AppuanoK a là PESAirrEUR. — Quand ou observe la

BKS FORGÉS. 77

chute des corps dans le vide, oa reconnaît que le mouvement est rectiligne et uniformément accéléré. L'accélération de ce mouvement, que Ton représente par la lettre g, est la même pour tous les corps (à Paris, on a y =9,8088). Il résulte du théorème précédent que la force qui produit le mouvement d'un corps est constante pendant toute la durée du mouvement : cette force est celle qui sollicite le corps au départ, c'est-à-dire quand le corps est encore en repos ; c'est le poids P du corps.

LEHME.

69. Lorsque deux forces constantes, de même direction, agissent simultanément sur un même point matériel partant du repos, elles lui impriment un mouvement rectiligne uniformément accéléré , dont taecélération est la somme des accélérations des mouvements dus aux forces agissant séparément sur le mobile.

Appelons F et F' les deux forces ; soit y raccélération du mouvement rectiligne uniformément accéléré produit par la première force agissant seule sur le mobile, y' Taccélération du mouvement produit par la seconde force agissant seule sur le mobile. Imaginons plusieurs points matériels égaux au point matériel proposé et concevons que là même force F agisse sur chacun d'eux, le système prendra un mouvement commun de translation rectiligne et uniformément accéléré, dont l'accélération sera y. Supposons maintenant que la force F' agisse aussi sur le premier point matériel seulement, le mouvement relatif qu'elle lui imprimera dans le système sera le même que si le système était en repos, et, par conséquent, que si la

78 LIVRK D. OTHUaOUK.

force F' agissait seule sur le point matériel partant du repos ; ce mouYement reli^tif sera donc un mouyetneai rectiligne uniformément accéléré, ayant pour accélération y\ On a donc à composer deux mouvements rectilignes uniformément accélérés, de même direction; on sait (n^.50) que le mouvement résultant est \m mouvement rectiligne uniformément accéléré, ayant pour accélération la somme 7 + y' des accélérations des deux mouvements composants.

Il est clair que cette proposition s'étend à un nombre quelconque de forces. L'accélération produite par plusieurs forces constantes de même direction, agissant simultanément sur un point matériel, est égale k la somme des accélérations dues aux diverses forces agissant séparément sur le même point matériel.

THÉORÈME m.

70. Les accélérations produites par deux forces cmstantes agissant sur un même point matériel sont propor^ tionnelles aux forces.

Appelons F et F' les deux forces, y et y' les accélérations des mouvements rectilignes uniformément accélérés qu elles produisent en agissant séparément sur un même point matériel au repos. Supposons d'abord que les deux forces aient une commune mesure F'^, et soit

Désignons par / Taccélération produite par la force F laissant sur le même point matériel. La force F étant la

PIS roRcis. 711

rtunion de n forces égales à F', là force F' la réunion dcw' forces égales à f\ on a, d'après le lemme précédent,

Oa en déduit

F n jf^ n

et par suite

Ainsi, le rapport des accélérations est égal au rapport des forces.

Examinons maintenant le cas où les forces n'ont pas de commune mesure ^ partageons la force F en n parties égales; appelons F Tune des parties et / raccélération qu'elle produit ; on a

F=nr, y=nf.

La force F' contiendra n' foie l'une des parties et ne la contiendra pas n'+\ fois. La force F' étant plus grande que n'F'' et plus petite que (n'+l) F", l'accélération y' qu'elle produit sera plus grande que n'/, et plus petite que (n'-^l)/. On aura donc les inégalités

wy </<K+i)/-

En divisant les premières quantités par F, les secondes par y y on en déduit

n' F' nVhi

F' y' Les deux rapports -rr > ^ sont donc compris entre les

deux nombres — , ^^-^, qui diffèrent entre eux de la

quantité - , que Ton peut rendre aussi petite que Ton

veut, si Ton prend n suffisamment grand. On en conclut que les deux rapports sont égaux entre eux.

Définition de la ommo.

71. Soient F, F', F\ ... différentes forces constantes; y, 7% y",.- les accélérations qu'elles produisent en agissant séparément sur un même point matériel. D'après le théorème précédent, on a les rapports égaux

On en déduit -= -7= ^== ...

Ainsi, quand différentes forces agissent sur un même point matériel, le rapport de chaque force à l'accélération correspondante est constant. Ce rapport est constant pour un même point inatériel ; mais il varie d'un point matériel à un autre; ce rapport constant est ce qui caractérise chaque point matériel ; c'est par la valeur de ce rapport qu'un point matériel entre dans les problèmes de mécanique; on l'appelle masse du point matériel. Si donc on désigne par m la masse d'un point matériel, on a, par définition,

D'après cette définition, la masse d*un corps est le rapport des deux nombres qui représentent la force et l'accélération correspondante. Le premier nombre dépend de Tunité de force ; le second, de l'unité de longueur et de l'unité de temps. On a choisi, comme nous l'avons dit, le kilogramme pour unité de force, le mètre pour unité de longueur, la seconde pour unité de temps. L'évaluation de la masse dépend de ces trois unités.

72. Pour préciser davantage la définition de la masse, prenons le rapport du poids P d'un corps à l'accélération g produite par cette force, nous aurons

On voit par là que la masse d'un corps est proportionnelle à son poids. Il est aisé de se représenter l'unité de masse; tout corps pesant g kilogrammes a une masse

égale à l'unité; car si P=j', on a m=^=l.

De la relation (1) on déduit

(3) F=my,

ou (4) y=-^-

Si Ton appelle v la vitesse acquise après le temps ty comme on a v=^yt, d'où y==7> la relation (3) devient

Cette- rdation nous fait voir que, pour imprimer à diffé-

Sa LiYRii n. dîmamique. •

reiits corps la même vitesse aprèà le même temps, il faut des forces propôftionûelles aux masses. C'est même de 11 que nous vient la notion de masse. Les premières expériences nous apprennent, en effet, que nous devons exercer des efforts très-différents pour imprimer aux divers corps le même mouvement^ et ceci ne tient pas à une différence de volume. Prenons deux sphères du même diamètre, Tune en bois, l'autre en fer, et, afin que ricû ne nous permette de les distinguer à l'œil l'une de Vautre, recouvrons-les d^une couche de la même couleur ; si nous poussons ces deux billes pour leur imprimer le même mouvement, nous reconnaîtrons que la Seconde exige un effort dix fois plus grand que la première ; d'après cela, nous dirons que la bille de fer a une masse dix fois plus grande que la bille de bois.

La relâtioù (5) nous montre aussi que, si dès forces impriment à un même corps la même vitesse, les forces sont en raison inverse des temps. Ainsi, un temps moitié moindre suffit à une force double pour imprimer à un même corps la même vitesse.

Bsemplen.

1® Quelle force faut-il âppUqujer à un boulet pesant 10 kilogrammes pour lui imprimer, après un dixième de seconde, une vitesse égale à 500 mètres par seconde?

Le poids du boulet étant 40, sa masse est m = — =;rs.

D'après la formule (5), on a donc

pX500 5000

2<> Pendant combien de temps doit agir une force de 100 kilogrammes pour imprimer à un corps pesant 2000 kilogrammes une yitesse égale à 5 mètres par seconde?

De la formule (5) on déduit

'"T-^^iogr-^ o^sxioo ^^Q^^'

3° Quelle vitesse une force de 100 kilogrammes imprimera-t-elle à un corps pesant 2000 kilogrammes, en agissant sur lui pendant 10%2 ?

De la formule (5) on déduit

^,FXi 100 X 10,2 100 X 10,8 X 9,8 ^ . ~ w ~ 2000 ~ 2000 ~