Revenons au cas général. Si l'on projette sur une

LtfRB U CmÈIÊàmiOE.

droite quelconque la ligne brisée OÂBGD (/Ijf.âS), on sait Fig. 33. que la projection de la résultante OD

est égale à la somme algébrique des projections des diflEérents côtés de la ^B ligne brisée. Ainsi, la projeeUon de la vitesse résultante sur une droite quelconque est égale à la somme algébrique des projections des vitesses composantes.

Ce théorème est vrai> que les projections soient obliques

ou orthogonales.

On peut, à l'aide de ce théorème, déterminer par le cat-

cul la vitesse résultante. Menons trois axes rectangulaires

ox, oy, oz (fig. 24). Désignons par v la première vitesse, et par a, b, c les angles qu'elle fait avec les axes; par v' la seconde vitesse, et par a\ b\ c' les angles qu'elle fait avec les axes, etc. ; appelons V la vitesse résultante et A, B, C les angles qu'elle fait avec les axes. En projetant orthogonalement sur chacun des trois

Fig. 2i,

axeS; on a

!V cos A = V cos a + v' cos a'+ v'^ cos a'^ + . • . V cos B = r cos 6 + v' cos b'+ v'' cos 6'^ + ... V cos C = V cos c + v' cos c'+ v" cos ç'^ + ...

En joignant à ces trois équations la relation connue

(2) cos* A + cos» B + cos» C= 1 ,

on a quatre équations pour déterminer les quatre inconnues V, A,B , C. Si l'on élève au carré les deux membres <]es trois premières équatiws et qu'on les ajoute mem-

G0»0S1T!0N BES VITTOSES. 51

bre à membre, où a, en tenant compte de la quatrième,

(3) V*=(v cosa+v' cosa'+...)*+(v cosft+t?' cos 6'+...)* + («cosc + v'cosc'h- ...)*.

iUne fois que Ton connaît la grandeur \ de la vitesse résultante, les trois équations (1) donnent les angles A, B, G et, par conséquent, déterminent sa direction.

27. Il est clair que la grandeur de la résultante ne dépend que de la grandeur des vitesses composantes et des angles qu'elles forment deux à deux ; le second membre de 1 équation (3) doit donc être indépendant delà position deg axes choisis pour effectuer le calcul» C'est ce qu'il est facile de reconnaître : si Ton efiectue les carrés et que l'on groupe convenablement les termes, il vient

V*=^t;* (cos* a+ cos* 6+ cos* c)+v '*(cos* a'+ cos* 6'+ cos* c') * + ... 4- 2t5t)^(cosa cosa'+ cos6 cos 6'+ cosc cos c')+... ,

ou» plus simplement,

V*==tJ*+!?'2+t>''«+...+2tW'COS(t),t?')+...

Le carr^ de la résultante est égal à la somme des carrés des composantes^ plm deuss fois la somme des produits que Ton obtient en multipliant ces composantes deux à deux et par le cosinus de l'angle qu'elles forment entre elles.

Pour deux vitesses, on a la relation

V«=:t)^ + t)'« + 2w'cos(r, v% que nous avons déjà trouvée. Pour trois vitesses, on a, Y»«=i>« + v'*-^«"* + 2t?t)'co8(t), c') + 2vVcos(t)', x^)

•+^aiî"!>COBK, V). . • « *

3S LITRE 1. CINÉMATIQUE.

■ottTemwito apparents.

S8. On connaît le mouvement d*un mobile dans le système B et celui du système A dans le système B ; on demande quel est le mouvement du mobile par rapport aux points du système À ; c'est ce mouvement que verra un observateur placé dans le système À ; voilà pourquoi on rappelle momement apparent. U est clair que le mouvement du mobile par rapport au système B est le mouvement résultant du mouvement du mobile par rapport au système À et du mouvement du système A dans le système B. C'est la question inverse de celle que nous avons traitée précédemment. Soit M la position du mobile au temps t dans le système A et dans le système B, M*^ le point du système B, où se trouve le mobile au temps c+ Af ; M'ia position ^' au temps t du point du système A

