Théorème VI. Lorsqu un corps solide semèut (fune
, manière quelconque autour âfun point fixe^ les vitesses
des différents points du corps solide, à chaque instant,
sont les mêmes que si le corps solide tournait autour dun
eertairi Q^e,^p.vçc^rt^/pi^(^^<^ angié{mr^ d^terr^if^e. , ^
Considérons les positions du corps solide àù temps i et au temps ^ + A^. Soit M un pomt quelconque du corp6^-dapS;Sa prapaièr^ position j.iW' tejmênjpîpoi^t dans sjBtsepOiftdo positipï3i,(^jf{. 85^t)!.3a vitesse moyenniev,, que r)OUS.F,eprése«tieroiji& çaTiMA»,' fif^^ ;dfrigée suivant MM' et
égale à' ^^-ï^. Eu verlttdtt' théorème précédent,:on peut
aRiener le qorps $ol)de de |a première position à la seconde, en Je fs^i^^^nt tçnri^^r Wtour, d'v^pe, certaine droite OL, d'un ande 0; dans ce mouvement, le, point M décrit un
383 LITRE T. i:0}ffi|4lf$KT«
arc de cercle MM' ayant pour rayon la perpendiculaire MC, abaissée du point M sur l'axe de rotation OL,. Si l'on fait diminuer A^jusqu à zéro, l'axe de rotation OL. tend vers une position limite OL, qui est ce qu'on appelle Vaxe in-^ Uantané de rotation au temps ty la p^rpei^dioulaire MC, deviôut la perpendi-r ciàlaire MC abaissée du point M sujp Taxe instantané OL; ia' sécante MM' devient tangente au cercle, et par conséquent perpendiw^ laire au rayon CM, dansle plan du cercle qui. est perpendiculaire à OL; la vitesse MA est donc perpendiculaire uu plan mené par le point M et Taxe instantané OL^ On a d'ailleurs
cordeMM' corde MM' Q ..r^m,
et par suite v »= « x CM-
Ainsi, la vitesse du point M est la même que si le corps solide tournait autour de Taxe instantané OL avec la vitesse angulaire w.
A chaque instant, il y a dans le corps solide une infinité de points dont la vitesse est nulle ; le lieu de ces points est l'axe instantané de rotation.
Si Ton' considère le lieu de Taxe, instantané de rotation dans l'espace, et le lieu de ce même axe dans le corps solide, on aura deux cônes, Tun fixe, l'autre mobile, et Ton verra, comme précédemment, que Ton peut se représenter le mouvement du corps solide en faisant rouler le cône mobile sur le cône fixe, sans glissement.
MOUTEMENT GÉOMlTRiOnE d'uN CORPS SOLIDE. 583
VoiiTcnieal d'un eor|p« foUde libra.
302. Tqéorèhe VII, Tout déplacement dun corps solide peut être produit par une translation et une rotation.
Considérons deux positions d'un corps solide libre dans rtespa«e. Prenons un point arbitraire dans le corps solide et soient et 0' les deux positions de ce point \fig. 222) ; imaginone que Ton donne à tous les points du pig. 22^. corps un déplacement égal et parallèle à 00'; ce sera un mouvement de translation; il suffira ensuite, pour amener le corps dans la position qu'il doit occuper, de regarder le point 0' comme fixe et de faire tourner le corps autour de ce point fixe; mais on sait que ce second déplacepaent peut être produit par une rotation autoyr d'un axe fixeÔ'L. Ainsi, on amène le corps soliije de sa première position à la seconde, par une translation égale au déplacement 00' de l'un de ses points,, et par une rotation autour d'un axe passant par ce point.
303. Remarque L On peut faire en sorte que la rotation s'accomplisse autour d'un axe parai- Fig. 223.
lèle à la translation. Par les points «
et 0' menons des plans P et P' perpendiculaires à Taxe de rotation O'L {fig. 223). Décomposons le déplacement 00' eii deux déplacements, l'un 00, parallèle à Taxe O'L, l'autre 0,0' perpendiculaire à l'axe et par consé- ' '
quent situé dans le plan P'. Nous amènerons le corps solide de sa première position à sa seconde position en
584 LIVRE V. GOXPLÉIfBNT.
lui donnant d'abord la translation 00,, puis la translation 0,0', et le faisant tourner ensuite autour de OTL- La première translation amène le plan P sur le plan parallèle P' ; la seconde translation 0,0' fait glisser le plan P sur lui-même, de même que la rotation autour de Taxe i
perpendiculaire O'L. Ces deux derniers mouvements ne font que déplacer le plan P'dans son propre plan; mais |
on sait qu'un pareil déplacement peut être produit par i une rotation autour d'un point fixe I' du plan, ou, ce qui I est la même chose, autour d'un axe l'K perpendiculaire au plan. De cette manière on a une translation 00, et une rotation autour d'un axe lE parallèle à la translation.
