DÉFINITION DE L* ACCÉLÉRATION
minue de plus en plus et tende vers zéro, le rapport-v^, ou
l'accélération moyenne, tendra vers une limite finie et déterminée. Cette limite est ce qu'on appelle l'accélération du mobile au temps t.
La vitesse v étant une fonction du temps, on voit que l'accélération y du mobile à chaque instant est égale à la dérivée de la vitesse v par rapport au temps t. La vitesse étant elle-même la dérivée première de l'espace x par rapport au temps, l'accélération est la dérivée seconde de l'espace. On a donc
Par exemple, si, dans un mouvement rectiligne, Tes*pace parcouru est proportionnel au cube du temps, on a
y = 6al.
La vitesse est proportionnelle au carré du temps, et l'accélération proportionnelle au temps*
DéBidtiDi» âm l*«eoèltoifloii dami un monTement ovrrlligAe.
37. Considérons maintenant un mouvement curviligne quelconque. Soit M la position du mobile au temps t, MA sa vitesse; M' la position du mobile au temps t+àtj M'A' sa vitesse (fig. 50). Par le point M menons une droite MB égale et parallèle à M'A', et joignons AB; la vitesse l^du mobile au tomps t + ùkt étant la résultante des deux vitesses MA et AB, on peut dine^que AB est la variation qu'éprouve pendant le temps Af la vitesse considérée
40 tlVRE 1 . €IIIÉlf ATIQOB .
Ffg. 10.
oommB une grandeur géométrique. Nous donnerons à cette quantité ÂB le nom de variation giomé^ trique de la vitesse, pour bien la distinguer de la variation purement numé-
AB rique; Le rapport — est ce qu'on appelle l'accélération
moyenne pendant le temps A( ; on la représente par une grandeur géométrique ÂG, portée dans la direction AB. Yoict l'id^ qu'on peut se faire de l'accélération moyenne : imaginons un système de points ayant un mouvement de translation rectiligne et uniforme, suivant la droite MA, avec la vitesse MA, et supposons que, dans ce système, un mobile ait un mouvement rectiligne uniformément accéléré dans la direction AB, avec une accélération égale à
AB
—, sans vitesse initiale; après le temps A^, le mobile
aura dans le système la vitesse AB, et la vitesse du mouvement résultant sera MB.
Concevons maintenant que Tlntervalle de temps At tende vers zéro, Taccélération moyenne AG, tendra vers une limite AG. Cette quantité géométrique AG, Kmite de raccélération moyenne, est ce qu'on appelle VaccélératUm du mobile] au temps t. On peut, si Ton veut, représenter Vaccélération au temps t par une droite MK, égale et parallèle à AG, menée par le point M*
58. On ramène facilement la définition de raccélération à celle de la vitesse. Par un point arbitraire {fig. &i), menons une droite Oa^ égale et pairsdièle à la vitasseMA
]>Ên»mON DE L'ACCiLÉRATION.
du mobile proposée au temps t, une droite Oa' égale et
parallèle à la vitesse M'A' au temps pig. si.
t + A/, et ainsi de suite. La droite
Oa , tournant autour du point 0«
engendrera une surface conique »
et le point a décrira une certaine
courbe sur cette surface conique.
Le triangle aOa' ayant ses côtés
égaux et parallèles à ceux du triangle AMB, la droite aa'
AB
est égale et parallèle à AB; l'accélération moyenne -^
ou A6^ du premier mobile devient ainsi la vitesse moyenne
-r— OU ajf, du second mobile. Or, quand àt tend vers zéro,
la vitesse moyenne du second mobile tend vers une limite ag^ qui est la* vitesse de ce mobile au temps t; l'accélération moyenne AG. du premier mobile tendra donc vers une limite A6, égale et parallèle à ag. Ainsi l'accélération du premier mobile correspond à la vitesse du second.
