OA AC

Les deux triangles AOC, GOK, ayant les angles A et 6 égaux et compris entre deux côtés proportionnels, sont semblables. Il en résulte que les angles AOC, GOK sont égaux et, par conséquent, que les droites OC et OK coïncident ; on a aussi, à cause de la similitude,

OC OA et par suite 0C= m x 0K== m/stat R.

Pig. eo.

104 LITRE a. mKÈmsBE.

Ainsi, la résultante de deux forées agissant sur un même point matériel dans des directions différentes, est représentée en grandeur et en direction par la diagonale dupa-rallélogramme construit sur ces deux forces.

91. Nous avons déiermiiié la résultante R des deux forces F et F', en la considérant comme la force qui produit, à elle seule, le même mouvement que les deiu forces proposées agissant simultanément; ceci est bien d'accord avec la notion que nous avons donnée de la résultante par l'équilibre (n^ 88). Appliquons, en effet, au point matériel ime force R' {/ig. 60) égale et contraire à la force R ; il est évident que cette force R' produira un mouvement égal et contraire à celui que produit la force R, ou les deux forces F et F' ; ainsi, le point M, sollicité par les trois forces F, F', R', restera en repos et, par coïiséquent, les trois forces se font équilibre.

à*hn aonbM ^ iMlçottfiie àm feroef.

82. Nous avons dit {n^ 58) que les forces sont représentées par des grandeurs géométriques, c'est-ànltre par des longueurs portées dans des directions déterminées. Dans le triangle OAC {fig. 59), les côtés OA et AC représentent les deux forces F et F' ; le côté OC, qui est la somme géométrique des deux précédents, représente la résultante R. Ainsi, on peut dire que la résultante de deux forces est la somme géométrique de ces deux forces.

Cette règle s'étend à un nombre quelconque de forces appliquées à un même point matériel. Supposons le point matériel sollicité par quatoe forces F, F',F,P'; à la suite

COMPOSmOK DES PQRCOBS APPLIQUAS A UN MÊME POINT. 1^

de la grandeur géométrique OÂ. qui représente la première f&tceF {fig. 61), portons la grandeur géométrique AB qui représente la seconde force F'; la rig, ei.

somme géométrique OB représentera la résultante de ces deux premières forces. A iasuite, portons la grandeur géométrique BG qui représente latroi* sième force F^; la somme géométrique OG représentera la résultante des deux forces OB et P, o'est-à-dire la résultante des trois premières forces F, F', F^. A la suite, port<ms encore la grandeur géométrique CD qui représente la quatrième force F'^; la somme géométrique OD représentera larésullante des deux forces OC et F", e'est-à-dire des quatre forces proposées F, F', F, F''. Ainsi, en considérant les forces comme des grandeurs géométriques, on peut dire que la résultante R de plusieurs forces, €^liguées à un même point matériel, est égale à la somme géométrique de ces forces.

Lorsque la ligne brisée, formée avec les forces portées les unes à la suite des autres, chacune dans sa direction, est fermée, c'est-à-dire lorsque les deux extrémités se re*ji0^nent,la résultante est nulle et, par suite^ les forces proposées se font équilibre.

9^. Nous pouTons appliquer à la compositi<»i des forces les principes que nous avons établis, dans le livre I, n^^*S5, 26 et 27, pour la composition des vitesses et pour la compc^ition des accélérations, principes qui s'appliquent, en générai» à Taddition des grandeurs géométriques.

La résultante R des deux forces F et F' étant représentée par la diagonale du parallélogramme construit sur ces deux forces, on a, dans le triangle OAB (fig. 62),

LlfRB n. DÎHAMIQVI!.

B R« = F* 4- F'* + 2FF' cos (F, FO,

en désignant par (F, F') l'ângto AOC

des, deux forces.

Lorsqu'on compose trois forcés F, F^ P, la résultante Fig. 63. ^ ^^^ ^^ diagonale OC. du parallélipi*

pède construit sur les trois forces OA»

vc AB, BG {fig. 63). Si les forces sont perpendiculaires entre elles deux à deux, leparallélipipèdeestrectaDgle^etrona

Considérons maintenant le cas général {fig. 64). It est Fig. «4. évident que la projection de la résul-

tante OD sur une droite quelconque est égalera la somme algébrique des projections des forces proposées. On peut, à Taide de ce théorème, déterminer la grandeur et la direction de la résultante.

Menons trois axes rectangulaires Ox^ Oy, Oz. Désignons par F la première force et par a, b, c les angles qu'elle fait avec les axes. Désignons de même par F' la seconde force et jar a\ b', c^ les angles qu'elle fait avec les axes, etc. Appelons R la résultante, et A, B, C les angles qu'elle fait avec les axes. En projetant orthogonalement sur chacun des axes, on a

RcosA==Fcos« + P'cosa'-h .•.

(1) { RcosB = FcosA + P'cos*'-h...

RôosC =^Fcosc «H- F'cosc^' + ...

COMPOSITION DES FOlkCBS APFLIOOÉI» A UN MÊHE POINT. 107

En joigDâDt à ces trois équations là relation

(2) cos2A + cos2B+cos2C=l,

on a aînri quatre équations pour déterminer les quatre inconnues 11, A, B, C.