La droite IK glisse sur elle-même, et, en même temps, le corps tourne autour de cette droite. Ce double mouvement est analogue à celui d'une visdansson écrou. Toute autre droite, telle que 00,, parallèle à Taxe IK» glisse sur elle-même de la quantité 00, égale à II', et en même temps se déplace parallèlement à elle-même, de manière à» venir occuper la position O'L. Si cette droite glissait simplement sur elle-même, comme la droite IK, le mouvement général du corps solide serait un mouvement de translation» sans rotation. Ainsi la droite IK, que nous appellerons arc central, est une droite parfaitement déterminée, appartenant au corps solide, ou liée invariablement à ce corps.
304. Remarque II. Pour effectuer le déplacement du corps solide par une translation et une rotation, nous avons pris un point arbitraire dans le corps ; la translation 00' est le déplacement même de ce point; la rotation s'accomplit autour d'un axe O'L passant par le point 0'. Il est à remarquer que, quel que soit le point du corps «pe Ton ait choisi. Taxe de rotation a une direction constaole,
M0UVEMfiNT.pÉ9JMl|lTWW*^ P N^^ .99^^^ SOLIDE. 58.5
etil!aj3glç.(ieTptatio|ii, jiflei \^Mpw: QO^sta^te^ Op ya^jf déjà gipe Va^e,-dç,^rQta,ti9P Q'J^ jijv^.co.wspQpd att^oiat O^^est pi^jallèle^à^ r^Xje.çe^tç^JK, Il ^ppit^defliRQtr^gue, l'angle de,ro^aîfQï?..ç8t le mêine, £^vitqyir,.de, p%. .et, autour de ]^ Q^É|n4iO^,dQ^^a au. çp^ps.la tr^d^t^Qj;! ly, le gpiat vient SP O^r ^3cç$. ^mvrèj^mmé J[^|4éplAçeia^t ,Q0^ > é§jal et,pa-
,^ 0.',4W3 1^ jp.o^iURo qtt'M4ftit. iOecifp^r.; Ta^le de rp^ta: tiûn^i:\tqur de IK; est dope 0,rOM}'au trie .part, quaod oj;i 4pj^ne au çoyps ]^ tr^psl^» 00;^ le ppi^jt Lyi.eat en;l,, §pyè^,ayQir,épi;9^iv4i^A <J4P^^^ ég^l et çar^lèle à
00' ; li^, rot^tipp.^ijttoui; de ï^iud 0/L l^'^mèfi^j^n^uite daji3 l^pp^tiûii r, qu'il 4oit Q^a^pçr; l'^^ngl^de Eptation autour 4ç,Q,'l« fist doue. l^OUV Les deux 'droite^ l'O,? IiO%<jétaut 4g84es et^p^rallèle^àiPySPQt par?^llèl^s^eatre çUes^etp^r .conséquent les de^i^ su^gie^ aftewes-j^ï^teiiues 0^1 '0', }J)'l SQUt, égaux* AiAsi, ra^e,4^ï*atfttL0û 4. u»e ilirection con- ^t^ç et l'angle de rotatiojp. est copstwt. La trau^f^tion .e^t yftrjiaWe avepla po&itiw. ç|u point P;.e^lç est n^ipi- .n^uj» ppur le§ pçpts d^ Taxe ceptirsil IK., , .,j , .
.505. Théoi^ème VIQ; Dans le, mouvement ^un corps solide^ ta vitesse ^un poifit qicèïconque^ à çhagiœ instant, est lamême que si te corps avait une vitess^ de translation égale et parallèle à celle ^ un point choisi arbitrairement dans le corpS;, et tournait autour^ dy^ ojxe posant par ce point avçc une vitesse angulaire déterminée. , ,
-r : Gcwaiidérow les .poMÛoDs 4ti qppp^ ^Mf^ ^|i lieflip^ i . et f^ii: tempg;^ +iàti Pxmm^ ^ un» p^int , ajjbitrfiif e • dans : le ^iDotjps ^lJ4e> eV$pieiQt Q.^t O' le^ deux positions de ]Ç^ point; îaoM^^a^lKftn^M^qi^'çnrPffAt awnqf te.qçiifps 4e §ii/pi:<?.iBiè^^e
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