Nous avons supposé dans ce qui précède que les
18 UVRS I. jCINÉIfATIQlW'
deux mouvements proposés s'efiFectueut daijs le même sens. Supposous mainteaaut qu'ils s'efifectuent eu sens contraires ; le mobile se meut sur la droite dans le sens X'X avec la vitesse v, tandis que la droite marche en sens contraire avec la vitesse v'. Il y a deux cas à distinguer, suivant que la vitesse v est plus grande ou plus petite que v'. Pendant le temps f, le mobile parcourt sur la droite la longueur MM' égale à re; pendant ce même temps, la droite rétro- Fig. 11. grade de la quantité M'M'^ égale
M y M' à v't. Dans le premier cas, le *' * premier déplacement étant plus
grand que le second (fig. 11), on a
MM'^=MM'-M'M"=(v-t?') t.
Le mouvement résultant est uniforme, dans le sens X'X, et Ton a .
Dans le second cas (fig. 12), le second déplacement étant plus grand que le premier,
MM"=M'M"«.MM' = (t)'-^t?) .
Le mouvement résultant est dirigé dans le sensXX', et Ton a
Ainsi, quand les deux mouvements sont de sens contraires, le mouvement résultant s'exécute dans le sens de celui qui a la vitesse la plus grande, et la vitesse de ce mouvement résultant est égale à la différence des vitesses des deux mouvements proposés.
On peut comprendre ces différents cas dans un même
FW< iS.
on a
GOBiPOsmoK OIS vnvMKs. i9
énoncé* Si l'on regarde comme positivée les vitesseg des mouvements qui s'exécutent dans un certain sens, dans le sens X'X, par exemple ; comme négatives celles des mouvements qui s'exécutent en sens contraire, on peut dire que la vitesse du mouvement résultant est égale à la somme algébrique des vitesses des mouvements proposés, et l'on a la formule générale
Il est un cas particulier qu'il est bon de remarquer, c'est celui oii les deux mouvements proposés sont de sens con*traires et ont des vitesses égales ; dans ce cas, les deux déplacements MM% M'M'^ étant égaux et de sens contraires, le point M'^ coïncide avec le point M; le déplacement résultant est nul, et le mobile reste immobile au même point du système B.
19. On a des exemples fréquents de semblables compositions de mouvements. Un bateau descend un fleuve ; désignons par v' la vitesse du courant, et par t? la vitesse que les rames impriment au bateau, c'est-à-dire la vitesse que posséderait le bateau s'il était dans une eau immobile, comme celle d'un lac. Le bateau descend donc le fleuve avec une vitesse propre t ; eu même temps, il est emporté par le courant avec la vitesse t?'; ces deux mouvements s'ajoutent, et le bateau parcourt dans le temps t l'espace {v + v')L Le mouvement résultant, dont la vitesse est V •+v\ est celui que voit un observateur placé sur la rive.
Pour que le bateau puisse remonter le fleuve, il faut que sa vitesse propre v soit plus grande que celle du courant w', et alors il s'avance avec la vitesse v — 1>', Si la vi-
20 LIVRE I. CINÉMATIQUE .
tesse du bateau était moindre que celle du fleuve, il serait entraîné par le courant avec la vitesse v'— r. Enfin, si les deux vitesses étaient égales, le bateau resterait immobile au milieu du fleuve, sans avancer ni reculer.
Conpoiittoii de deoz moaTenMota reetUIgnet ▼arlé* •nWant la même droite.
20. Nous avons composé deux mouvements rectilignes s'eflFectuant suivant la même droite, quand ces mouvements sont uniformes. Supposons maintenant les mouvements variés. Soit M la position du mobile sur la droite X'X Fig. 13. au temps t, MM' le déplace-
M m; m; ment qu'éprouve ce mobile
sur la droite pendant l'intervalle de temps At, M'M'' le déplacement de la droite pendant le même temps ; on a, si les deux mouvements s'effectuent dans le même sens,
MM" = MM'-hM'M^
en divisant par Ar, on en déduit
MM^^^MM' M'W\ At ~ Af Ae '
ce qui montre que la vitesse moyenne du mouvement résultant est la somme des vitesses moyennes des deux mouvements proposés. Si Ton fait décroître Tintervalle de temps At jusqu'à zéro, les vitesses moyennes ayant pour limites les vitesses au temps I, on en conclut que la vitesse du mouvement résultant est égale, à chaque instant, à la somme des vitesses des deux mouvements proposés au même instant.
