CHAPITRE IL
MOUYBBIBNT DES PROJECTILES.
75. Un projectile est un corps lancé dans une certaine direction, avec une vitesse initiale donnée, et souinis à l'action de la pesanteur. Faisant abstraction des dimensions du corps, nous considérerons le mobile comme un simple point matériel; nous négligerons aussi la résistance à Tair. La question revient donc à trouver le mouvement d*un point matériel, animé d'une vitesse initiale donnée et sollicité par une force constante en grandeur et en direction*
Cm o* 1* vlt«M« IttItUto «ft noll*.
74. Lorsque la vitesse initiale est nulle, le mouvement est celui de la chute des corps; si Ton désigne par v la vitesse au temps ^, par x l'espace parcouru , on a
(2) v=gt.
L'élimination de t donne la relation
(3) v^i^'igx;
d'où Ton déduit la vitesse en fonction de l'espace parcouru.
Ga« où U TitMM InltlaU Mt dirigée snlTant U vertioale •t de haut en bue.
75. Supposons que le point matériel soit lancé de haut en bas avec une vitesse initiale v^. Imaginons que le mobile fasse partie d'un système de points matériels animés
MOUVEMENT DES PROJIEGTILES. 85
de la vitesse v©, et qui ne soient sollicités par aucune force; ce système aura un mouvement de translation rectiligne et uniforme. La pesanteur, agissant sur le mobile en particulier, lui imprimera dans le système un mouvement relatif qui sera le même que si le mouvement de translation n'existait pas, c'est-à-dire que si la vitesse initiale était nulle. Les déplacements s'ajoutent, ainsi que les vitesses ; on a donc
(5) v = Vo'^gt.
Cm» où le oorps Mit lane^ de bas en liant.
76. Supposons maintenant que le corps soit lancé , à partir du point (fig. 53), de bas en haut, suivant la verticale, avec la vitesse initiale Vq- Désignons par a;pig.5j. la distance du point à la position du mobile au temps ts distance comptée de bas en haut. Imaginons, comme précédemment, un système de points matériels animés d'un mouvement de translation rectiligne et uniforme de bas en haut, avec la vitesse Vof et la pesanteur agissant sur le mobile. Le mouvement du mobile pourra être considéré comme résultant de la composition de deux mouvements rectiii- ^es, l'un uniforme de bas en haut, Tautre uniformément accéléré de haut en bas; les deux mouvements étant de sens contraires, les déplacements se retranchent, ainsi que les vitesses; on a donc
(7) v:=Vo—gt.
86 LIYRE n. DTMAWQUB.
Ces formules sont générales, si Ton regarde la distance X comme positive, quand elle est comptée à partir du point de bas en haut, comme négative, quand elle est comptée en sens contraire; et de même la vitesse v comme positive ou négative, suivant qu'elle est dirigée de bas en haut ou de haut en bas.
L'élimination de t entre les deux équations (6) et (7) donne la relation
(8) v^=^v^ — igx.
Le corps monte d'abord; mais la vitesse décroît; elle devient nulle quand
alors on a a: = -2-,
Telle est la hauteur OH à laquelle s'élève le corps. Arrivé au point H sans vitesse, le corps redescend d'un mouvement uniformément accéléré.
Le mobile passe deux fois au point M, une fois en montant, une fois en descendant. Il est à remarquer xjue le mobile, quand il repasse en M, reprend la même vitesse, mais dirigée en sens contraire, et qu'il met, pour descendre de H en M, un temps égal à celui qu'il a mis pour monter de M en H. En effet, x désignant la distance OM, l'équatioQ (8) donne pour la vitesse v deux valeurs égales et de signes contraires. D'autre part, de Téquation Ç7) on déduit
le premier membre est le temps compté à partir de Tinstant où le mobile atteint k point ie plus haut H ; la n-
MOUYSMWT DSS PROISlQfni'ES. 87
tesse ayant en M deux valeuri égales et de signes con<trair^l^» on obtîept deux iuteryaUes de tepaps égaux et de sign^ coijtrairefi. En particulier, ie mobile revient au poiflit de départ avec la vitegsç v^ , et il met pour descendre un temps égal à celui qu'il a mis pour monter.