Si Ton élève au carré les deux membres des trois premières équations et qu'on les ajoute membre à membre, on a, en tenant compte de l'équation (2),

(3) R^Htt(Fcos« + F'cosrt'-f....)«-f.

(Fc(»è+F'cos6'+...)* + (Fcosc + F'cosc'+...)«.

Dès que Ton connaît la grandeur de la résultante, les équations (1) donnent les angles A, B, C et, par conséquent, déterminent sa direction.

Il est clair que la grandeur dé la résultante ne dépend que des grandeurs des forces proposées et des angles qu'elles forment deux à deux ; le second membre de l'équation (S) doit donc être indépendant de. la position des axes choisis pour efifectuer le calcul. C'est ce qu'il est facile de reconnaître ; si Ton effectue les carrés et que Ton groupe convenablement les termes, il vient

R«=F*(cos* «+ cos' è+ cos*c) + F'*(cos* a'+ cos* *'+ cos* c') + ... + 2FF'(cosacosa'+cos6cos6'+cosccosc')+...,

ou, plus simplement,

(4) R'=F^+F'* + ...+2FF'cos(F,F0+...

Le carré de la résultante est égal à la somme des carrés des forces proposées, plus deux fois la somme desj^oduits que ton obtient en multipliant ces forces deux à detcxet par le cosinus de t angle ^v^ elles fonrment entre elles.

/ 108 LITRE It. BTMAnQITB.

Condlttont d*éqiilllbr« dM fteoes «ppUquéM à «a mdoM pofa&t mfttérML

94. Pour que des forces F, F', F^, appliquées à un m4me point matériel, se fassent équilibre, il eA nécessaire et il suffit que leur résultante soit nulle.

Si la résultante est nulle, le polygone des forces étant fermé, il est clair que la somme des projections des forces sur un axe quelconque est nulle ; en projetant sur tr^is axes rectangulaires, on a les trois équations

F cos a+ F' cosa'+ . .. =0, Fcosô + F'cos6'+...=0, F cos c + F' cos c'-t- ... =0.

Réciproquement, quand ces trois équations sont vérifiées, il y a équilibre. En effet, supposons que les forces proposées admettent une résultante R; cette résultante serait déterminée par les équations (1); mais, par hypothèse, les seconds membres sont nuls, on aurait donc

R cos A=0, R cos R=0, R cos C = 0;

les trois cosinus ne pouvant être nuls à la fois, puisque la somme de leurs carrés est égale à Tunité, il est nécessanre que la résultante R soit nulle ; donc il y a équilibre. Ainsi les trois équations (5) sont nécessaires et suffisantes pour l'équilibre.

95. Après avoir donné les conditions générales d'équi** libre, examinons quelques cas particuliers. Lorsque deux forces F et F' seulement agissent sur le point matériel, pour que ces forces se fassent équilibre, il estnéoessaîreél

GOMPOSinON I>ISS JÊGam& ifiPLlQinâBS A UN MÊIIE POINT. 109

il suffit que ces deux forces soient Fig. es.

égaleset opposées ; sans quoi elles r , g

admettraient une résultante diffé- ^

r4^te de 2éro (fig* 65).

Supposons maintenant que trois forces F, ^*8« es. F', F' agissent sur le même point matériel ^

(fig. 66)5 remplaçons les deux forces F et F' parr leur résultante R ; pour Téquilibrei il est nécessaire et il suffît que la troisième force F'^ soit égale et opposée à la résultante R des deux premières. On voit par là que les trois b forces proposées sont situées dans un même plan; en outre, elles vérifient les relations

. : sin.(FVF'0'^^ûi(F"»*'')""siû(F,FO'

que l'on obtient par la considération du triangle MAC.

Eia général, lorsque plusieurs forces se font équilibre sur un point matériel, l'une quelconque d'entre elles e^t égale et opposée à la résultante de toutes les autres.

96. Remarqués. Nous avons cherché la résultante de plusîeiir» forces, en supposant les forces constantes en grandeur et m direction. Si les forces étaient variables, il fMidrait considérer les grandeurs géométriquesqui représentent ces forces à un certain moment et les supposer constantes dans cet état ; l'application des règles précédentes donnerait la valeur de la résultante à cet instant. Eu considérant les grandeurs géométriques qui représentent les forces à xm autre moment, on obtiendrait la valeur de la résultante à ce second instant, valeur qui serait, en général, dtférente de la première, etainsi de suite.

110 UViUB U. DTNMQQQB.

Nous avons dit que des forcer se font équilibre sur un point matériel en repos, lorsque le point matériel sollicité par ces forces reste en repos. On dit. de même que des forces se font équilibre sur un point matériel en mouvement, lorsqu'elles ne modifient pas le mouvement du point matériel, c'est-è-dire lorsque le mouvement du point ma* tériel est le môme que si les forces que Ion considère n'agissaient pas. Il est aisé de voir que, lorsque des forces se font équilibre sur un point matériel en repos, elles se font aussi équilibre sur ce point en mouvement. Imaginons, en effet, que ce point fasse partie d'un système de points matériels animés d'un mouvement commun de transla**tion et que les forces dont nous avons parlé agissent sur lui. Le mouvement relatif qu'elles lui impriment dans le système est le même que si le système était en repos; mais, dans ce ca«, les forces ne produisent pas de mouvement; donc le mouvement relatif est nul et, par suite, le mouvement du point matériel n'est pas modifié par l'action des forces considérées.