Quand les deux mouvements sont de sens contraires, on démontre de la même manière que la vitesse du mouvement résultant est la dififérence des vitesses des deux premiers mouvements. En attribuant des signes aux vitesses, comme nous l'avons expliqué, on peut dire que la vitesse du mouvement résultant est égale, à chaque instant, à la somme algébrique des vitesses des mouvements proposés.
Cette loi peut être étendue à la composition d'un nombre quelconque de mouvements rectilignes s'effectuant suivant la même droite, dans un sens ou dans l'autre. Si Ton regarde comme positives les vitesses dirigées dans un sens, comme négatives celles qui sont dirigées en sens contraire, on dira que la vitesse du mouvement résultant est égale, à chaque instant, à la somme algébrique des vitesses des mouvements proposés.
Composition de deux mouTements rectUisnes et nniformea dans deux direotions qneloonquet.
21. Après avoir composé les mouvements rectilignes s'effectuant suivant la même droite, occupons-nous de la composition de mouvements quelconques, et d^abord considérons deux mouvements rectilignes et uniformes dans des directions différentes. Voici comment on peut se représenter ces deux mouvements simultanés : Imaginons qu'un mobile se meuve uniformément sur la droite OX (/îff. 14) avec la vitesse t?, tandis que la droite OX se déplace parallèlement à elle-même , de manière que son point se meuve uniformément sur la droite OY avec la vitesse v';le mouvement de la droite OX est un mouvement de translation rectiligne et uniforme. Soit OX la position de la droite mobile au temps t=0, c'est-à-dire à
23 LIVRE I. GINÉMATIQUIS.
Tinstant à partir duquel on compte le temps, et suppo- Fig. u. ^^^^ 9^'^ ^^ moment le mobile soit au
f point 0. Après t secondes, le mobile aura parcouru sur la droite OX une longueur OP égale à vl ; pendant ce temps la droite OX se déplace parallèlement à elle-même; son point décrit sur OY la longueur OQ égale à v't et la droite occupe la position QX^ ; le point P de cette droite, où se trouve alors le mobile, vient en M, après avoir éprouvé un déplacement FM égal et parallèle à OQ. Ainsi, par la composition des deux mouvements, (e mobile, au temps ^, se trouve en M.
On déterminera de cette manière la position du mobile à un moment quelconque. Après t' secondes, le mobile a parcouru sur la droite OX la longueur OP' égale à vt'; pendant ce temps le point de cettç droite décrit sur OY la longueur OQ' égale à v't\ et la droite se transporte en Q'XV» le point P' de cette droite, où se trouve alors le mobile, vient en M', après avoir éprouvé un déplacement VW égal et parallèle à OQ'. Ainsi, au temps ^', le mobile est en M', Nous avons, d'une part,
OP«:t?<, OQ«:PM=«t)'l;
d'autre part,
OV'—vt', OQ'=P'M'=t)'r.
On en déduit les rapports égaux
OP PM t
GOMPOsrrioif des vitesses. 23
Menons les droites OMet OM'; le triangle OP'M' est semblable au triangle OPM, comme ayant Tangle P' égal à Tangle P et compris entre deux côtés proportionnels; l'angle P'OM' est dope égal à l'angle POM et la droite OM' coïncide avec OM. On en conclut que les positions successives M, M^ ...^ du mobile appartiennent à une même droite OM; ainsi, le mouvement résultant est rectiîigne.
Les mêmes triangles semblables donnent
OM OP£ OSr~OP~<''
Les longueurs OM, OM', parcourues par le mobile dans les temps >« et i\ étant proportionnelles aux temps, on en conclut que le mouvement résultant est uniforme.
Cherchons enfin la vitesse V du mouvement résultant. Si Ton suppose que le temps t soit égal à l'unité de temps, c'est-à-dire à une seconde, les longueurs OP et OQ représenteront les vitesses v. et v' des deux mouvements proposés; la droite OM est la longueur parcourue par le mobile dans le mouvement résultant, c'est-à-dire la vitesse V de ce mouvement résultant. Âhisi, le mouvement résultant de deux mouvements reclilignes et uniformes est un mouvement rectiîigne et uniforme^ et la vitesse de ce mouvement résultant est représentée en grandeur et en direction par la diagonale OM du parallélogramme construit sur les vitesses OP et OQ des deux mouvements proposés.
22. Revenons à l'exemple du bateau : supposons que le bateau s'avance sur le fleuve d'un mouvement rectiîigne et uniforme avec la vitesse OA, tandis que le courant l'entraîne avec la vitesse OB {fig. 15); le mouvement résultant s'accomplira pendant la diagonale OC et avec
