MOUVEMENT DES PR0IEG1ILE

le \xiQbile atteint ^sa plus gr^de hauteur dans son mouvement veWical relatif, il passe au sommet de la parabole ; Taxe BK de la parabole divise la courbe en deux parties symétriques.

La formule (15) montre que la vitesse v du mobile va en diminuant à mesure que le mobile s'élève; elle acquiert sa valeur minimum au sommet B ; puis elle repasse par les mêmes valeurs dans la branche descendante BC. Considérons deux points symétriques M et M' de la parabole; nous avons construit la vitesse au point M , en la regardant comme la résultante d'une vitesse horizontale MD et d'une ;dtesse verticale ME. Appliquons la même construction au point M'; la vitesse horizontale M'D' est constante, la vitesse verticale M 'E ' a changé de sens; car, lorsque le mobile, dans son mouvement vertical relatif, passe au point Q, c'est-à-dire revient à la même hauteur, en montant et en descendant, la vitesse est la même, mais de direction contraire. Les deux rectangles sont égaux; les diagonales MA et M'A' sont égales et font des angles égaux avec l'horizontale, mais Tune en dessus, l'autre en dessous.

83. Cherchons le point C où le projectile frappe le sol; la distance OC est ce qu'on appelle V amplitude du jet; nous la désignerons par /. Les distances OK et KC étant égales à cause de la symétrie, on a

On obtient directement cette longueur en faisant y=0 dans Féquation (12) de la parabole. Le mobile arrive en C avec une vitesse égale à la vitesse initiale v©? et faisant avec l'horizontale Tangle «.

UYEfi n. vtîUMixffn.

L'amplitude du jet est proportionnelle au carré de k vitesse initiale Vo; elle dépend aussi de l'angle oê, C*è9|r à->dire de la direction de la vitesse initiale. Supposons qu'on lance le projectile dans diverses directions avec une même vitesse initiale; la formule (18) montre que la valeur de / sera maximum quand on aura aas=90^, ou «==45®. Ainà, ^ur lancer le boulet le plus loin possible, il faut tirer sous Tangle de 45 ç(egrés. L'amplitude maxi-

mum est égale.à— ; elle est égale au double de la hauteur

à laquelle s'élèverait le boulet si on le lançait verticalement avec la même vitesse initiale v^, La formule (18) montre aussi que l'amplitude du jet est la même pour des valeurs supplémentaires de aa, c'est-^-dire pour des valeurs de a égalemenl distantes de 45 degrés.

84. Proposons maintenant de déterminer dans quelle direction il faut lancer un boulet avec une vitesse initiale donnée Vq^ pour atteindre un point donné H (/ig. 57),

Fig. 57.

dont nous désignerons les coordonnées pdr x^ et jr^. Les coordonnées du point M devant vérifier Inéquation (12) de la trajectoire, on a l'équation

av«* cos" «*

y, = a:,tanga-

HouvEmirr d£s moiEcriLEis. 95

qui détèrminem l'inconnue «. Si l'on remplace cos^a par

i ^ tang^ ^ ^^ arrive a Téquation du second degré *

(19)' . tang'« î^ tang « + ^ + 1 =0,

dans laquelle tang a est l'inconnue.

Pour que le problème soit possible, il faut que cette équation ait ses racines réelles, ce qui exige que la condition

soit remplie ; on en déduit

(20) y'^li-9^, .

Consid^roQS la courbe qui a pour équation

cette courbe est une parabole LGL', dont le sommet G est sur l'axe OYà une distance OG égale à -^, le foyer en

Vf? ^^

et le paramètre OL égal à — . La condition (20) signifie

y que le point M doit être situé au*de80ouà de cette parabole* Quand cette condition est remplie, on a deux trajectoires passant par le point M.

Lorsque le point M est situé sur la parabole limite LGL\ par exemple en S, les deux racines de l'équation (19) étant é^ies, on n'a qu'une valeur de a donnée par la formule

tanga=-^,

et, par ôonséqueut, une seule trajectoire passant par le point S,

96 LITRE IL DTNAïaQUE.

85. Il est aisé de voir que toutes les trajectoires que Ton obtient avec une vitesse initiale Vq, en faisant varier Taligle a de toutes les mai^ières possibles, sont tangentes à la parabole limite. En effet, par tout point S de la parabole limite passe une ^ajectoire caractérisée par une valeur de « vérifiant la relation

De cette relation, on déduit la suivante :

^*~ytan5«'

q^ui détemiine un point S de la parabole limite par lequel passe une trajectoire donnée. La trajectoire, étant tout 'entière située au-dessous de. la paratiole liçûite, est évidemment tangente à cette parabole au point S. En d'autres termes, la ()arabole limite est Tenveloppe des trajectoires.

Quand a est plus grand que 45 degrés, le point de contact est sur l'arc GL ; mais, quand « est plus petit que 45 degrés , lé point de contact est sur le prolongement. La trajectoire, qui correspond à la valeur «=90®, touche la parabole limite au point G; celle qui correspond à la valeur «=^45**, et qui donne l'amplitude maximum du jet, la touche au point L.

86. Nous avons dit que, lorsque le point M est situé au-dessous de la parabole limite LGL', deux trajectoires passent par ie point M; chacune des trajectoires peut rencontrer le point M, soit en montant, soit en descendant. Pour reconnaître laquelle de ces deux circonstances a lieu,