Cas résultats s'appliquent évidemment au mouvement produit par une force eonstante quelconque, quand la vitesse initiale a la même direction que la force ou une di^ rectinn contraire. Si Ton appelle F la force, m la masse
du mobile, et si l'on pose y= —, il suffira de remplacer,
dans les équations précédentes, g par y.
a une direction Qneloon(|ue.
77. Cherchons maintenant le mouvement produit par une force constante F eu graodeur et en direction, agissant sur un point matériel de masse m animé d'une vitewf initiale v^ daus uoe direction autre que celle de la force. SgientOX la direction de la vitesse initiale, ÛY celle de la fprce, gi la vitesse fig. s*,
initiale était nulle, la force imprimerait au mobite un mouvement rectiligne uniforme-m«nt accéléré dans la direction OY, et l'on ««rait, en posant
y=— et désignant par y l'espace parcouru, y =^. Imaginons, comme précédem-
iMiU, \m système de points matériel mmé» d'un mou- Tement dû ir^alîou reetiliguê ^t uniforoie daos la
88 LlTiUB n. DTRAMIQUfi.
direction OX, avec la vitesse v^,. La force F, agissant sur le premier point matériel en particulier, lui imprimera dans le système un mouvement relatif qui est le même que si le mouvement de translation du système n'existait pas, c'est-à-dire que si la vitesse initiale était nulle. On a donc à composer deux mouvements rectilignes, Tun uniforme suivant OX, l'autre uniformément accéléré suivant OY. Prenons pour axes des coordonnées les deux droites OX et OY. Pendant le temps t, le mobile parcourt sur la droite OY une longueur
y=OP=Ç;
mais, pendant ce temps, la droite OY se transporte parallèlement à elle-même en NY', le point de cette droite décrivant mr OX la longueur
prenons sur la droite NY' la longueur NM égale à OP; le point M sera la position du mobile au temps t.
Si, entre ces deux relations, ou élimine t, qn obtient Téquation de la trajectoire
Cette trajectoire est une parabole ayant pour diamètre la direction OY de la force , et pour tangente au point la direction OX de la vitesse initiale.
78. On sait que la vitesse du mouvement résultant est la résultante des vitesses des deux mouvements composants. Si donc on prend MÂ=t;o, MB=7^> la diagonale
HOUYEHSHT DES PftOI£€aClL£S. 89
MC du parallélogramme représentera en grandeur et en direction la vitesse du mouvement curviligne en IR.
On sait, aussi que l'accélération du mouvement résultant est la résultante des deux accélérations. L'accéléiati^L du mouvement uniforme étant nulle, il en résulte que Taccélération du mouvement curviligne est constatée en grandeur et e» direction; elle est représentée par une lengueur MG égale à y et portée dans la direction MY'.
79. Remarque. Dans la démonstration précédente, nous avons considéré^la force F agissant sur le point matériel proposé, dans un système en repos ou en mouvement de translation. Nous disons qu'une force est la même dans les deux cas, lorsqu'elle est représentée par deux grandeurs géométriques égales et parallèles, c'est-à-dire lorsqu'elle a même valeur numérique et même direction.
Afin de préciser davantage , prenons pour axes des coordonnées trois droites rectangulaires liées au système; ces droites, si le système est en Vepos, seront fixes; â'il est en mouvement de translation, elles se déplaceront parallèlement à elles-mêmes. Un observateur, placé dans le système , déterminera la direction d'une force par les angles qu'elle fait avec les trois axes; si la force F a même yaleur numérique; si, de plus, les angles qu'elle fait avec les axes sont les mêmes de part et d'autre , il est clair qu'elle sera représentée dans les deux cas par deux grandeurs géométriques égales et parallèles; on dira que c'est la même force.
UfllU* DTHAIIIQDB.
Fig. 55.
/ Projectile lancé dani une direotioa quelconque.
