaat i wne j lengueur consjliiaote» et Tangte AOB étanl coq£A^&t,^supplém6ntaite ou égala ?*arigfe G, le lieu dû
378 LIVAE V. COMPLÉMENT.
point dans le plan mobile est le segment capable de l'angle AOB construit sur la droite AB ; c'est la circonférence de cercle décrite sur CÔ comme diamètre. Ce diamètre CO ayant une longueur constante, le lieu du point dans le plan fixe est la circonférence de cercle décrite du point C comme centre, avec un rayon égal à CO. On peut se représenter le mouvement du plan mobile, eti faisant rouler le petit cercle sur le cercle double, à l'intérieur, sans glissement. On sait qu'un point quelconque M du plan mobile décrit une ellipse; la droite OM est normale à cette ellipse au point M ; une perpendiculaire à la droite OM est la tangente à Tellipse.
La cycloïde est la courbe décrite par un point M d'un cercle mobile roulant sur une droite fixe X'X{^y. 217). Le point de contact pig. 217.
du cercle mobile et de la droite fixe X'X étant le centre instantané de rotation, la droite OM est normale à la cycloïde au point M.
298. Théorème IV. Si ïon considère F enveloppe dune ligne située dans le plan mobile y la normale com,mujie à t enveloppe et à la ligne mobile passe par le centre instantané de rotation.
Une ligne À située dans le plan mobile {fig. 218) reste tangente, dans ses positions successives, à une ligne B située dans le plan fixe ; cette ligne B est ce qu'on appelle Y enveloppe de la ligne mobile A. Considérons les deux positions A et A' de la ligne mobile aux temps t et t + Ht; les deux lignes A et A^ se coupent en un point m'; soit m
MOUVEMENT GÉOMÉTRIQUE d'uN CORPS SOLIDE
lé point de la ligne A qui vient en m' au temps t peut amener la ligne A de sa première position à la seconde, en la faisant autour d'un certain point 0, d'un angle égal à l'angle mO,m\ Quand A^ tend vers zéro» le point d'intersection m' tend vers le ptoint M où Tenveloppefi touche la ligne A; en même temps la point 0^ tend vers le centre instantané de rotation 0. Puisque, les deux points m et m' se confondent, la sécante mm' devient tangente en M à la ligne A, et au cercle décrit du point comme centre avec OM pour rayon; on en conclut que le rayon OM est perpendiculaire à la tangente et par conséquent normal à la ligne A. Ainsi, la normale commune à la ligne mobile A et à Tenveloppe B, au point de contact M, passe par le centre instantané de rotation.
Le point de contact M de la ligne mobile A a une vitesse tangente à la ligne fixe B et égale à co X OM ; il y' a donc en même temps roulement et glissement de la ligne A sur la ligne B. La ligne S {fig. 215), lieu du centre instantané de rotation dans le plan fixe, est l'enveloppe de la ligne S', lieu de ce point dans le plan mobile ; mais, comme le point de contact est le centre instantané de rotation, la vitesse de ce point est nulle ; voilà pourquoi la ligne S ' roule sans glisser sur la ligne fixe S.
299. Remarques. Le mouvement du plan mobile est défini géométriquement quand on connaît, soit les trajectoires de deux points, soit la trajectoire d'un point et l'enveloppe d'une ligne, soit les enveloppes de deux lignes. A Taide de cesdeux conditionson pourra déterminer le centre
LltRK T. COMPLÉMENT.
iustautané dé rolatïoâ pouf chaque pôsitioù (lù p&h moiiile^'' et par suite conslruire la tangente à là (rajectoirëllébl'rte par un point qneloortqùe du plan'. Si Ton èherche renv^lôppé d*ùneligiié quelconque l^ituée dans lé plan mobile; ë'à 'menant du centre inslaritané de rotation une normale a c4M ligne, on aura'le poirit où elle est touchléé fJàr TeiiVeloppe. La conchotde est la courbe àééÛle par un lïoînt'Md'iiné droite qui tourne auioù^ d'un point fixe ï et dont im point A' àécvïi une droite BC (/?y. 2l9). Le'poiiit l'^èâï être regardé comme Tenveloppe de la droite mobile ; si Ton mène par le point 1 ùiie normale à la droite lA et par le point À uuç normale à la trajectoire BC, le point d'intersection de ces deux normales est te centre instantané de rotation ; la droite OM est normale à la conchoïde.
Mouvement d*un corps «olide autour d'un point fixe.
300. Tbéorème V^ Tout déplaceront d^un corps èoîide autour dun point fixe peut être produit par une rotaJLion autour dt un axe fixe.
' Lorsqiuian catps' sMide a un point fl\e {/ê^^^2W]:il * Hg. 2^(/. -^ éfet daipiiuelapoBitidnduccA'pS'^era ' fkrfaitement diétèi^ttilitieev^îTtottÔti- .nftJMqsfpQsitiQzi&dje 4^x éè besppfjatg.
Si l'on décrit une sphère ttu point coihme cëritre, avec uii raf (Si B^fbiti aifei toute figure silùW^fï*î"spiiëfe restera sur celte sphère dans le mouvement du cotj^é éàWàe
MOUVEMENT GÉQHÊFRI^YJEI.d'iJN ÇOBPS SOLIDE . ^i:
autour 4u poiatp. Soient A e\l B 4^ux points de I4 .$Vij*-: tacjBde la sph^rç dan^ la çreo^ière position dt^ ççrps sol^de^ A'^ et.B;.Ji6s mêmçS;poipts:dan^ la s^çondje go^j.Uo,9 j rare de gr^d cercle^ ^B, iavaria,blei , de Jppg^e>t\r9, > s'e^t; f'V,^}^p^Ofté eu A'B'. MenopS; desarcs.4Q,gr^]^#^çiqrçl?^fçivpendic^la^re^ai^ç les,njiÙeux.dç^ arc34p.g;'afld?.p^r9l^ AA'» BB'» qes. d^PjX arcS}Sç,pq^{)ei;pnt jçp i|ï;i,,p^qintjl. Les à^^x .triangjes, . .^pbé^rique^^IAB , Ifi'^y [SCfpt. , ^Sf^wi comme ayant ^çs.,tl]oi^ Ç!^tésé^au?.,Çib^çtMa à:cl?/E^q^p^,,$ijdes deux angles çg^iix, Â1.B, A'IB' pi^relrapcl^ela.paiîtie çpmmune A'IB, il reste, les (^eux angles pgaux AIA', BIB',^ Imaginons que l'on fi^^se tourper le corps solide aii^ovir de la dfoite 01, d'un^afigle égal à AIA^ le point A viendrjç en A'^ le pl>int B eif Ç', et pfir.smte le corps solide; sera amépé de sa première position à la seconde.
