Considérons une courbe plane quelconque; l'angle de
contingence a relatif à Tare MM' est Fangle AIA' {/ig. 39)
Fig.39. formé par les tangentes aux deux
M 1 A extrémités de cet arc; le rapport
jr|r77 est ce qu on appelle la courbure moyenne de l'arc MM'; c'est la courbure du cercle sur lequel un arc égal à MM' présente le même angle de contingence. Si l'on fait
tendre l'arc MM ' vers zéro, le rapport rj^, ou la courbure
moyenne de l'arc MM', tend vers une limite déterminée; cette limite est ce qu'on appelle la courbure de la courbe au point M. Posons
r^'^'^MSr'
DÊPimriOï} DE L'AGCÉtÉRATIOlX. 49
le payoD r se nomme le rayon de courbure au point M, on. le figure par une longueur MC portée sur la normale principale MN, du côté de la concavité. Le point G est le centre de courbure.
Si la courbe est gauche, c'est-à-dire n'est pas plane, comme les tangentes aux deux extrémités de l'arc MM' ne se rencontrent pas, on mènera par le point M une parallèle MB ifig. 36) à la tangente WM, Fangle AMB est l'angle de
contingence a relatif à l'arc MM/, le rapport jtîtjt est la
courbure moyenne de cet arc et la limite de ce rapport est la courbure au point M ; si Ton pose toujours
on a le rayon de la courbure r que Ton figure par une longueur MC portée sur la normale principale.
DétMranlnatlon d« raeoélération.
47. Nous avons vu que l'accélération est située dans le plan osculateur kla trajectoire; on détermine ordinairement cette quantité géométrique en cherchant ses projections sur la tangente et sur la normale principale. Soit MA {fig. 40) la vitesse v au temps t, MB une droite égale et parallèle à la p,g^^^
vitesse «'en M 'au temps . ^ »
t + A^ Le rapport -r- , ^^^^^^^^^^^^^ i 1
jfîguré par la longueur vNTi
AG, , est raccéléralion N^^
moyenne pendant le
temps A^ Du point 6, abaissons une perpendiculaire G^H,
AO LIf Afi I. ËHIÉMâflOtffc.
8ttr 1b taD{f|[«ate MA( AH^ seM la projection de Taôcélération moyeûne AQ, %m' la tangente; H, G. sur Uûe per* pendictiiaire à cette tangente datid le plan AMB, du côté de la concavité. Du point B abaissons de tnéme une perpendiculaire BD sur la tangetite MA i à cauâe des triangles seiïibl&blesOi^AHi, BAD, on a
Afi, H,G. ÀG, i
et par sdiie ^H, = — , H.G, = ^ .
Ainsi, nous avons à calculer les deux rapports — et — .
Commençons par ce dernier. Si Ton désigne par a l'angle de contingence AMB, on a, dans le triangle rectangle DMB,
DB âx£ MB é sin (X t:=i v' siâ <z )
DB ,sin(x et par suite --- = v' -- — , àî Af
Nous écfîrotii ôe râppdtt mm la forme stiivànle
lulfôduiéètit au dUmémtêtir et au dériomluateur les facteurs a et MM', ce qui ne change pââ la Valeur du rapport. Faisons maintenant tendre A< vers ïîéro, la Vitesse tj' de*
vietit v; le rapport -: — tend vers l* unité; la limite du rapport rrrp est la courbure de la trajectoire au point Mj courbure que nous représenterons par -, r désignant le
DÉFimnOIl m L'ACCtLÉRATIOlf . 51
MM' rayon de courbure ; enfin , lé rapport — — a pour limite la vitesse i?. On a donc
Le plan AMB ayant pour limite le plan osculateur, la normale H,<î^, située dans ce plan, devient parallèle à la normale principale au point M. On a ainsi la projection de Taccélération sur la normale principale ; cette projec-
tion a pour expression - »
AD
Occupons-nous maintenant du rapport — . On a
AD ï=:s MD — MA «t?' cos a — t ; si l'on rempiaoe oosa par 1 — 3 sin^^, il vient
AD ^v'/l — a sin' ij— »«= t?'— » — 2t?' sin* |,
àt A( àt
Le numérateur t)^— v du premier terme est la variation qu'éprouve la 'grandeur numérique de la vitesse pendant le temps Af, abstraction faite de la direction; le premier terme "7 a donc pour limite la dérivée D^v de la
vitesse considérée comme fonction du temps. Pour trouver la limite du second terme, nous récrirons sous la forme
, . « '^i ,. « ''"L « ^MM'
52 LITRE I. CINÉIfATIQirE«
Le* premier facteur v' sin ^ ayant pour limite zéro, et les
autres les quantités finies 1, -, o, le produit a pour limite zéro. On a donc
lim AH, = lim -t-7'= D|r.
Telle est la projection de l'accélération sur la tangente;
elle est égale à la dérivée de la vitesse considérée comme
fonction du temps.