qui au temps t+Ht vient en M^; d'après ce qui a été dit, MM' sera le déplacement apparent ou relatif du mobile dans le système A. Si le système A a un mouvement de translation dans le système B» on peut dire que M'M' est le déplacement du système A dans le système B, pendant le t^mps Af ; le déplacement apparent MM' du mobile dans le système A peut être considéré conune la somme géométrique du déplacement MM'^ du mobile dans le système B et d'un déplacement M'^M' ^al et contraire au déplacement M'M'^ du système A dans le système B. On obtiendra donc le mouvement apparent du mobile dans le système A, en regardant le système A comme fixe et imaginant que le système B ait, par rapport au système A,

un mouvement de translation égal et contraire à celui du système A dans le système B.

29. Si MA {fig. 26) est la vitesse apparente du mobile dans le système A au temps t, AB la pig. j^.

vitesse du point du système A où se trouve le mobile à cet instant, la somme géométrique MB sera la vitesse du mobile dans le système B. Réciproquement, la vitesse apparente MA au ^

temps t est la somme géométrique de la vitesse MB du mobile dans le système B et d'une vitesse BA égale et contraire à la vitesse AB du point du système A où se trouve le mobile au temps t.

30. Considérons, par exemple, deux bateaux se mouvant sur un lac tranquille. Chacun d'eux a un mouvement rectiligne et uniforme ; on demande le mouvement du second par rapport au premier. Soit M la position du premier bateau au temps t {fig. 27), MA sa vitesse, M' la position du second bateau au même pj^, ,7.

instant, M'A' sa vitesse; si à la vitesse M'A' du second bateau on ajoute une vitesse A'B' égale et contraire à la vitesse MA du premier bateau, la somme géométrique M'B' sera la vitesse relative du second bateau par rapport au premier. Les personnes placées sur le

premier bateau croient que le second marche dans la direction M'B'.

De même, si à la vitesse MA du premier bateau on ajoute une vitesse AB égale et contraire à celle du second,

34 LITRE I. cnffiMATiaue.

CD a la vitesse relative MB du premier bateau par rapport au second. Les personnes placées sur le second bateau voient le premier marcher dans la direction MB. A cause des triangles égaux MAB, M'A'B', nous remarquons que les deux vitesses relatives M'B\ MB sont égales, parallèles et de sens contraires.

Si les deux bateaux se mouvaient sur des droites parallèles avec la même vitesse, la vitesse relative serait nulle; les personnes placées sur l'un d'eux verraient l'autre immobile. C'est ce qu'on observe sur les chemins de fer ; quand deux trains marchent sur deux voies parallèles, avec la même vitesse et dans le même sens, les personnes qui sont dans Tun des trains et qui regardent l'autre ne s'aperçoivent pas du mouvement général de translation de tout le système.

31, A cette question se rattache la suivante: un premier bateau est en M et marche dans la direction MA {fig. 28), avec la vitesse v représentée par la longueur MA ; , Fig. 28. un second bateau placé en

M'est animé d'une vitesses' que lui impriment les rames ou la vapeur. Quelle direction faut-il donner à ce second bateau pour qu'il atteigne le premier, par un mouvement rectiligne et uniforme ? Si l'on cherche la vitesse relative du second bateau par rapport au premier, il faut évidemment que cette vitesse relative soit dirigée suivant la droite M'M. Prenons la droite MTB égale et contraire à MA ; du point B comme centre, avec ^ un rayon égal à v', décrivons un arc de cefrcle qui coupera la droite M'M en un point C, et ache-

COMPOSmC»! DES VITESSES. 35

Tons lepargrllélogràœme M'BCA'; on dirigera le second bateau suivant la droite M'A'. En effet, M'C est la vitesse relative du second bateau par rapport au premier; tout se passera donc comme si, le premier bateau restant immobile en M, le second le poursuivait avec la vitesse M'C;

il l'atteindra donc après uû temps marqué par Tr7Tr..En

réalité, le premier bateau marchant dans la diteotion MA, Je second dans la direction M'A' avec la vitesse M'A'» la rencontre aura lieu au point D^ après le temps indiquée