39. Pour donner une application de cette manière de figurer TaccélératioD, nouscbercheronsi'accélération dans le mouvement circulaire uniforme. Désignons par r le rayon OM du cercle ifig. 32) et par v la vitesse ; il faut bien comprendre d'abord que la vitesse, quoique ayant une valeur numérique eonstante, est une quantité géométrique variable, parce qu'elle change sans cesse de direction ; c'est pour cela qu'il y a une accélération dans le mouve* ment circulaire uniforme. Menons par le ceutre du cerole me droite Oa égaie
hVrU 1. GDIÊIUXIQUS.
et parallèle à la vitesse MA du mobile proposé ; le point a décrira aussi un cercle d'un mouiremeat uniforme. Les deux cercles étant décrits dans le même temps, les vitesses des deux mobiles sont proportionnelles aux circonférences ou aux rayons ; on a donc
v~OJA~~r'
d'où
Ainsi la vitesse du second mobile est égale à -. Cette
vitesse ag est perpendiculaire à Oa et par conséquent parallèle à MO ; pour avoir l'accélération du mobile proposé au point M, on prendra sur le rayon MO une longueur MG
égale à — . On en conclut que, dans le mouisement circulaire uniforme, Taccélération est constamment dirigée vers le centre et égale à —, c'est-à-dire au carré de la vitesse divisé par le rayon.
40. Considérons un mobile décrivant une courbe quelconque dans l'espace; soit MA (fig. 33) la vitesse du mo*
bile au temps ^ MB sa vitesse au temps ( + Ht. Projetons le nlobile sur une droite XX' ; aous savons (n'' 13) que les vitesses PA' et PB' du mobile projection, aux temps i et t + At, sont les projectioa9
DÉPmiTIOM DE L'AGCÊLteik'nON.
des "vitesses MA et MB du mobile proposé ; il en résulte que la variation de vitesse A 'B' qu'approuvée le mobile projec* tion peDdant le temps Ai est la projection de la quantité géométrique AB qui représente la variation géométrique de la vitesse du mobile proposé pendant le même temps.
AB
L'accélération moyenne — est représentée par une longueur AG portée sur AB; soit A'G' la projection de cette longueur, on a
A^G^„.AG 1 A'B'~AB~Ar
et par suite A 'G' = -r—-.
Ainsi Taccélération moyenne du mobile projection est la projection de l'accélération moyenne du mobile proposé. Si l'on fait tendre vers zéro Fintervalle de temps A^ on en conclut que f accélération du mobile projection est^ à cha^ que instant, laprojection de ^accélération du mobile proposé.
AG = -x^ du premier mobile
A\. he même théorème a lieu quand on projette sur
xm plan. La variation géométrique AB de la vitesse du
premier mobile pendant le
tomjps AS( a pour projection la
variatioa géométrique A'B'
dusecoudmobile; ilenrésuhe
que raooélération moyenne
AB
Ae
a pour projection Taceéléra*
A'B' tion moyenne A'G'=---rj- du second mobile. On en con-
44 LIVRE I. GINÉHATIQUE.
dut que l'accélération du mobile projection est, à chaque instant, la projection de l'accélération du mobile proposé.
42. On peut ramener l'étude d'un mouvement curvirig. 85. ligne dans l'espace à celle de trois
mouvements rectilignes. Menons trois axes rectangulaires Oop, Oy, Oz (/ijf. 35) y et projetons le mobile orthogonalement sur chacun de ces trois axes. Chacune des projections P,QyR aura un mou»
^^ vement rectiligne sur l'un des
axes. Les trois distances OP, OQ, OR, que l'on désigne par a;, y, z, en les affectant des signes convenables^ sont des fonctions du temps
Si Ton connaît ces trois fonctions, on connaîtra à un moment quelconque .e les trois coordonnées x, y^ % du point H et par conséquent la position du mobile dans l'espace au temps ^ Les dérivées premières de ces trois fonctions par rapport au temps donnent lès vitesses des trois projections ; mais on sait (n^ 13) que la vitesse de chaque projection est la projection de la vitesse du mobile proposé. Si donc on désigne par \> la vitesse MA du mobile au temps I, et par a, 6, o les angles qu'elle fait avec les axes, on aura
t>cosa=:D|a?,
(2) { t)cos&=D,y,
DÉFUfmo» DE l'accélération. 45
En joignant à ces trois équations la relation habituelle
co8«a+cos«ft + cos* c=l,
on aura quati*e équations qui détermineront la grandeur et la direction de la vitesse MA.