Ainsi, soit M (/Ig. 41], la position du mobile au temps ^ Fig. 41. MA la tangente k la trajectoire, MN
la normale principale menée du côté de la concavité, MG Faccélération qui est située dans le plan osculateur AMN ; nous avons trouvé les projections MP et MQ de cette
accélération sur la tangente et sur la normale principale;
la projection de Faccêléraiion $ur la tangente est égale à la
dérivée de la vitesse considérée comme fonction du temps ;
la projection sur la normale principale est égale au carré
de la vitesse, divisé par le rayon de courbure. Les deux
projections
MP=D,r, MQ=-, r
étant connues, l'accélération sera représentée par la diagonale du rectangle construit sur ces deux longueurs. Lorsque le mouvement curviligne est uniforme, la grandeur numérique de la vitesse étant constante, sa dérivée est nulle, et par suite la projection de Taccolération sur la tangente est nulle. Dans ce cas, l'accélération en
DÉFOOnO» DE L AGGÉLÊRATIOJX. 53
chaque point est dirigée suivant la normale principale MN, et elle est égale à - ; elle change à chaque instant de direction et varie en raison inverse du rayon de courbure.
Si le mouvement uniforme s'accomplit sur un cercle, Taccélération est dirigée suivant le rayon vers le centre,
et est égale à la quantité constante — ; c'est ce que nous
avons déjà trouvé en étudiant le mouvement circulaire uniforme (n^ 39).
Exemples.
48. Pour montrer une autre application de ces principes^ considérons le mouvement uniforme sur une hélice tracée sur un cylindre circulaire droit. Soit M la position du mobile au temps t sur l'hélice (fig. 42), MA sa vitesse ; par le point M menons des parallèles aux diverses tangentes à Fhélice, et prenons sur chacune d'elles une longueur égale à la vitesse v. On sait que les tangentes à Thélice font un angle constant ^ avec les génératrices du cylindre; les parallèles menées par le point M formeront donc un cône de révolution autour de Taréte MC du cylindre , et le point A décrira sur ce c6ne un cerqle d'un mouvement uniforme; la vitesse AB de ce second mobile donnera l'accélération du premier. Le plan osculateur à l'hélice au point M n'est autre chose que le plan tangent au cône suivant l'arête MA; c'est le plan mené par la tangente MA perpendiculairement au plan AMC tangent au cylindre ; la droite AB,
Fig. 42.
54 UVBE I. CWtNAflOl».
qui est Âtuée àmn le plan osculateur et qui est pêrpen*^ diculaire à la tangente MA, est parallèle à la normale principale MG; la droite AB étant perpendiculaire au plaD ÂMG, la normale principale MG est elle-mèm^ perpeQdiculaire au plan tangent au cylindre au point M ; elle rencontre eu un point I l'axe du cylindre et est perpendi^ culaire à cet axe. Pendant que le mobile proposé décrit
une spire entière dont la longueur est -^— ^, a désignant
le rayon du cylindre, le second mobile A décrit la oiroonférence du cercle dont le rayon est AC, circonférence dont la longueur est ^tti; sin |3, puisque le rayon AC est égal à t)sin /3j les mouvements étant uniformes, les vitesses sont proportionnelles anx longueurs parcourues; on a donc
AB airpsing ^ain^ff ^ V a^g ~ a *
sin/3
d'où MG:-AB=?iïï2iê.
Telle est l'accélération dans le mouvement uniforme sur Thélice ; elle est dirigée suivant la normale principale.
On peut déduire de là le rayon de courbure r de Thélice. Puisque le mouvement sur l'hélice est uniforme, on sait que raccélératioii est dirigée suivant la normale principale
et égale à - ; en comparant cette expression à la précédente, on ar=^-^ sm'
49. Considérons encore l'exemple suivant : supposons qu un mobile décrive un cercle d'un mouvement uniforme avec une vitesse v, et projetons ce mobile sur un plan pas-
DÉFINlTICiyN OB L^ACCÉliUUnON.
as
sapt paT 1q centre du cercle; la projection déoriiia una el? lipse. Pour faire la figure, rabattons le plan du o^irole autour du diamètre ÂA' (fig. 43) situé dans le plan de projeotiûiL» c'estràrdire aur . »rfs.o.
tour du grand axe de TeU lipse. La vitesae M^G^ du mo-» bile M' sur l'ellipse est la projection de la yitesse MC du mobile M sur le cercle ; elle est parallèle au diamètre OD' conjugué de OM ; et les deux diamètres conjugués OM', OD' de l'ellipse sont les projections des deux diamètres rectangulaires 0M> OD du cercle. Si l'on représentait la vitesse du mobile sur le cercle par le rayon OD du cercle, la vitesse sur Tellipse serait représentée par OD'; ainsi la vitesse sur V ellipse est proportionnelle au rayon paralUle à la tangente, ^n désignant part)' la vitesse sur l'ellipse, et par 2a le grand axe de rellipse, on a donc
r'OD; « '^ OD '
d'où
t?'=^XOD',
L'accélération y du ^mouvement circulaire uniforme est une quantité géométrique MG dirigée vers le centre et
v^ égale à -. Sa projection M'G' sera l'accélération y' sur
l'ellipse.
Mais
on a