De même, les dérivés secondes des trois fonctions x.y^ z par rapport au temps donnent les accélérations des trois projections; mais on sait (n® 40) que l'accélération de chaque projection est la projection de Taccélération MG du mobile proposé. Si donc on appelle y cette accélération M6, et a', if, c' les angles qu'elle fait avec les axes« on a les trois équations
Iycosa'=D|*a?, ycosi'=D;y, yCOSc'=D,'«,
qui, jointes à l'équation
cos« a' H- cos* b' -+■ cos* c' = 1 ,
déterminent l'accélération MG en grandeur et en direo tion.
Nous avons déterminé l'accélération par ses projections sur trois droites rectangulaires ipielconques. On l'obtient d'une manière plus simple en la projetant sur certaines droites liées intimement à la courbe que décrit le mobile, ainsi que nous allons le faire voir. Mais quelques explications préliminaires sur les propriétés des courbes nous sont nécessaires.
LITRC I. GUIÉIlATtOnE.
[Plan osonlatour. B
Fig. 36.
43. Considérons une courbe gauche dans l'espace, c'est-à-dire une courbe non plane; les tangentes MA, M'A' (fig. 36) en deux points, même très^voisins M et M', ne se rencontrent pas et ne sont pas situées dans un même
plan ; par le point M menons une parallèle MB à la tangente voisine M'A', les deux droites MA et MB déterminent un plan; imar ginons maintenant que le point M' se rapproche indéfiniment du point M% la droite MB tournera autour du point M et se rapprochera de MA; pendant ce temps, le plan AMB tournera autour de la tangente MA et tendra vers une position limite ; cette position limite est ce qu'on appelle le plan oseulateur à la courbe au point M.
Il est facile de faire voir que 1© plan AMB tend effectivement vers une position limite déterminée. Si, par un point arbitraire Oifig^ 37), comme noua l'avons fait déjà, on mène des parallèles Oa , Oa' , à ces diverses tangentes MA, MA' à la cduAe proposée, la droite Oa engendrera une surface conique ; le plan aOa' est parallèle au plan AMB ; or le plan aOa' tend vers une position limite qui est le plan tangent à la surface conique le long àé l'arête Oa; le plan parallèle AMB tend donc vers une position limite parallèle à ce plan tangent.
Fig. 37
DÉFDirriON DE L'AGGÉi<ÉRATION. 47
L'accélération moyenne AG, étant située dans le plan AMB« il en résulte que Taccélération A6 ou MK au point M est située dans le plan osculateur à la courbe en ce point.
Quand la courbe est plane, le plan AMB est fixe^ le plan osculateur en chaque point coïncide avec le plan de la courbe. Dans ce cas, Taccélération est constamment située dans le plan de la courbe.
44. Par le point M d'une courbe, on peut mener une infinité de perpendiculaires à la tangente MA ; chacune d'elles est une normale à la courbe; l'ensemble constitue le plan normal. Celle des normales qui est située dans le plan osculateur s'appelle normale principale; c'est l'intersection du plan normal et du plan osculateur. Quand la courbe est plane, la normale principale est la normale située dans le plan de la courbe.
Covrbnre.
45. Occupons-nous maintenant de la courbure. Considérons d'abord un cercle et supposons qu'un mobile décrive le cercle dans un certain sens; menons les tangentes en deux points M et M' ; l'angle AÏA'(/îgi, 58) de ces deux tangentes, prises dans le sens de la vitesse, est ce qu'on appelle Vangle de contingence relatif à l'arc MM'; cet angle est égal à l'angle au centre MCM' formé par les rayons qui aboutissent aux deux extrémités de l'arc. Il est clair que, dans un même cercle,
48 UTRE I. GINÉIUTIQUE.
à des arcs égaux correspondent des angles de contingenoe égaux entre eux; on appelle courbure de la circonférence Tangle de contingence qui correspond à l'unité d'arc, ou, ce qui est la même chose, le rapport de Tangle de contingence à la longueur de l'arc. Désignons par r le rayon du cercle; l'angle de contingence a est mesuré par la longueur de l'arc aa' dans le cercle dont le rayon est égal à l'unité; on a donc
Ainsi la courbure d'un cercle est mesurée par l'inverse du rayon. Quand le rayon devient deux, trois ... fois plus grand, la courbure devient deux, trois .*• fois plus petite.
